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楕円 - 方程式一覧

平行移動・回転した楕円の標準形を求める

これは，次の "平行移動・回転 していない 標準形"に平行移動・回転を加えることで得られます。

　{\scriptstyle \frac{x}{{r_x}^2 } + \frac{y}{{r_y}^2} = 1,\ r_x > 0,\ r_y > 0 }

まず，楕円を平行移動させますが，それには方程式中の x, y を x-x0, y - y0 と置きなおします。
これにより，方程式を満たすx, yはそれぞれ x0, y0分増えなければならず，楕円が平行移動したことになります。

同様にして回転も，xcos(-θ) - ysin(-θ), xsin(-θ) + ycos(-θ)
整理すると xcosθ + ysinθ, -xsinθ + ycosθ と置きなおせば回転した楕円の方程式が得られます。

方程式を平行移動・回転させるには，点に加えたい変換と 逆の変換を方程式中のx,yに施し置き替えればよさそうです。

変換された楕円の標準形・一般式

回転・平行移動 無し

標準形
　{\scriptstyle \frac{x^2}{{r_x}^2} + \frac{y^2}{{r_y}^2} = 1 }
一般式
　{\scriptstyle Ax^2 + By^2 + F = 0 }

回転のみ

標準形
　{\scriptstyle \frac{(x\cos\theta+y\sin\theta)^2}{{r_x}^2} + \frac{(x\sin\theta-y\cos\theta)^2}{{r_y}^2} = 1 }
一般式
　{\scriptstyle Ax^2 + By^2 + Cxy + F = 0 }

平行移動のみ

標準形
　{\scriptstyle \frac{(x-x_0)^2}{{r_x}^2} + \frac{(y-y_0)^2}{{r_y}^2} = 1 }
一般式
　{\scriptstyle Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 }

一般式・標準形

標準形
　{\scriptstyle \frac{ \{ (x-x_0)\cos\theta + (y-y_0)\sin\theta \}^2 }{ {r_x}^2 } + \frac{ \{ (x-x_0)\sin\theta - (y-y_0)\cos\theta \}^2 }{ {r_y}^2 } = 1 }
一般式
　{\scriptstyle Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 }




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最終更新：2013年08月08日 18:18