1 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 03:24:41 ID:BClw1vEc0
数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレッドで。
質問をする際の注意
★★★必ず最後まで読んでください★★★
・マルチポスト(マルチ)をした質問には原則一切回答しません。
マルチポストとは→http://e-words.jp/w/E3839EE383ABE38381E3839DE382B9E38388.html
マルチポストの指摘はURLつきで。
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・回答者はいろいろな方法を用いるので、必要ならどの方法で解くか、自分がどこまで
履修済みか書く。（例：ベクトルで解く方法を知りたい、数IAの範囲で、など）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
(例1) 1/2aは (1/2)a あるいは 1/(2a) ともとれるので誤解されないように( )を使って書く。
(例2) 数列の場合も、anよりも a(n) 、a[n]、a_n などと表す方が添え字がわかりやすい。
・下のリンクの数学記号の書き方をよく読んで、他の人が読んでも問題がわかるように書く。
慣習的でない記号、用語を使うときはそれの説明も書く。
・問題・条件などを省くと答えられない場合が多い。できるだけ問題文すべて、必要なら解答、
解説部分も書く。特に「○○問題集の○ページor 問○を教えてください」だけ書くような
質問は回答が遅れるだけで結局すべて書くことになります。
・どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・携帯からの質問はそちらの都合ですので、回答者に配慮を求めないでください。
数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
前スレ
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part75＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1200256425/
2 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:26:12 ID:DeKCmDzP0
おおおおおおおおおおおおおおおお乙でありますううううううぅぅぅぅ
3 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:26:29 ID:BIXNPm3A0
いやいや今夜こそはゲット！
4 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 03:27:20 ID:BClw1vEc0
>>2
2ゲット乙
とっとと寝たほうがよいのではないか？
5 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:28:43 ID:LuDqquSEO
>>2
今日はまじで寝ないほうがいいっすよ(>_<) 少しだけ寝たほうが逆につらいっす(>_<)
6 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:29:29 ID:LuDqquSEO
>>4
あなたは何大学ですか？信州大学の全学教育機構にはエアコンないんですよ(>_<)Fランクですよ(>_<)
7 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:34:44 ID:DeKCmDzP0
歯磨きしながら読み終わってない化学の解説読んでてね・・・
終わったら寝るね・・・
8 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:36:05 ID:LuDqquSEO
>>2
まるで本命の女の子に手が届かないのであきらめて妥協して付き合ってしまった大学生活と一緒ですよ(>_<)
大学に嫌われ、女に嫌われ↓
9 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 03:36:29 ID:BClw1vEc0
>>6
名前は出さんがどこかの国立
大学の名前気にするより大学で自分が何をなしえるかを気にしたほうが
いいのではないか？
10 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:39:01 ID:LuDqquSEO
>>9
部活で国公立の大会で優勝することと、バイトでお金ためて車買うこと以外、このFランク信州大学に通う意味などありません(>_<)
11 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 03:48:11 ID:BClw1vEc0
>>10
大学に価値を見出せないのであっても自分を磨くことはできるだろう
今のうちにいろいろと考えてやってみることだ
12 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:51:55 ID:zO52bblx0
>>1乙
なんか妙レスが増えてるとおもたらこういうことが。
受験生は寝なさいって
13 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 03:56:48 ID:LuDqquSEO
>>11
そうですね(>_<)あなたはきっと後輩から好かれる先輩だったでしょうね。こんな自暴自棄になってるおれにさえ、馬鹿扱いしないのですから(>_<)
14 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 04:01:52 ID:BClw1vEc0
>>13
大学にいる期間は人間的に成長するための貴重な時間だと思う
自分の可能性を広げるためにも大学にとらわれずに頑張るといい
15 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 04:04:15 ID:LuDqquSEO
>>14
そうですね(>_<)わかりました。ありがとうございます。もう自暴自棄だったんですが、頑張ってみようと思います。本当にアドバイスありがとうございます。ちなみに大学院ってどんな人なら行く価値があると思いますか？
16 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 08:04:10 ID:KG5Nqp2+0
f'(x)=3f(x)を高校レベルの解き方をするとこうでしょうか
（あらかじめf(x)=0でないことを言っておいて）
f'(x)/f(x)=3の両辺をxで積分すると左辺はy=f(x)と置換できるので
∫1/y dy=log|y|=log|f(x)|
これが右辺の積分と等しいので（積分定数も考慮して）
log|f(x)|=3x+C
（後略）
あるいは合成関数の微分の知識から直接(log f(x))'=f'(x)/f(x)を使うか
この場合f(x)<0となることがないことはf(x)の連続性から示せます
または(log|x|)'=1/xから(log|f(x)|)'=f'(x)/f(x)でも
17 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 08:30:41 ID:Tg9s6CEVP
>>16
あらかじめ結果を予想できているという前提で‥
g(x)=f(x)e^(-x)とおくと
g'(x)={f'(x)-3f(x)}e^(-x)=0より
g(x)=A（定数）つまりf(x)=Ae^xとおける
18 名前：１７[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 08:31:48 ID:Tg9s6CEVP
>>16
訂正
g(x)=f(x)e^(-3x)とおくと
g'(x)={f'(x)-3f(x)}e^(-3x)=0より
g(x)=A（定数）つまりf(x)=Ae^(3x)とおける
19 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 08:33:57 ID:xNzH9ZJzO
>>16
こう。
f(x)=0は明らかに解である。
f(x)≠0のとき
f'(x)/f(x)=3
辺々xで積分して
log|f(x)|=3x+C_1
∴f(x)=±e^(C_1)*e^(3x)
以上よりまとめて
f(x)=Ce^(3x)
(C,C_1は任意定数)
20 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 09:12:51 ID:WaSUWD4X0
2^x+2^-x＝2
の時、
(x-1)(y-1)の最大値最小値を求めよ。
円書いたり、logとったりしてみましたがどうもうまく行きません。
21 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 09:15:31 ID:KG5Nqp2+0
>>20
yの条件は？
22 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 10:06:47 ID:PX0psrAv0
>>19
教科書的にはそれでいいが、「f(x)≠0のとき」は、「ｙ＝０ という関数ではない」
という意味なので、部分的に０になる関数の存在は否定できない。
高校数学の誤魔化し。
>>16-17 の解き方がよい。
23 名前：22[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 10:08:30 ID:PX0psrAv0
× >>16-17 の解き方がよい。
○ >>17-18 の解き方がよい。
24 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 10:09:57 ID:0bSr1V0B0
>>21
ごめん、条件が
x^2+y^2=2
です。
25 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 10:28:50 ID:KG5Nqp2+0
>>24
対称性があるから対称式の問題にすると
条件は(x+y)^2-2xy=2
