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FGHの計算

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• FGHの計算
  http //googology.wikia.com/wiki/Fast-growing_hierarchy ↑は海外のFGH計算のページです。 演算レベルは概ねこれで正しいのだろうけれど、 関数の近似の見積もりはおそらくかなりの大雑把。 もうちょっと詳しく検証するべく、地力で計算を進めてみます。 数を測る物差しであるならできるだけ納得してから使いたいので。 f_極限順序数+1(n)の見積もりが微妙に違っていたことが解ったので訂正。（2014/5/25） 過去にf_ω+1(3)以降が間違えていたことが判明したので訂正。（2014/4/11） タワー表記レベル の計算値一覧 m＼n 1 2 3 4 5 6 ・・・ n 2 3 4 5 6 7 ・・・ n+1 2 4...
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  ... hierarchyFGHの計算 n-growing hierarchy メニュー 右メニュー リンク Wikipedia＞巨大数 Wikipedia＞数の比較 巨大数研究室 ふぃっしゅっしゅ氏著『巨大数論』 ニコニコ大百科＞巨大数 Googology Wiki（海外サイト） Googology Wiki（日本語版） アクセスカウンタ 今日： - 昨日： - 総計： - 更新履歴 取得中です。 おこじょ数
• 指数タワーの計算
  指数タワーとは、例えば次のような数である。 　筆者が巨大数のジャンルを探索するきっかけとなったのも、この指数タワーを目の当たりにしてからである。 　宇宙物理論的に出せる巨大数の限界がこの辺のオーダーであり、それ以上の演算レベルの数は、純粋数学のみの世界のものとなる。（数の比較を参照） 　まず、原則として、指数タワーの演算順序は右からであって、左からではない。 　指数タワーで表される数は余りにも大きく、例えば上記を計算すると、 　となる。これはこの数を全て十進表記に直した時のの数が、 　個 であるということを示している。 　観測可能な宇宙の原子数は個と言われている。 　その全物質をインクに変えたとしても、一文字あたり個の原子を消費すると仮定すると、個のを書くのが限度である。 　従って、桁の数はと記述することができるが、これが可視宇宙の物質で10進表記できる限界...
• Fast-growing Hierarchy
  　順序数を用いて定義された巨大数の物差しの一つ。本来は巨大関数の物差しという意味合いの方が強いが、巨大数のおおよその大きさを見積もる事も可能である。 　ふぃっしゅ氏は「急成長階層」という訳語を与えている。略してFGHと表記される事もしばしばである。 　順序数自体の解説については、とりあえず『巨大数論』に譲りましょう。こちらでは下記定義中の解りにくい部分を解説します。 定義 αが極限順序数のとき ↑で、α[n]って何ぞや！？という話なんですが、これは極限順序数αに収束する収束列を表します。といってもピンと来ないかもしれないですね。 解りやすく言い換えると、α[n]は「極限順序数記号（ω等）を含む（ただし含んでなくても良い）何らかの数式」、 つまり関数の順序数バージョン“順序関数”なるものを表す記号と考えて良いと思います。 例えば、 　　とか、 　　とか、 ...
• 4つ組チェーンの計算
  　チェーンの実体を理解するなら、まず4つ組チェーンを理解しないとね。 a→b→c→2 　4つ組みチェーンの実用例で最も良く目にするものとしては、例えばグラハム数との比較、3→3→64→2 G 3→3→65→2　が挙げられます。モーザー数ならば　3→3→2→2 M 3→3→3→2　となります。 　なぜこうなるのでしょうか。ここで共通しているのは、この例は全てチェーンが3→3→n→2となっていることです。つまり、グラハム数やモーザー数は、3→3→n→2クラスの数という事になります。 　まず、次をタワー表記を使って計算（展開）してみましょう。 　（a→b→c→d = a→b→(a→b→(c-1)→d)→(d-1)なので、） 　（→z→1 = →z、および→y→1→z = →yなので、） なるほど。次は3番目の数字を一つ増やしてみましょう。 ...
• 数の比較
  Wikipediaや自力計算などから を一個置いている以外は、無限数は扱っていません。 (13/11/30) fast growing hierarchyによる近似を加えましたが、筆者はまだFGHを理解していませんので、googology wikiの記述をそのまま使っています。参考程度までに。 Oe数 　筆者によって定義された微小数。Os数の逆数。 　　　　 　　　　 現在と同様の物質宇宙が形成される確率 　この物質宇宙をつくる初期の特異点が偶発する確率。宇宙論で使われた0以下を除く最小の数？ 　　　　 googolminex 　グーゴルプレックスの逆数。 　　　　 円周率の誤差精度 　現在円周率は10兆桁まで計算されている。 　　　　 無限の猿定理における解の1つ 　1回の試行におけるランダムキータイプで、ウィリアム・シェイクス...
