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楕円

※ @wikiのtex記法は大きすぎるのですが，{\scriptstyle }で囲むと小さく表示できます。

◆一般式・標準形
◆一般式と標準形の相互変換


一般式・標準形

平行移動・回転の変換それぞれの方程式の 求め方・一覧は：楕円 - 方程式一覧

一般式
楕円を表す方程式は，次のような二次曲線(∈二次方程式)です。
※ 二次方程式が二次曲線である条件については：楕円 - 楕円である条件

　{\scriptstyle Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F\ =\ 0,\ 4AB-C^2 > 0 }

標準形
また，楕円の方程式はしばしば次のような「標準形」で表されます。
※ 平行移動量(中心)：(x0,y0)，回転量：θ

　{\scriptstyle \frac{ \{ (x-x_0)\cos\theta + (y-y_0)\sin\theta \}^2 }{ {r_x}^2 } + \frac{ \{ (x-x_0)\sin\theta - (y-y_0)\cos\theta \}^2 }{ {r_y}^2 } = 1,\ r_x > 0,\ r_y > 0 }


一般式⇔標準形 相互変換

表記をにするため，rx=a, ry=bとしてます。

標準形 ⇒ 一般式
標準形を展開した結果です。

　{\scriptstyle A\ =\ b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta }
　{\scriptstyle B\ =\ b^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta }
　{\scriptstyle C\ =\ 2(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta }
　{\scriptstyle D\ =\ -2{x_0}( b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta ) -2{y_0}( b^2-a^2 )\sin\theta\cos\theta }
　{\scriptstyle E\ =\ -2{y_0}( b^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta ) -2{x_0}( b^2-a^2 )\sin\theta\cos\theta }
　{\scriptstyle F\ =\ {x_0}^2(b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta) + {y_0}^2(b^2\sin^2\theta+a^2\cos^2\theta) }
　{\scriptstyle ,\ \ \ \ \ \ \ + 2{x_0}{y_0}(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta }
　{\scriptstyle ,\ \ \ \ \ \ \ - a^2b^2 }

一般式 ⇒ 標準形
導出します：楕円 - 一般式to標準形の変換導出

　{\scriptstyle x_0=\ \frac{CE-2BD}{4AB-C^2} }
　{\scriptstyle y_0=\ \frac{CD-2AE}{4AB-C^2} }
　{\scriptstyle \theta \ =\ \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{C}{A-B} }
　　※ arctan2を使わず，θ = (A-B == 0) ? 0 : arctan( C/(A-B) )/2;でいけました。
　{\scriptstyle a\ =\ \sqrt{-\frac{K}{A'}} }
　{\scriptstyle b\ =\ \sqrt{-\frac{K}{B'}} }

ただし，
　{\scriptstyle K\ =\ A{x_0}^2 + B{y_0}^2 + Cx_0y_0 + Dx_0 + Ey_0 + F }
　{\scriptstyle A'\ =\ A \cos^2\theta + B \sin^2\theta + C \sin\theta \cos\theta }
　{\scriptstyle B'\ =\ A \sin^2\theta + B \cos^2\theta - C \sin\theta \cos\theta }


端点・座標

楕円の描画は，楕円の端を求めx,y軸それぞれに沿ってもう片方の座標を算出することで可能です。
導出過程・結果は：楕円 - 座標・端点

効率的な描画は，3Dモデル描画等の方法を調べればよいのかもしれません。


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最終更新：2013年08月08日 19:40