求める値はxy-(x+y)+1=(1/2)(x+y)^2-(x+y)
円上でx+yは-2≦x+y≦2だから
x+y=-2のときが最大の4
x+y=1のときが最小の-1/2
でしょうか
26 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 10:46:38 ID:KG5Nqp2+0
あるいは(x,y)=(√2cosθ,√2sinθ) （0≦θ<2π）とおいて
(x-1)(y-1)=2cosθsinθ-√2(cosθ+sinθ)+1の増減表を作ると
θ=π/4, 5π/4, (5π/6-π/4), (13π/6-π/4)で極値を取ると分かりますか
27 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 11:04:31 ID:KG5Nqp2+0
あるいは工夫せずに[-√2, √2]でy=±√(2-x^2)を代入して
(x-1)(±√(2-x^2)-1)の増減表を作るために微分して
2+x-2x^2=±√(2-x^2)を導き両辺２乗して４次方程式を因数分解すると
(x-1)(x+1)(2x^2-2x-1)=0となることからx=±1, (1±√3)/2を出し
y>0の場合(x=1, (1-√3)/2)とy<0の場合(x=-1, (1+√3)/2)に分けて
（2+x-2x^2の符合で分かりますx=±1の場合はそのまま代入あとの２つの値は2x^2-2x-1=0の解なので2-x-2x^2=1-xから求めます）
それぞれ増減表を作ることが出来ます
28 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 13:16:42 ID:KG5Nqp2+0
>>27
>2-x-2x^2=1-xから求めます
2+x-2x^2=1-x
29 名前：24[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 14:18:16 ID:tO9fWW450
ありがとう！
30 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 14:25:28 ID:o6VaQNAM0
長くて申し訳ないですが、よろしくお願いします。
空間内に2つの円
C_0={(x,y,z):z-0かつx^2+y^2=1}
C_1={x,y,z):z=1かつx^2+(y-1)^2=1}
を考える。C_0上に点A=(cosθ,sinθ,0),C_1上に点B(cos(θ+α),sin(θ+α),1)をとり、
これらを両端とする線分をLとする。
α(0≦α＜2π)を固定してθを0から2πまで動かす時、Lが動いてできる空間内の図形をS_aとする。
S_aと平面z=0および平面z=1によって囲まれる立体をV_aとする。
(1) 線分ABをt:(1-t)に内分する点の座標を求めよ。
(tcos(θ+α)+(1-t)cosθ,t+tsin(θ+α)+(1-t)sinθ,t)
(2)V_aと平面z=t(0＜t＜1)との共通部分の面積を求めよ。
π{t^2+(1-t)^2+2t(1-t)cosα}
ここから質問です。
直感的に円になるとは思いましたが、
証明が思いつかなかったので根性で計算することにしました。
β,γはz=t平面でβ≦x≦γを満たす実数として
∫[βtoγ]ydx=∫[0to2π]y(dx/dθ)dθ…(ア)
と変形してゴリゴリ計算した結果、
π{2t(1-t)cosα-t^2-(1-t)^2}となりました。
(ア)のように考えるのは間違っていますか？
31 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 16:52:21 ID:KG5Nqp2+0
>>30
>∫[βtoγ]ydx=∫[0to2π]y(dx/dθ)dθ…(ア)
xに対してyは二つ考えられるでしょうねだから左辺はちょっと変ですが右辺は（符号を除き）正しいでしょう
一般に閉曲線上の点が(f(t),g(t)) (a≦t≦b)で与えられ
始点(f(a), g(a))から終点（＝始点）(f(b), g(b))まで時計回りにつまり曲線で囲まれる領域を右手に見ながら一周する場合
P(f(t),g(t))から微少なdtだけ変化したとしたQ(f(t+dt),g(t+dt))とx軸との間の台形の面積（ただし正負を考えます）は(f(t+dt)-f(t))(g(t+dt)+g(t))/2=f'(t)g(t)dtですのでこれらを集積した∫[a,b]f'(t)g(t)dtが求める領域の面積となります
この問題では円C_0上の点をθで表したときθの増加する方向で点が領域内を左手に見ながら回りますから求める面積は-∫[0,2π]y(dx/dθ)dθとなります
32 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 17:00:47 ID:KG5Nqp2+0
>>30
実際に計算してみましたが(2)は私もその値になりました
33 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 17:19:16 ID:KG5Nqp2+0
>>30
直感的な証明は分かりませんが
平面z=t上でのxとyの２乗の和を計算すると
x^2+y^2=(1-t)^2+2t(1-t)cosα+2ty
が出てきましたので確かに(0,t,t)中心の円ですね
半径の２乗がなにやら余弦定理な表示で与えられますから
幾何学的に証明できそうな気もしますね
34 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 17:28:10 ID:KG5Nqp2+0
そうかC_1をC_0の真上に置いてやって求めた点のy座標にtを加えているだけなので
平面z=t上の図形は平行移動するだけ（合同変換）だから円となるのは当たり前ですかね
35 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 17:32:24 ID:KG5Nqp2+0
とするとθ=0のときの交点とz軸の距離が円の半径ですから
そこから半径√(t^2+(1-t)^2+2t(1-t)cosα) が出ますね
36 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 20:29:29 ID:DeKCmDzP0
思い出した、大学入試で出題されるとしたら>>18みたいに誘導されるんだ。
>>16
それは微分方程式解いてるのと同じ。高校レベルじゃないの
37 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 20:43:42 ID:KG5Nqp2+0
同じなんですけどdf(x)/dx=3f(x)をdf(x)/f(x)=3dxにして・・・・よりは高校レベルの知識で解法が理解できるかと思ったのです
38 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/16(土) 20:45:09 ID:DeKCmDzP0
>>37
そうだね、うん。そうだよ。
39 名前：高一[age] 投稿日：2008/02/16(土) 22:15:12 ID:iNo0+9bWO
学校から配られました
どうせめるのかわかりません
字はきにしないできださい
２chの見方になれてないので、式を教えて頂ける場合もしよろしければ写メでアップしていただければ嬉しいです
手順と答えだけなら2chでもいいです
因みに東大の過去問だそうです
いろいろいってすいません
お願いしまっす
40 名前：高一[age] 投稿日：2008/02/16(土) 22:22:42 ID:iNo0+9bWO
すいません
問題はこれでhttp://h.pic.to/qwqbcす
41 名前：30[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 23:03:55 ID:kejU+WfiO
>31ｰ35
携帯からすいません。
詳しく解説してもらい、ありがとうございました。
おかげで理解できました。
42 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/16(土) 23:19:29 ID:geElkG0z0
２次方程式x^2+(p+qi)x+q+pi=0が少なくとも1個の実数界をもつように
正の実数p,qが動くときp^2+q^2の最小値を求めよ（但しiは虚数単位）。
（東京医科歯科大学1996年度第1問）ですが、赤本は実部と虚部に分け
て虚部のｘを出し、それを実部の二次方程式に代入してp^2をqの式で
表して微分するやり方で解いていますしかし、正直あまりしっくりき
ません。これを図形的などもっとクリアな方法で解くやり方はないで
しょうか？
なお、答えそのものは71+17√17/16 です。
43 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 01:47:33 ID:z2Z+Tw5K0
>>42
複素平面でα=p+qiとβ=q+piとが傾き1の直線に関して対称の位置にあることを考えると
k=|α|=|β|について三辺の長さがx^2, kx, kである三角形のそれぞれの対角が2θ, 3π/4-θ, π/4-θとなることが示せるので（θは傾き1もしくは-1の直線とαおよびβのなす角です）
正弦定理からk=(1+2sinθcosθ)/((2√2)sinθcosθ(cosθ-sinθ))が得られ
t=sinθcosθと置くことでk^2=(1+2t)^2/(8t^2(1-2t))となり0<t<1/2で増減表を作るとt=(-3+√17)/4において最小値を取ることが分かります
このときの値が(71+17√17)/16です
三角形についての条件はx>0の場合x<0の場合であり得る偏角等をかなり細かく考えて得られましたが図形的に考える意味はほとんどないように思えます（もちろんもっと見通しのよい考え方があるかも知れません）
44 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 01:48:17 ID:z2Z+Tw5K0
>>40
見れませんでした
45 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 02:23:48 ID:n/qvmUFnO
>>40です >>44 すいません
http://i.pic.to/pshb1
みれるようにしました
お願いしまっす