• n-growing hierarchy
  　Fast-growing Hierarchyの応用で筆者が作成してみた成長階層表記です。FGHと同じく関数の大きさの評価にも使えると思いますが、どちらかというと数の大きさを評価する物差しとしての用途が主眼です。 　なお紛らわしくてごめんなさいなのですが、“n-growing hierarchy”という名称中の“n”は、下記定義中ではmに相当します。任意の自然数を種にして成長させる、という意味を込めた名称です。 　なお、長らくβ版としていましたが、これで正式版の定義ということにしようと思います。 定義 　　　　※ただし、n=1の時は、とする。 　　　　※αが極限順序数で、α[n]がαに対する収束列である時 定義の基礎的な部分はFast-growing Hierarchyを参照してまずはそちらを理解して下さい。 mには任意の整数を入れることが出来ます（ただし、...
• 巨大数における「3」
  巨大数表記、殊にハイパー演算やタワー表記の計算において、 3という数は、特別な性質をもっている。 とりあえずは次を見てみよう。 以上を見ると、前段階の数がそのまま次段階の計算に当てはめられているのがわかるだろうか。 3以外の数だと、これは成り立たない。 グラハム数が3で構成されてる理由って、もしかしたらこの辺にヒントがあったりするのだろうか。 矢印が一本ずつ減っていく式 次に、逆のプロセスを考える。 例えばという式があったとする。 タワー表記は↑の本数が違っても全て右側から計算する、ということに注意すると、 と変形できることが解るので、 つまり、は、 と展開できる。
• ふぃっしゅ数
  　ふぃっしゅ数（しばらくはバージョン1の話とする）に対する現時点（2013/06）での考察。 　ふぃっしゅ数は、非常に巨大な数として認識されているが、一方でその定義が非常に複雑であり、その大きさを具体的に求めることは難しいとされる。 　筆者（Aeton）はまだふぃっしゅ数の実体を殆ど理解できていないが、ほんの少しだけ計算を試みたことはある。残念ながらその計算はどうやら間違ってるっぽかったのでそのままにしてしまったが、その状態で2chスレッドにて行われた初歩の計算を改めて眺めてみた所、気が付いた事がある。 　ふぃっしゅ数は、『S変換』というシステムを定義し巨大な数を生成するための道具としているが、そのS変換って何かっていうと、定義から引用すれば、「自然数と関数のペアから、自然数と関数のペアへの写像」。はて一体どんな意味だ？『巨大数論』では同じことをこう言い換えている。「自然数mと関数f...
• おこじょ数
  おこじょ数は、2013年にAetonによって定義された微小数、およびその逆数の巨大数のペアである。以下、2013/12/31時点での定義（Ver. 1.1）を示す。 http //www.geocities.jp/aetonal/files/LNtest2.txt（元々の定義文） 関数を以下で定める。 、ただしとする。 多変数関数を以下で定める。 　　　　※が整数でない場合、代入時に四捨五入する（以下同様）。 ただし、 ：0個以上の1 ：0個以上の1以上の数 ：1より大きい数 とする。 と定めた時の、 を冬おこじょ数（Okojo-ermine Number,）とする。 またを夏おこじょ数（Okojo-stoat Number,）、とする（この場合四捨五入の必要は無い）。 、をおこじょ関数とする。 計算 f(1) (10↑↑...
• タワー表記
  足し算が重なることによって掛け算ができ、 　 掛け算が重なることによって累乗、つまり指数表記となる。 　 タワー表記は、この概念の延長線上にあるものである。 指数が重なった状態をさらにまとめるために、次の記号が定義された。 この演算を、「超累乗（超べき乗）」または「テトレーション」と呼ぶ。 　 同様に、テトレーション演算が重なった状態は次のように表記し、ペンテーションと呼ぶ。 　 さらにペンテーションが重なると、ヘキセーションとなる。 　 このように、を増やして行くことにより、さらに上の段階の演算を表現できる。 また、テトレーションの前段階である指数表記も、一本で表される。すなわち、 　 である。 　しかし、累乗以上のレベルにおいて、その扱いは足し算掛け算ほど柔軟ではない。結合法則や交換法則が、成り立たないからである。 　そして、その計算順序は、右側...
• 下矢印表記
  上矢印表記と違う点は、計算を左から行う点である。 例えば、であり、 である。 その他の定義はタワー表記と一緒で、 である。 計算を左から行う事については、 例えばとなり、指数が掛算されるだけになるので、あまり面白くない。 しかし、それは累乗の連続↓↓に関することであって、さらに↓↓↓や↓↓↓↓を実際に↑を用いて計算しようとすると、思いのほか計算が難しい。 ↓を増やす効果は、結局は↑を増やす事、すなわちfast-growing hierarchyにおけるfω(n)レベルに近似するとされているが、実際にこれがどのような増え方をしていくのか、実際に検証を試みてみたい。 ↓↓ ↓↓↓ aが小さくなければ、次の様に近似計算できる。 同様の計算を繰り返せば、 ↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ 同様のプロセスを繰り返して、...
