楕円 - 一般式to標準形の変換導出 - ppn Lab. @ wiki

楕円 - 一般式to標準形の変換導出

理解・計算過程メモのために書きました。
参考サイトの方がわかりやすく説明されています。

●概要

一般式 → 標準形の導出過程です。~~また，楕円である条件も導出できます。~~(考え中)

回転・平行移動した楕円の式を，逆平行移動・逆回転させて標準形のパラメータを求めます。

　 ${\scriptstyle Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 {\ \cdots\ } (1) }$

○逆平行移動させる

平行移動量を(x0,y0)とし，x=x'+x0, y=y'+y0 を式(1)に代入します。
　 ${\scriptstyle A(x'+x_0)^2 + B(y'+y_0)^2 + C(x'+x_0)(y'+y_0) + D(x'+x_0) + E(y'+y_0) + F = 0 }$

x', y'で整理します。
　 ${\scriptstyle A{x'}^2 + B{y'}^2 + Cx'y' }$
　 ${\scriptstyle + (2Ax_0+Cy_0+D)x' {\ \cdots\ D'\ =\ 0} }$
　 ${\scriptstyle + (2By_0+Cx_0+E)y' {\ \cdots\ E'\ =\ 0} }$
　 ${\scriptstyle + (A{x_0}^2 + B{y_0}^2 + Cx_0y_0 + Dx_0 + Ey_0 + F) {\ \cdots\ K \ } }$
　 ${\scriptstyle =\ 0 }$

楕円の中心は原点なので，D'=0, E'=0となり連立方程式が得られます。
これを解き，平行移動量を導きます。
　 ${\scriptstyle x_0=\ \frac{CE-2BD}{4AB-C^2} }$
　 ${\scriptstyle y_0=\ \frac{CD-2AE}{4AB-C^2} }$

逆平行移動後の一般式は次のようになります(x',y'をx,yに戻してあります)。
　 ${\scriptstyle A{x'}^2 + B{y'}^2 + Cx'y' + K = 0 {\ \cdots\ } (2) }$

○逆回転させる

回転量をθとし，逆回転させるためにx=xcosθ-ysinθ, y=xsinθ+ycosθを式(2)に代入します。
※　面倒なのでx',y'ではなくそのままx,yを使っています。
　 ${\scriptstyle A(x\cos\theta-y\sin\theta)^2 + B(x\sin\theta+y\cos\theta)^2 + C(x\cos\theta-y\sin\theta)(x\sin\theta+y\cos\theta) + K = 0 }$

x,yで整理します。
　 ${\scriptstyle ( A \cos^2\theta + B \sin^2\theta + C \sin\theta \cos\theta )x^2 {\ \cdots\ A'} }$
　 ${\scriptstyle +\ ( A \sin^2\theta + B \cos^2\theta - C \sin\theta \cos\theta )y^2 {\ \cdots\ B'} }$
　 ${\scriptstyle +\ ( -2(A-B) \sin\theta \cos\theta + C (1-2 \sin^2\theta) )xy {\ \cdots\ C'\ =\ 0} }$
　 ${\scriptstyle + K }$
　 ${\scriptstyle =\ 0 }$

楕円は回転していないので，C'=0と方程式が得られます。
これを解き，回転量を導きます。
展開式，および変形：
　 ${\scriptstyle -2(A-B) \sin\theta\cos\theta + C (\cos^2\theta - \sin^2\theta) \ =\ 0 }$
　 ${\scriptstyle -(A-B) \sin2\theta + C \cos2\theta \ =\ 0 }$
　 ${\scriptstyle \frac{\sin2\theta}{\cos2\theta} \ =\ \frac{C}{A-B} }$
これから
　 ${\scriptstyle \theta \ =\ \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{C}{A-B} }$

逆回転後の一般式は次のようになります。
　 ${\scriptstyle A'{x}^2 + B'{y}^2 + K = 0 {\ \cdots\ } (3) }$

○径を導く

式(3)を変形，標準形にし，径を導きます。
　 ${\scriptstyle \frac{x^2}{ \sqrt{-K/A'}^2 } + \frac{y^2}{ \sqrt{-K/B'}^2 } = 1 }$

これから
　 ${\scriptstyle a\ =\ \sqrt{-\frac{K}{A'}}\ =\ \sqrt{ - \frac{ A{x_0}^2 + B{y_0}^2 + Cx_0y_0 + Dx_0 + Ey_0 + F }{ A\cos^2\theta + B\sin^2\theta + C\sin\theta\cos\theta } } }$
　 ${\scriptstyle b\ =\ \sqrt{-\frac{K}{B'}}\ =\ \sqrt{ - \frac{ A{x_0}^2 + B{y_0}^2 + Cx_0y_0 + Dx_0 + Ey_0 + F }{ A\sin^2\theta + B\cos^2\theta - C\sin\theta\cos\theta } } }$

？

●楕円である条件

もとめた標準形のパラメータから，楕円の条件は次であることがわかります。
　A≠0　･･･　(4)
　B≠0　･･･　(5)
　Aの符号 = Bの符号　･･･　(6)
　4AB - C^2 ≠ 0　･･･　(7)
　-K/A' > 0　･･･　(8)
　-K/B' > 0　･･･　(9)

(4)-(7)まではそのままです。

式4,5を解いていくために，A,Bの符号を正に固定します。
※ 式全体に0でない定数を掛けても，その式が指す楕円は変わりません。
　A > 0
　B > 0

○A'に関して

ひとまず，A'を展開してゆきます。
　 ${\scriptstyle A'\ =\ A\cos^2\theta + B\sin^2\theta + C\sin\theta\cos\theta }$

半角・2倍角の公式を使います。
　 ${\scriptstyle 2A'\ =\ A(1+\cos2\theta) + B(1-\cos2\theta) + C(\sin2\theta) }$
　 ${\scriptstyle ,\ \ \ \ =\ A + A\cos2\theta + B - B\cos2\theta + C\sin2\theta }$

媒介変数表示を使います。
　 ${\scriptstyle \tan\theta = t,\ \sin2\theta=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos2\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2} }$
　 ${\scriptstyle 2A'\ =\ A + A\frac{1-t^2}{1+t^2} + B - B\frac{1-t^2}{1+t^2} + C\frac{2t}{1+t^2} }$