46 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 02:26:53 ID:n/qvmUFnO
ぴくとの仕様で朝４じからでないとみれないみたいです
47 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 02:30:32 ID:n/qvmUFnO
じこかいけつしました
画像消した
48 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 02:51:17 ID:nZt3xvVd0
>>43
ありがとうございます。
複素平面か、あるいは円と判別式の問題に落とせないかと思いましたが、
やはりごり押しで解いたほうがいいようですね…
本番で一番怖いのは判断がつかないことですが＾＾；
49 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 08:31:42 ID:z2Z+Tw5K0
>>48
良い方法があるかも知れませんが
複素数３つの和（x^2, αx, β）が0（３つのベクトルの和が0すなわち三角形をなすあるいは重心が原点）でαとβには関係があるとはいえそれらの図を描くと状況が見えてきませんでした
特にx<0を処理せねばならないのがなかなか大変ではないでしょうか
今思いつきましたがx<0に関しては
x^2+αx+β=0かつβ=i(α#)（α#はαの共役複素数（p-qi））ですので共役複素数の一般論x#=x, (z+w)#=z#+w#, (zw)#=(z#)(w#), z##=zより
x#^2+α#x#+β#=0#
x^2+α#x+β#=0
(-x)^2+(-α#)(-x)+β#=0
と変形するとβ#=(i(α#))#=(i#)(α##)=-iα=i((-α#)#)となりますからα'=-α#,=-p+qi β'=β#=q-piと取り直せばα'とβ'との関係が元と同じになって-x>0ですから
x>0だけ考えればよいことになります
（これから先もまだ長いのですが）
xが実数ですし複素数を実部と虚部に分けて連立させるときにその式の中にきれいに入りますのでそちらへ持っていくのも楽そうに思えます（xが複素数だとそうは行かないがxの実部と虚部に分けて同様にすることは出来る）
50 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 08:32:55 ID:z2Z+Tw5K0
>>49
>一般論x#=x
実数の共役複素数は自分自身という意味です
51 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 09:02:13 ID:z2Z+Tw5K0
>>48
あと共役複素数の一般論でz(z#)=|z|^2となることが使えないかとも考えたのですが先へ進めませんでした
これはx^2+αx+β=0の両辺にαを掛けたαx^2+α^2x+αβ=0においてαβ=α（i(α#))=iαα#=i|α|^2となるので求める値が|α|^2=ixα（x+α)となることを使えないかというものですがxとαは独立ではないので考えづらい・・・・
52 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 09:29:05 ID:z2Z+Tw5K0
>>49
>今思いつきましたがx<0に関しては
p>0, q>0ですからダメですね
むしろこの条件からx<0でしかあり得ないことになりますので場合分けを必要としません（前述の三角形の条件でのxは|x|のことです）
53 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 10:27:29 ID:zFkbfdv60
グラフが2点(1,4) (4,7)を通り、
その頂点が直線y=x+5上にあるような2次関数を求めよ。
(答)y=-x^2+6x-1,y=1/9x^2+4/9x+31/9
という問題なのですが、
求める2次関数をy=a(x-p)^2+(p+5)とおき、
それぞれ(1,4)と(4,7)を代入して連立方程式で解くと
一応答えは出るのですが、かなり遠回りなことをしてるように思えてなりません。
スマートな解法があれば教えてください。
54 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 10:29:14 ID:f2r/0jzeO
結論から言うとだな、人類はそろそろ滅亡しちまう。エイズとか破傷風とかで。
逃れる術は一つだ
http://b23.chip.jp/tafchiibou
で、
[錦織乳首黒すぎ]
とコメしてくれ。１コメあたり500人救われる計算だ。
２ちゃんの力でこのエピデミックから人類を救うお(´・ω・`)
55 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 10:31:11 ID:z2Z+Tw5K0
>>53
それが一番近そうに思えますよ
56 名前：53[] 投稿日：2008/02/17(日) 10:52:13 ID:zFkbfdv60
>>55
あ、そうなんですか。
連立方程式を解くと数3でもなかなか見ないよな複雑な式になったので･･･
ありがとうございました。
57 名前：53[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 10:54:23 ID:zFkbfdv60
訂正します。
×見ないよな
○見ないような
58 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 10:55:23 ID:FH1KKrK00
>>48
>本番で一番怖いのは判断がつかないことですが＾＾；
現行課程では、複素数平面を前提とした出題はあり得ないのだが、知らないのか？
59 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 13:49:34 ID:JBIhoE+t0
>>53
そのやり方は試してないけど、2次式の連立にならない
こっちの方がもう少しやりやすいかも。
y=a(x-1)^2+b(x-1)+4=a(x-4)^2+(6a+b)(x-4)+9a+3b+4 x=4を代入してb=1-3a
[(x-1)^2=((x-4)+3)^2として展開]
微分して頂点のx座標を調べて、元の式に入れると、どういうわけか結構簡単な
式になり、その式=頂点のx座標+5よすると、(a+1)(9a-1)=0の式が出てくる。
60 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 14:01:44 ID:gXmMPxeC0
初歩的な質問で申し訳ないのですが
グラフの概形を描けって問題だと1回微分して増減をしらべるだけでいいですよね？
61 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 14:11:33 ID:MIRQgS9K0
>>56
そんなとんでもない式ではないはずですよ
4=a(1-p)^2+(p+5)
7=a(4-p)^2+(p+5)
下から上を引くとA^2-B^2=(A+B)(A-B)が使えて1=a(5-2p)そこでa(1-p)^2+(p+1)=0の両辺に5-2pを掛けて(1-p)^2+(p+1)(5-2p)=0を展開すると-p^2+p+6=0からp=-2,3それぞれについてa=1/9, -1となります
62 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 14:15:49 ID:MIRQgS9K0
>>60
関数や問題によるんじゃないでしょうか
極限や漸近線を考える必要がある場合もありますし
凹凸や変曲点が求められるかもしれませんし
あと切片は計算しておいた方が良いと思います
63 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 14:21:11 ID:gXmMPxeC0
>>62 凹凸まで調べる必要があるときは
大抵問題に凹凸を調べてグラフの概形を描けって書いてるんですが
書いてない場合でも変曲点が求められる場合は調べといたほうがいいんですかね？
64 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 14:23:56 ID:6I1za4+R0
仕事をA君が６日間した後に
A君に代わってB君が残りの仕事を１０日間で完成した。
この仕事をA君とB君がはじめから2人で行うと何日目に完成するか
A君とB君が1日にできる仕事の量の比は４：５である
お願いします
65 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 14:28:01 ID:MIRQgS9K0
「求められる」は「要求される」という意図でした
普通はいらないと思います
66 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 14:32:04 ID:MIRQgS9K0
>>64
仕事の量を１として各人の効率（仕事量／期間）をa,bとすると6a+10b=1, a:b=4:5⇔5a=4bとなりますからここからa,bを求めてx(a+b)=1を満たすxを計算すればよいでしょう
67 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 16:49:02 ID:SwmgEAAsO
こんくらい暗算でできないと困る
68 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 16:57:24 ID:JBIhoE+t0
暗算でできる？
今、 6x+4y=a, x/y=4/5, tx+ty=aという3つの式を立てて連立したのがバカみたい
69 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 17:01:54 ID:JBIhoE+t0
x,yをA,Bが１日に行う仕事、aを仕事量、z=
t(x+y)=aからt=a/(x+y)=(6x+4y)/(x+y)=(6(x/y)+4)/((x/y)+1)とすると
そんなに労力を使わずに求まるが
70 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 17:52:41 ID:4htovk0MO
数列で
1,1+5,1+5+9,1+5+9+13…
の公差が4てあるんですけどなんでですか??