• チェーン表記
  定義・規則 　最も基本的な定義は、タワー表記を元にした3つ組チェーンである。 　しかし、チェーンの世界は3つ組チェーンだけではない。 　例えばグラハム数などのオーダーでは、4つ組チェーンが使われている。 　4つ組やそれ以上のチェーンについては、その実体を詳述する解説は与えられていない。 　しかし代わりに、その実体を知るヒントとして、以下の規則が与えられている。 （1）チェーンの最後が1であるとき、これを落とせる。 （2）チェーンの最後から2番目の数が1であるとき、これと最後の数をまとめて落とせる。 （3）末尾の2つを以下の様に変形できる。 基本的にこの変形を繰り返していくのが、計算の基本手筋となる。 でも、同様に変形していけばわかると思うけど、 = a→b→…→x→(a→b→…→x→(a→b→…→x→(y-2)→z)→(z-1))→(z-1) ...
• コメント欄
  コメントにも数式打てるのかな？ -- 名無しさん (2013-01-21 23 27 50) 打てた＾＾ -- 名無しさん (2013-01-21 23 28 13) 作者さん、またニコニコ動画作っておくれ -- 名無しさん (2013-11-25 00 00 55) コメント有難うございます。現在作成中です！ -- Aeton (2013-11-26 19 58 03) さっき計算したらオコジョ数においてf(n)≒10^^n-1って出た。 -- 名無しさん (2013-11-28 21 02 56) 正しくはf(n)≒1/(10^^(n-1)) -- 名無しさん (2013-11-29 18 18 51) Os(n)≒54→→nと計算いたしました。 -- 名無しさん (2013-11-29 19 42 24) f(n)はその近似で間違いないと思い...
• 4つ組チェーンの実体、5つ組～
  ここまでの話を整理しましょう。 そして前回結論しなかったa→b→c→5の答えはこうなります。 　同じような図をどっかで見たことはありませんでしたか？そう、タワー表記を指数表記で表現してみたページと同じような現象が、ここで起こっていることです。 　4つ目の数をどんどん大きくしていくと、記述は縦に横にと拡大し、ブレース括弧を駆使しても、表記量は指数関数的に増大。最終的にはタワー表記で書き切ることは不可能になります。 　ここで、筆者が制作した10→10→10→10の画像を以下にリンクしておきます。一応表記はできていますが、一体何が起こっているのか、この図からはもはや視認不可能と言って良いでしょう。4つ組みでこれだけ巨大化する表記法を、コンウェイ氏は開発してしまったわけです。 ・http //cdn51.atwikiimg.com/large...
• 旧バード数
  http //www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/maths2.txt こちらに従って話を進めます。 計算の過程は色々省略してる部分があります。 回転矢印表記の頁で求めたように、 と求めた。 オリジナルの表記では、となる。 定数Nとn(↑n)nn Nは3(↑G)(↑G)(↑G)(↑G)3、ここでGはグラハム数を差す。 これはさらに、矢印回転表記の定義より、3(→G)3(→G)4と直すことができる。 ふぃっしゅ氏による表記でこれを表すと↑4G+1(3,3,4)となる。 つまり、Array表記に当てはめて≒{3,3,2,1,4G+1}となる。 しかし、Gは十分な巨大数なので、4を掛けたり1を足したりした所でびくともしない。 つまり、≒{3,3,2,1,G}と近似しても良い。 さらに、≒{3,3,3,3,G}または{10,10,...
• メガ②
  多角形表記のメガを計算してみよう。 最初の段階から順々に計算すると、 そして、 となる。 その具体的な計算。まずは、256を囲う三角が一つの段階から始めよう。 ここで、の前ではは圧倒的に小さい。 同様に、の前ではは圧倒的に小さい。 なので、 と省略して近似してしまってもまず問題ない。 次も同様に、こうした近似手法が適応できる。 直感的には分かり辛いが、やはりでありだからである。 指数をタワーとして積み重ねる演算は、このように計算誤差をいともたやすく呑み込んでしまう効果がある。 これを繰り返していけば、 となるので、 の大きさは、 となる。
• 多変数アッカーマン関数とArray Notation
  以下に計算表を作成
• グラハム数
  　関数G(x)を次のように定義する。記号についてはタワー表記を参照のこと。 　この時のG64(4)をグラハム数Gとする。 　G64(4)の「64」とは、関数の中に関数が入るという入れ子構造の数を示しており、 　となる。 　具体的に関数G(x)を計算してみる。 　・・・次第に書き表すのは困難になるが、ここまではまだ指数で表記が可能である。しかしここまではまだ基礎の段階に過ぎない。ここから先は関数の入れ子操作により、の本数そのものが爆発的に増大するため、指数のみの表記は括弧を駆使しても事実上不可能となる。つまり、 　・・・という具合である。さらに、Gn(4)のnが、これらの段重ねの数と一致する事が解るので、グラハム数、すなわちG64(4)の大きさは、 　となる。 　また、タワー表記の拡張表記 　を用いてこの数を表記すると、...
