graphite

Graphiteに関する覚書

構造

まず、結晶構造について。格子定数は
$a=b=2.456\ {\rm \AA}$ , $c=6.696\ {\rm \AA}$
である。実空間では格子ベクトルは次のように定義される。
${\bf A}=a(1,0,0)$
${\bf B}=a(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$
${\bf C}=c(0,0,1)$
単位格子の体積は三つのベクトルの外積と内積の組合せで求まる。
$V={\bf A}\times{\bf B}\cdot{\bf C}=a^2(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot{\bf C}=a^2c\frac{\sqrt{3}}{2}$

単位格子内の原子の位置は次の通り。
${\bf r}_1={\bf A}=(0,0,0)$ ${\bf r}_2=\frac{{\bf A}+2{\bf B}}{3}=(0,\frac{\sqrt{3}}{3}a,0)$
${\bf r}_3=\frac{{\bf C}}{2}=(0,0,\frac{c}{2})$ ${\bf r}_4=\frac{2{\bf A}+{\bf B}}{3}+{\bf r}_3=(\frac{1}{2}a,\frac{\sqrt{3}}{6}a,\frac{c}{2})$

逆格子ベクトルと構造因子

公式から逆格子ベクトルを計算する。
${\bf A}^*=\frac{{\bf B}\times{\bf C}}{V}=(\frac{1}{a},\frac{1}{\sqrt{3}a},0)$

${\bf B}^*=\frac{{\bf C}\times{\bf A}}{V}=(0,\frac{2}{\sqrt{3}a},0)$

${\bf C}^*=\frac{{\bf A}\times{\bf B}}{V}=(0,0,\frac{1}{c})$

${\bf G}=h{\bf A}^*+k{\bf B}^*+l{\bf C}^*=(\frac{h}{a},\frac{h+2k}{\sqrt{3}a},\frac{l}{c})$
逆格子ベクトルと原子の位置ベクトルの内積を計算する。これに $2\pi i$ を掛けたものが直接波と散乱波の位相差になる。
${\bf G}\cdot{\bf r}_1=0$
${\bf G}\cdot{\bf r}_2=\frac{h+2k}{3}$
${\bf G}\cdot{\bf r}_3=\frac{1}{2}$
${\bf G}\cdot{\bf r}_4=\frac{2h+k}{3}+\frac{l}{2}$
構造因子 $F_u$ は位相差の指数の総和に比例する。強度は二乗に比例する。
$F_u=\sum\exp(f_j{\bf G}\cdot{\bf r}_j\pi i)$
$=f(1+\exp(\frac{h+2k}{3}\pi i)+\exp(\frac{l\pi i}{2})(1+\exp(\frac{2h+k}{3}\pi i)))$