1,5,9,13,17…
ならわかるんですけどなんで前のとこに余分なのついてても4のままなのかわからなくて(;_;)
71 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 17:59:40 ID:JBIhoE+t0
等差数列じゃないのだが・・・
72 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:01:13 ID:MIRQgS9K0
>>64
>仕事をA君が６日間した後に
>A君に代わってB君が残りの仕事を１０日間で完成した。
AB全部で１０日という意味ですか？
73 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:02:12 ID:MIRQgS9K0
>>70
正確な問題文が必要です
74 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:11:13 ID:JBIhoE+t0
>>72
何を言ってるんだお前は
75 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:15:42 ID:MIRQgS9K0
>>74
「Ｂが残りの仕事を１０日間で完成した」ではないかと思ったのです
76 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:16:17 ID:JBIhoE+t0
前の項に加わるのは初項1、項差4の数列だから、
a_n=a_(n-1)+1+4(n-1)の形と分かる。もしかしたらnの値がずれてるかもしれないので、
n=2とか入れて調べてみると確かにこの形。
77 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:16:53 ID:JBIhoE+t0
>>75
なるほどなるほどなるほど、賢いんだね。
78 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 18:17:26 ID:4htovk0MO
次の数列の第k項をkで表せ。また、初項から第n項までの和Ｓnを求めよ。
1,1+5,1+5+9,1+5+9+13,……
答え出だし
第k項は初項1,公差4,項数kの等差数列の和である。
どなたかわかりますか～??(;_;)
79 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 18:20:36 ID:4htovk0MO
>>76
問題文いらなかったですか(^O^)/
そういうことか！ありがとう～！
いやあ助かった。
80 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:22:59 ID:JBIhoE+t0
>第k項は初項1,公差4,項数kの等差数列の和である
和って書いてあるよ。
>>76の漸化式を使うなら、数列の総和にはいい方法がある。
nまでの和をS_nとすると a_n=S_n-S_(n-1) だから、a_nはS_nの階差数列なので
S_n(2<=2)=a_1+∑[k=1.n-1]a_k-a_(k-1)=1+∑[k=1,n-1](1+4(n-1))となる
間違ってたらごめんなさいです
81 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:23:57 ID:MIRQgS9K0
>>78
考えている数列の第k項が「初項1公差4項数kの等差数列の和」であると言っています
考えている数列自体が等差数列でもなくその公差が4であると言っているわけではありません
82 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 18:26:04 ID:JBIhoE+t0
やっぱり間違ってたし、なおしてもあんまり役に叩かなかった恥ずかしい
83 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 19:13:44 ID:JSiKiYpbO
78
まず、1,1+5,1+5+9,1+5+9+13,……にＢnという名前をつけて、Ｂn+1－Ｂn＝Ｃn(n≧1)とするとＣn＝{5、9、13、…}になり、Ｃnの一般項はＣn＝4n+1になり、さっきのＢn+1－Ｂn＝Ｃn(n≧1)に代入してＢn+1－Ｂn＝4n+1(n≧1)
よって
n-1
Ｂn＝Ｂ1＋Σ(4m+1)
m=1
(n≧2)
【これがさっきの『第k項は初項1,公差4,項数kの等差数列の和である。』ってことです、（まだ第n項の形ですよ）】
よってＢn＝n(2n-1)、(n≧2)
またこれたn=1のときもＢ1＝１でなりたつのでＢn＝n(2n-1)、(n≧1)
従ってＢk＝k(2k-1)
これが求める数列の第k項の式
あとは、Ｓn＝Ｂ1+Ｂ2+Ｂ3+……………
だから
n
Ｓn＝Σt(2t-1)
t=1
を計算すればいいんじゃないんですかね??
84 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 19:19:17 ID:JSiKiYpbO
途中のΣの式おかしくなってしまってるんですけど大丈夫ですかね??
わかります??
､､､､､､､､､､n-1
Ｂn＝Ｂ1＋Σ(4m+1)
､､､､､､､､､､m=1
(n≧2)
､､､､､､n
Ｓn＝Σt(2t-1)
､､､､､t=1
と見て下さい
､､､､､､､､←は関係ないです
85 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 19:30:41 ID:JBIhoE+t0
第n項が第ｎ項までの等差数列の相和なんだから
a_n=∑1+4(k-1)で済むのでは・・・
86 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 19:31:12 ID:AYJfdwo40
>>80
＞nまでの和をS_nとすると a_n=S_n-S_(n-1) だから
こうなこと使うのは、問題分にS[n]が与えられた時に一般項を求める時ぐらい。
この問題じゃ使わん。
87 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 19:32:41 ID:JBIhoE+t0
>>86
うん、この勘違いに気づいて間違ってたってすぐ書き込んだじゃん
恥ずかしいから忘れてくれ
88 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 19:37:10 ID:AYJfdwo40
>>78
＞第k項は初項1,公差4,項数kの等差数列の和である。
日本語がわからんのか？
第1項は 1
第2項は 1+5
第3項は 1+5+9
･･･
第k項は 1+5+9+･･･+(4k-3) だろ？
この第k項ってのは初項1,公差4,項数kの等差数列の和。
そもそもこの文がわからないなら、数列の一番初めっからやり直せな
89 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 20:21:47 ID:iCxfjXSx0
a>0の時、相加相乗平均の不等式で
a^2+1/a≧2√a
等号はa=1 だから上の式の左辺の最小値は2√1＝2
この論法って合ってますか？
90 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 20:22:34 ID:4htovk0MO
>>88
今ようやく気付いたよー！
『和』か。
単純に足してあったのがならんでただけか～!!
1項ずつならんでたのかと思ってたよ。
みなさんいろいろありがとです。ここはいいスレだ(^O^)/
91 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 20:36:01 ID:JBIhoE+t0
>>90
お前かわいいな
92 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 20:42:49 ID:pHxtKLWm0
>>89
正しいはずがない。
右辺が a によらない値定数c になれば、左辺がc以上であることはいえる。
でもそうでなければタダの不等式。
x^2≧2x-1 ( (x-1)^2≧0 より）で、等号は x=1 の時成立だが、
左辺の最小値はx=1の時の値１ではなく、0。
実際、a=0.8 としてみれば、a^2+1/a=1.89<2。
右辺が定数になるように
a^2+1/(2a)+1/(2a)≧3(1/4)^(1/3)
と変形するのならＯＫ。
ただし、等号が成立する場合があることをいわないと最小値の証明にはならない。
93 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 20:44:33 ID:AYJfdwo40
>>89
それよくある間違い。
a^2+1/aの微分は(2a^3-1)/a^2になることから、増減表からa=2^(-1/3)のとき最小だってわかる。
なんでダメかというと、2√aの最小値が2とは限らないから。
a^2+1/a≧2√a＞0
という不等式が成り立つことしか言えず、a^2+1/aの最小値までは言及できない。
もっとわかりやすいダメな例としては
x≧0のとき
x^2+1≧2x≧0
よってx^2+1の最小値は0である？
この場合は
x^2+1≧2x (x=1で等号)
2x≧0 (x=0で等号）
と、二つの不等式の等号成立条件が一致しないために、最小値が0であるとは言えない。(正解は当然だけど、x=0で最小値1)
94 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 20:47:30 ID:iCxfjXSx0
>>92
ご丁寧にありがとうございます。そうですよねー！
では、その左辺の最小値を求めるときってⅠA２Bのみの知識では解けないですか?