• トップページ
  巨大数に関する資料を集めてみようかなと。 あと、TEX数式を書くのが楽しくなっちゃったなーというのもある。 とりあえず色々やってみよう。 基本的にウィキペディアライクモードにてページを記述していますが、 ウィキペディアライクモードは画像が使えないという最大の欠点を抱えているため、 画像が必要な場合はあっとウィキモードにて記述しています。（例：多角形表記） 作者：Aeton ニコニコ動画に巨大数に関連する動画を上げています http //www.nicovideo.jp/mylist/35451262 やっとこさArray Notationの感覚に慣れてきた気がします。 ひとまず旧バード数と自分の定義した数をArrayで計算しました。 (14/01/04) ウィキペディアライクモードにて画像を貼る方法が判明 [画像のURL] これ...
• 多角形表記
  ※現在ウィキペディアライクモードは画像を入れる事が出来ないので、アットウィキモードで編集しています。 多角形の中に自然数を入れる表記法で、巨大数の表現法の一つ。 スタインハウスによるものと、それを拡張したモーザーによるものがある。 三角形 全ての多角形表記の最も基本的な図形、および演算。 は、を示す。 この三角は重ねることができる。つまり、 　　　　 　　　　 　　　　 これらは要するに、「前段階の数前段階の数」という演算の繰り返しを示している。 四角形 つまり、三角がn回重なった中のn、を示す。 この四角も同様に重ねていくことができる。つまり、 br 　なんかとんでもないことになってますね。...
• 回転矢印表記
  　回転矢印表記は、タワー表記、チェーン表記の拡張として、Bird氏によって定義された巨大数表記法である。Bird氏はこの表記を用いて、バード数（旧）を定義した。 　2種類の拡張チェーンのうちの一つであり、もう一つはHurfordによる拡張チェーン表記である。 　この表記について記された元のページは現在残されておらず、海外の巨大数界隈では現在全く使われていない表記であるが、非拡張チェーンを超える表記の一つとして、2chの巨大数スレッドがしばらくこの表記法にお世話になった背景がある。 　旧バード数の大きさを他の表記で明らかにするためにも、こちらの表記についても一応触れておく必要がありそうである。 現在この表記、および旧バード数についての文献としては、以下のものがある。 http //www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/maths2.t...
• Array Notationとチェーン表記の比較
  {a,b,c} 3者は完全に一致します。 {a,b,1,2} 両者は似ていますが、イコールではなりません。次のような違いがあります。段重ねの末端に注目。 　　　　 このため、例えばグラハム数との関係は、 となります。 さて、実はarray表記には一つ便利な性質があり、 これよりもさらに挟み撃ち近似の幅を狭めることができます。 なぜこうなるかというと、{4,65,1,2}をタワー表記に変換してみると解ります。 ここでグラハム数は要するに、 ですから、明らかに{4,65,1,2}より小さいというわけです。 このように、array表記は、段重ね表記の末端の数を、ある程度考慮に入れることができるということです。 {a,b,2,2} array側は最後の2が3になるのではなく、3番目の1が2になることによってチェーンの・・・→3相当と...
• モーザー数
  ちょっと海外Googologyに投稿する目的で、英語で書きます。ゴメンネ。書き上がったらいつか日本語に直します。 Some months ago, or about 1 year ago? I calculated Moser s number, using up-arrow notation. Later I posted movie about Moser, to Nico-nico-douga http //www.nicovideo.jp/watch/sm21303901 http //www.nicovideo.jp/watch/sm21303970 However, those movies are in Japanese, so I want to write down the process of calculation, in English. It needs...
• ＞＞161の定義した数
  昔の2chの//www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln022.htmlにて、 161氏がグラハム数を用いて定義した以下の数がある。 161 名前：１３２人目の素数さん ：02/06/20 22 25 　 156　じゃあグラハム数でいってみよう グラハム数の定義はご存知だと思うが（これがどれだけ超巨大かはグラハム数スレ参照） の数だけ3と3の間にが挟まった数を1段階として、2段階は1段階の数だけ3と3の間にがある数と 繰り返した63段階目の数がグラハム数と定義されてる。 　この前段階の数だけが挟まる数が次の段階という63回の変換の1回をＧ変換と名付ける。 「Ｎ０１　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを 　Ｎ０２　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した...
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