95 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 20:55:31 ID:AYJfdwo40
>>92に
＞右辺が a によらない値定数c になれば、左辺がc以上であることはいえる。
ってあるけど、そうならなくとも相加相乗平均から最小値を求められる問題『も』ある。
0<θ<π/2において
1/cosθ +1/sinθ≧2/√(sinθcosθ) （相加相乗より、θ=π/4のとき等号)
=2√2/√sin2θ
≧2√2 （0<sin2θ≦1から θ=π/4のとき等号）
これから1/cosθ +1/sinθの最小値はθ=π/4のとき2√2
と求まる。
二つの不等式の等号成立条件が”たまたま”一致するから、この場合には相加相乗平均の関係から最小値が求まる。
うまくいく場合がそんなにないし、普通は微分する解法で解くから注意しなよ。
96 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 20:56:40 ID:MIRQgS9K0
３次関数の極小値を云々しなくてはいけないので無理じゃないでしょうか
97 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 20:58:32 ID:AYJfdwo40
>>94
>>92に
＞右辺が定数になるように
＞a^2+1/(2a)+1/(2a)≧3(1/4)^(1/3)
ってあるじゃん。
98 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:11:47 ID:MIRQgS9K0
答えを知ってからだと
３次関数をf(x)=x^3-3p^2x+2p^3+qの形に変形した後（適宜xの変数変換（平行移動）を行って２次の項を消します）f(x)-q=(x-p)^2(x+2p)からx≧-2pにおいてf(x)≧qを示せます（x=pで等号成立）
99 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:15:32 ID:MIRQgS9K0
>>92,97
なるほどウマイですね
100 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:18:29 ID:JBIhoE+t0
>>98
(a^3+1)/aじゃないのか・・・？
101 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:27:22 ID:MIRQgS9K0
>>100
a^2+1/a≧kが全てのa>0について成立するようにですから
a^3+1≧ka
a^3-ka+1≧0
k=3p^2(≧0)と置くと
a^3-3p^2a+2p^3+(1-2p^3)≧1-2p^3が最小値ですので
1-2p^3≧0でなくてはいけないことよりp≦(1/2)^(1/3)
k≦3(1/4)^(1/3)であればよい（必要十分）という風に考えました
>>92の方の解答の方がスマートです
102 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:34:58 ID:JBIhoE+t0
>a^3-3p^2a+2p^3+(1-2p^3)≧1-2p^3が最小値
？？？一体何が起こったのですか？
103 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:40:54 ID:MIRQgS9K0
>>102
a^3-3p^2a+2p^3=(a-p)^2(a+2p)≧0 （a,p>0）だからです
104 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 21:51:13 ID:zFkbfdv60
>>59
>>61
遅くなりましたが、ありがとうございました。
105 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:56:22 ID:JBIhoE+t0
ずっと考えてるのだが、1-2p^3≧0でなくてはいけないのについて疑問が残る……
106 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 21:57:38 ID:odOBkbfWO
サインハイパーボリック！
107 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:01:44 ID:MIRQgS9K0
>>105
すべてのa>0について
a^3-3p^2a+1≧1-2p^3 （等号成立はa=p）
はよろしいでしょうか？考えなくてはいけないのは
すべてのa>0についてa^3-3p^2a+1≧0
であるためのp（すなわちk）の条件ですから
最小値1-2p^3≧0であることが必要十分条件となるわけです
108 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:07:29 ID:OkpgIFYQO
突然すみません。素数って何ですか？
109 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:08:18 ID:VyhoW0ZT0
解けないんで解いてください
正の整数 a を初項とし，1より大きい整数 r を公比とする等比数列 { a n } が a 4 =54 をみたすとき，
a=チ ， r=ツ
である。このとき
S n = ∑ k=1 n k a k
とすると，
r S n − S n =( テ n−ト ) ナ n +ニ
となる。これより， S 6 =ヌネノハ である。
110 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:13:16 ID:JBIhoE+t0
>>107
考えなくてはいけないのは
すべてのa>0についてa^3-3p^2a+1≧0
であるためのp（すなわちk）の条件
どどどど、どういうことっすかこれ……
何で0以上なんて出てくるんすか。kの最小値、つまりpの最小値を求めたいのじゃ・・
111 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 22:17:22 ID:ufYdeJ/AO
積分で何も書かずにバームクーヘンって使っていいんですか？
112 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:19:11 ID:MIRQgS9K0
>>108
２以上の自然数のうち１と自分自身のみを正の約数に持つものです
113 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:23:13 ID:MIRQgS9K0
>>109
a4=ar^3=54=2・3^3からaとrが分かります
>S n = ∑ k=1 n k a k
これがよくわかりませんが
Sn=a1+a2+....+an
ということでしょうね？
Sn=a+ar+ar^2+...+ar^(n-1)
から求められますよ
114 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:25:09 ID:JBIhoE+t0
>>111
大学によりけりですので、微小体積の円筒型の薄い立体の体積を集めることを
一言書いて説明するようにしたらいいよ
115 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:25:18 ID:MIRQgS9K0
>>110
a^2+1/a≧kがすべてのa>0で成立するためのkの条件を求めるという方針ですkには最小値はありません求めるべきは最大値（および等号成立条件）です
116 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:29:11 ID:MIRQgS9K0
>>113
>Sn=a1+a2+....+an
>ということでしょうね？
Sn=a1+2・a2+....+n・an=a+2ar+3ar^2+...+nar^(n-1)
ですね？あとは同様です
117 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/17(日) 22:29:28 ID:ufYdeJ/AO
>>114
やっぱそうですか、どもです。
118 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:31:19 ID:J+gKKfIQ0
>>109
ar^3=54=2*3^3でa,rが正の整数であることよりa=2,r=3
これをSnに代入して素直に計算すると
rSn-Sn=(2n-1)*3^n+1となり、S6＝4010
119 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:34:57 ID:JBIhoE+t0
なるほど、そうですね……。どうかしてました。
1-2p^3が最小値というのは分かるのですが、今は
a=pで関数a^3-3p^2a+2p^3+(1-2p^3)が最小値をもつ、と考えています。
あなたの解答がよく分からないが、答えは合ってるみたいだ。不思議だ……
120 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/17(日) 22:41:10 ID:OkpgIFYQO
>>112ありがとうございます！
121 名前：受験生[] 投稿日：2008/02/18(月) 00:12:01 ID:4TbSldKoO
黄茶の問題なのですが、途中からワケが分かりません。(￣○￣;)
問題:関数y=2(xxx)-3(a+1)xx+6ax -2≦x≦2における最大値最小値を求めよ。ａは負の定数である
ａ≦ー２の所はとけましたが、 それ以降がわかりません
解説御願いします。
122 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 00:23:47 ID:y5AwTf7N0
ちょっと待ってろよ坊主。すぐに解いてやるからな
123 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 00:30:27 ID:zg/g2tGH0
医科歯科の問題の解説色々ありがとうございました。
やはり微分に持ち込むのが最良のようですね。
複素数平面が出ないとはいえ、実質行列の回転と同様ですから、一応疑わないと…
124 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 00:32:03 ID:bt+h0hBK0
(１)数列１、２、３、・・・・・、ｎの異なる2項の積の和を求めよ。(答えは(1/24)n(n-1)(n+1)(3n+2))
(２)(x+1)(x+2)(x+3)・・・・・・・・(x+n)の展開式において、次の係数を求めよ。
(ア)x^n-1の係数
(イ)x^n-2の係数
(１)は分かったのですが、(２)が全く分かりません。
解答には、
(ア)は「x^n-1の項は、(n-1)個の因数のxと残りの因数の定数ｋ(k=1、２，３、・・・・)」の積である。
よって求める係数はΣ[k=1、n]=(1/2)n(n+1)」
(イ)は「x^n-2の係数は、2個の因数の定数の積の和であるから、数列１、２、３、・・・・・・、ｎの異なる2項の
積の和に一致する。よって求める和は、(１)より(1/24)n(n-1)(n+1)(3n+2)」
とあるのですが、考え方が理解できません。
どなたか解説お願いできませんか？
125 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 00:42:30 ID:+qGRTUZy0
>>124
(x+a)(x+b)(x+c)の2次の係数はa+b+c,1次の係数はab+bc+caなのがわかれば
そのままだと思うのだが
126 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 00:45:10 ID:y5AwTf7N0
>>121
y=f(x)=2*x^3-3*(a+1)*x^2+6*a*x-2(|x|<2 or |x|=2)
微分するとdy/dx=6(x-a)(x-1) aと1の大小に分けて簡単に増減表書く
最小値、最大値の候補は極値、端の点。
i) 1<a or a=1
max{y}=max{f(1),f(2))=max{3a-3,2} i.e. f(1)>=f(a) (a>=5/3); f(1)=<f(a) (a=<5/3)
ii) a<1 or a=1
max{y}=max{f(a),f(2)} 面倒なので省略。同様に考えればいい。
このとき、x=aが閉区間[-2,2]に含まれるかどうかに注意。
最小値も同じように考えればいい。
127 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 00:53:04 ID:y5AwTf7N0
x^(n-1)は、実際に展開したときをイメージすれば、
n個の( )からxをn-1個、1個から1以上n以下の何かしらの数をとってくる、
というのを全ての( )に対して行ったときに得られる、というのは分かると思います。
x^(n-2)も同様に考えると、(1)の異なる2個の積の相和が活躍します。
128 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 00:56:00 ID:HkIyngsd0
>複素数平面が出ないとはいえ、実質行列の回転と同様ですから
あの問題は回転と無関係。
第一、君のそんな半端な理解は危険だから、もう考えない方がおおと思うな。
129 名前：128[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 00:56:53 ID:HkIyngsd0
おおと思う ＝＞ いいと思う
クビくくってくる
130 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 00:58:11 ID:y5AwTf7N0
こんなことで不謹慎だから首くくるとか言わないほうがおおと思う
131 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 00:58:32 ID:y5AwTf7N0
おおと思う ＝＞ いいと思う
クビくくってくる
132 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 01:00:26 ID:bt+h0hBK0
>>125>>127
レスありがとうございます。
解説の書き方で頭がごちゃごちゃしていました。
>>127はすごい分かりやすかったです。
やっぱり解説のように「(n-1)個の因数のxと残りの因数の定数ｋ(k=1、２，３、・・・・)」の積である」
と書くのがベストなんでしょうか？
他に何かいい解答の書き方とかがあったら教えて欲しいです。
133 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 01:03:48 ID:y5AwTf7N0
そんな書き方なら問題ないでぇす
134 名前：受験生[] 投稿日：2008/02/18(月) 01:05:26 ID:4TbSldKoO
122さん、126さん、本当に助かりました。有難うございます
135 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 01:30:09 ID:y5AwTf7N0
フルメタルパニックってみなみけやぱにぽにみたいなかわいいやつだと思ってたが
調べてみたらガンダムみたいなやつだｎ
136 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 01:30:29 ID:y5AwTf7N0
誤爆すまそ
137 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 02:46:49 ID:XugesZKE0
a＋b＋c＋d＝７＋９＋１４
a^2＋b^2＋c^2＋d^2＝7^2＋9^2＋14^2
を満たす自然数a,b,c,dを求めなさい。
答えは適当にあてはめてわかったのですが、記述式のため
数学的に答えられません・・どなたかお願いします。
138 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 02:56:10 ID:y5AwTf7N0
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
という恒等式があります。
まず、この左辺を実際に力づくで丁寧に展開してみてください。
それができたら3個じゃなくて4個でもn個にでも拡張できるはずです。
139 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 02:56:37 ID:y5AwTf7N0
ごめん問題よく読んでなかった
140 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 03:02:58 ID:tL889at6O
東洋大学経営学部の数学の答えが知りたいのですが､誰か受けていませんか(--;)？
141 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 03:07:19 ID:+qGRTUZy0
>>140
問題書け
142 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 03:18:16 ID:tL889at6O
すみません(汗
不等式ｘ~2 ＋(３－ａ)ｘ－ａ＋２＜０
を満たすｘの整数値がちょうど２つあるとき､定数ａの範囲は
－□≦ａ＜－□，□＜ａ≦□
という問題と
２つの曲線ｙ＝ｘ~2とｙ＝－１/２ｘ~2＋ｘ＋１
の２つの交点のｘ座標をそれぞれα､β(α＜β)とする
２つの曲線で囲まれた部分の面積をＳとするとＳ＝□□√□/□
２つの交点を通る曲線ｙ＝ａｘ~2＋ｂｘ＋ｃはＳを二等分するとき
ａ＝□/□ ｂ＝□/□ ｃ＝□/□
です。よろしくお願いします(--;)
143 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 03:25:31 ID:A2Ko14X6O
横槍すまん
>>137
答えって【2,3,12,13】？
144 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 03:31:35 ID:+qGRTUZy0
>>142
1問目
x^2+(3-a)x-a+2=(x+1)(x+2-a)<0だから-4≦a-2＜-3または1＜a-2≦2
すなわち-2≦a＜-1,3＜a≦4
2問目
y=x^2とy=(-1/2)x^2+x+1でいいのだな？
α,βは3x^2-2x-2=0の2つの解だから(1±√7)/3
β-α=2√7/3だから求める面積は(1/6)×(3/2)×(2√7/3)^3=14√7/27
∫[α,β](a-1)(x-α)(x-β)dx={(1-a)/6}(2√7/3)^3=(1/8)(2√7/3)^3から
a=1/4
(a-1)(x-α)(x-β)=(-3/4)(x^2-2x/3-2/3)=-3x^2/4+x/2+1/2からb=c=1/2
145 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 03:38:26 ID:tL889at6O
>>144
ありがとうございます！！
助かりました(；´д⊂)
146 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 03:58:51 ID:XugesZKE0
>>138
(a＋b＋c＋d)^3をしてみました・・それでもうまくいきそうで
できません・・すみませんがもう少しヒントを下さい。
>>143
たぶん答えはそうだと思います。適当にやったら当てはまりましたが
やり方が不明です。
147 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 04:03:52 ID:A2Ko14X6O
>>146
そうですか。ありがとう。
私はただ展開して無理やり二次関数にしましたが、
たぶんもっと良いやり方があると思われます。
中途半端ですみません。
148 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 04:12:29 ID:XugesZKE0
二次関数のやり方よかったら教えてもらえませんか？
149 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 04:36:14 ID:A2Ko14X6O
>>148
(a+b+c+d)^2=(7+9+14)^2を展開
二乗部分は条件で示されてるから外して、式を整理すると
(a+c)(b+d)+ac+bd=287
a+b+c+d=30よりa+c=30-b-d
これを代入
b+dで整理してb+dをtとおく
-t^2+30t+ac+bd=287
これが解をもつためにはD>=0
ここで恒等式の性質からD=0←ここが自信ない
なのでac+bd=62…①となりt=b+d=15…②同様にa+c=15…③
①、②、③を同時に満たすのは【2,3,12,13】のみ
こんな感じです。
150 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 04:42:17 ID:A2Ko14X6O
訂正
「恒等式の性質」は違います。ごめんなさい。
どうみても恒等式じゃありませんｗ
151 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 04:49:17 ID:A2Ko14X6O
訂正の訂正
a,b,c,dの中身は入れ代わっても構わないから
bd+acは一つの値しかとらないってことが言いたかったんです。すみません
152 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 04:50:58 ID:A2Ko14X6O
度々ごめんなさい
②③を満たす場合の話です。
153 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 09:10:25 ID:XrnARF080
>>137
a≦b≦c≦d
1 6 8 15
2 3 12 13
2 4 9 15
3 5 6 16
ではないでしょうか
(a+b)+(c+d)=30
(a+b)(c+d)+ab+cd=287
X=a+b, Y=c+dとおくとt=X,Yはt^2-30t+(287-ab-cd)=0の解で
t=X,Y=15±k, k^2=15^2-(287-ab-cd)=ab+cd-62
ここからa+b=15-k, c+d=15+k, ab+cd=k^2+62となりますが
相加相乗平均より
4(k^2+62)=4ab+4cd≦(15-k)^2+(15+k)^2=450+2k^2
2k^2≦202よりk≦10
k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10のそれぞれについて
ab=a(15-k-a), cd=c(15+k-c)をすべて書き出し和がk^2+62になる組み合わせを出しました
実際にやってみると考えなくてもよい組み合わせが多数現れるのでもっと組み合わせの条件を数式上で狭められるはずですが力業でやりました
154 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 09:38:10 ID:TWGsqEbOO
男子５人と女子４人がいる。この9人が次のように３人ずつa、b、cの三室に入る方法は何通りか？
・女子が２人ずつ２部屋に分かれてはいる時
答え3*4C2*5C1*1*1＝360なんですけどこの３はなんで３!じゃないんですか？
155 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 09:57:58 ID:XrnARF080
>>154
女子二人二組に分けるのに3C1=3
その二組が入る部屋を決めるのに3P2=6
女子の部屋のそれぞれに入る男子を決めるのに5P2=20
3・6・20=360通りじゃないんですか？
>答え3*4C2*5C1*1*1＝360
3*4C2*5C1*1*1＝90ですよ？
156 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 10:51:36 ID:vgC+/l1GO
お願いします。
関数f(x)は0≦x≦1で連続とし、
α=∫[0→1]f(x)dx
β=∫[0→1]xf(x)dx
とする。
aを定数とし、
g(t)=∫[0→1]{f(x)-ax-t}^2dx
とおく。このとき、g(t)を最小にするtをaとαを用いて表せ。
という問題で、解答を見ると
g(t)=∫[0→1]{(f(x)-ax)^2-2(f(x)-ax)t+t^2}dx
=t^2-2t∫[0→1](f(x)-ax)dx+∫[0→1](f(x)-ax)^2dx
とあるのですが、変数扱いしないt^2はいきなりそのまま
積分の外に出してしまって良いのでしょうか？？
どなたか得意な方わかりやすく説明お願いします…(´；ω；｀)
ちなみに答えは
t=α-a/2 でした…
157 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 11:02:09 ID:+2eNXnOE0
>>156
＞変数扱いしないt^2はいきなりそのまま
＞積分の外に出してしまって良いのでしょうか？？
∫[0→1]t^2dx=t^2*∫[0→1]dx
=t^2[x][0→1]
=t^2*(1-0)
=t^2
積分範囲が0から１で、暗算でも出来るからいきなりt^2としてるだけ。
158 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 11:22:42 ID:vgC+/l1GO
>>157
そうか！ありがとうございます！(｀・ω・´)
ちなみにg(x)をいきなり微分してしまう、という方法はありえないでしょうか…？
解答の解き方がテクニカルな感じがして…
159 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 11:36:19 ID:+2eNXnOE0
>>158
＞g(x)をいきなり微分してしまう、という方法
dg(t)/dt=(d/dt)∫[0→1]{f(x)-ax-t}^2dx
=∫[0→1]{(d/dt){f(x)-ax-t}^2}dx （ｘの積分をtで微分だったから、tで微分したものをxで積分の形に変形できる）
= ∫[0→1]{-2(f(x)-ax-t)}dx
これは
g(t)=t^2-2t∫[0→1](f(x)-ax)dx+∫[0→1](f(x)-ax)^2dx
をtで微分したものと一緒だね。
(d/dx)∫[定数→x]f(x)dx=f(x)
と混同しちゃいそうだから、あんまりオススメしないけど
160 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 11:45:26 ID:vgC+/l1GO
>>159
すごい！ありがとうございます！(｀・ω・´)
二つの解き方でちょっとやってみます。
発狂しそうになったらまた来ますﾉｼ
161 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 12:05:14 ID:JfZbZQ/S0
解けそうもない漸化式の初項を求めなきゃいけない場合に
その漸化式適用しまくれば答えがわかってしまうときって、
『漸化式を適用していくと…』みたいに書いて終わりでいいんですか？
それとも何か証明が必要なのでしょうか。
162 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 12:47:11 ID:XrnARF080
>>161
問題書いて
163 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 14:54:47 ID:oYlBF4f00
行列の質問です。
ケーリーハミルトンが成り立つとき、
Ａ^n＝αＡ＋βＥ
となることは分かったのですが、
Ａ^nは平面座標のすべての点を表現できるのでしょうか？
逆行列を持つ行列Ａがあって、
逆行列を持つ行列Ｂがあるとすると、
Ａ≠Ｂの場合、
αＡ＋βＢは一次独立になるのでしょうか？
ベクトルが一次独立の時は、デカルト座標の代わりに斜交座標として
平面座標上のすべての点を網羅できると思うのですが、
これを行列ＡとＢに適用すると、
どんな条件が必要なのでしょうか？
164 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 16:22:19 ID:vgC+/l1GO
逆関数についてですが、
f(x_n)=e_-n
のとき、逆関数は
x_n=f(e_-n)
↓
x_n=f_1(e_-n)
と解答にあるのですが、↓の変型の考え方がわかりません。
参考書見てもイマイチです。得意な方お願いします…
165 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 16:35:02 ID:l5Yhmy0r0
>>163-164
問題書いて
166 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 16:59:03 ID:vgC+/l1GO
>>165
連続関数f(x)は、
①f(0)=0、f(1)=1
②f´(x)=＞0
③lim[h→0]f(h)-f(-h)/h=4
を満たしている。
g(x)=f´(x)/f(x) (x＞0)
とする。
数列{x_n}は0＜x_n＜1 (n=1,2,3,…)を満たし、
曲線y=g(x)
直線x=1
x=x_n
で囲まれた部分の面積はnである。
ア、lim[n→∞]x_n=0を示せ。
イ、lim[n→∞]e^nx_nを求めよ。
です。宜しくお願いします…(´つω；｀)
167 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 17:13:12 ID:lX6WC//B0
>曲線y=g(x)
>直線x=1
>x=x_n
>で囲まれ
ないとおもうが。
168 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 17:18:36 ID:kPoerONV0
>>166
ヒント。0<xでf(x)が正ってのは分かるよね。そしたら、
曲線y=g(x)
直線x=1
x=x_n
で囲まれた部分の面積は∫{x_n,1}f'(x)/f(x)dxだね。
被積分関数の不定積分がlogf(x)になるでしょう。
ここまでで分かるかな。
169 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 17:19:11 ID:XrnARF080
>>163
>Ａ^nは平面座標のすべての点を表現できるのでしょうか？
すべての点を表現するとはどういうことでしょうか？A^nは行列ですので（平面上の）点との関係を決めておかねばなりません
>αＡ＋βＢは一次独立になるのでしょうか？
２次正方行列全体のなす４次元空間内でAとBとが一次独立であるかどうかでしょうか？
>これを行列ＡとＢに適用すると、
どのように適用するのでしょうか？といいますか最初の質問に答えて頂かないとどのように適用したいのかが見えてきません
170 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 17:22:37 ID:vgC+/l1GO
>>166
ごめんなさい。囲むのにx軸も使います。
171 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 17:25:15 ID:vgC+/l1GO
>>168
はい！その辺りまでは大丈夫です！(｀・ω・´)
172 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 17:33:06 ID:XrnARF080
>>164
>f(x_n)=e_-n
f(x_n)=e^(-n)でしょうか？
>x_n=f(e_-n)
>↓
>x_n=f_1(e_-n)
f(x_n)=e^(-n)
↓
x_n=f^(-1)(e^(-n))
ではないでしょうか？
逆関数はy=f(x)⇔x=g(y)を満たす関数g(y)のことで
定義からg(f(x))=x, f(g(y))=yが成り立ちます
逆関数を表す記号としてf^(-1)はよく使われます
173 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 17:40:05 ID:kPoerONV0
>>171
じゃあ、n=logf(1)-logf(x_n)で、f(1)=1より、
n=-logf(x_n)、よってf(x_n)=1/e^nなんですね。
ここからn→∞を考えてみましょう。
174 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 18:04:28 ID:vgC+/l1GO
>>172
書き方間違えてましたごめんなさい…
逆関数の公式で、自分が記憶してたのが
y=f(x)
↓
x=f(y)
↓
y=f^(-1)(x)
という流れで、実際に具体的な関数を当てはめると理解できる
のですが、この場合混乱してしまって…
e^(-n)=f(x_n)の場合、
↓
x_n=f(e^(-n))
↓
e^(-n)=f^(-1)(x_n)
とはならないのですか…？
？？(´・ω・`)？？公式の解釈間違い？？
175 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 18:07:42 ID:vgC+/l1GO
>>173
詳しくありがとうございます！逆関数の解釈がすっきりすれば、
その後は解答と照らし合わせて何とかいけそうなんですが…
何でこんな基本で悩んでるのか…orz
176 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 18:36:44 ID:irgL8QzP0
1・(n-1)+2・(n-2)+・・・・・+(n-2)・2+(n-1)・1
この和を求めよってどうやるんですか？回答
ｎ-1
Σｋ・(ｎ-1）
ｋ＝1
上のｎ-1がよくわからないです・・・・・・・・
177 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 18:48:37 ID:kPoerONV0
>>176
ｎ-1
Σｋ・(ｎ-k）
ｋ＝1
じゃないの？シグマの上下のk=1,n-1は、
k=1からn-1になるまで足し合わせるってことだ。
178 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 18:50:16 ID:kPoerONV0
だから、∑公式を使う時も
∑k^2=(n-1)n(2n-1)/6、∑k=(n-1)n/2ってしよう。
179 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 18:52:15 ID:4ugLddmmO
a=sin^2(π/5)
b=sin^2(2π/5)とおくとき(1)a+b及びabが有理数となることを示せ。
(2)任意の自然数nに対し、{a^(-n)+b^(-n)}(a+b)^nは整数となることを示せ。
以上です。お願いします。
180 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 19:02:32 ID:kPoerONV0
>>179
うーん、たしか東大入試で見たような気がするね。
1994年理系第２問、だったかな？
赤本でも見てくださいな。
181 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 19:23:30 ID:wDAZIvrYO
記述式の問題を解いていてどうにも解けなくて放置していて、後で見直ししたときにごっそり最初から間違えていたことに気付くことってありますよね。そういう時って消しゴムで答案を全部消しますか？それとも、ここは間違いって、わかるような記号を書いていますか？
182 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 19:28:38 ID:kPoerONV0
>>181
場合によりますね。計算ミスなど、一部分の修正で続行できるなら
残しておいて再利用しましょう。
そうでなくて、何の利用価値もなさそうな場合、ごっそり消しましょう。
答案は、採点者に見てもらう、いわば「よそ行き」のものなので
余分なものは残しておかないほうがいいでしょう。
それでは、わたしはそろそろ消えます。他の回答者さん宜しくお願いします。
183 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 19:36:14 ID:MlXYzDdqO
ここで、オススメの参考書を聞いてみてもいいですか？
184 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 19:46:59 ID:+R/KY6JI0
>>177 なるほど！ 確かに回答見直したらその通りでした！ありがとうございます！
185 名前：181[] 投稿日：2008/02/18(月) 20:06:09 ID:wDAZIvrYO
>>182
ありがとうございました。
186 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 20:07:32 ID:+R/KY6JI0
>>177 とおもったら何故ｎ項目（ｎ-1）・1の1がｋになるのかわからなくなりました・・・・・
187 名前：186[] 投稿日：2008/02/18(月) 20:12:35 ID:+R/KY6JI0
自己。 ありがとうございました
188 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 20:16:35 ID:XrnARF080
>>174
>e^(-n)=f(x_n)の場合、
>↓
>x_n=f(e^(-n))
ここはどうしてこうなると思いますか？たとえば
a=sin(θ)
↓
θ=sin(a)
とはなりません
189 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 20:47:15 ID:+2eNXnOE0
>>174
なんか逆関数について勘違いしているみたいだね。
関数y=f(x)が与えられて、式を変形していくと
x=g(y)
と書けたとする。この関数g(y)を関数f(x)の逆関数を言って
g(y)=f^(-1)(y)
って表記する。
xに値を入れたらｙの値が決まるのが関数で
yに値を入れたらxの値が決まるのが逆関数。
だから
x=f^(-1)(y)
って書くんだよ。
190 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 20:48:09 ID:XrnARF080
>>179
θ=2π/5,4π/5と置くとx=cosθ=cos4θ=2(2cos^2θ-1)^2-1=8x^4-8x^2+1ですので8x^4-8x^2-x+1=(x-1)(2x+1)(4x^2+2x-1)=0となりますが
x≠1,-1/2は明白ですので4x^2+2x-1=0の解ということになります
よってcos2π/5+cos4π/5=-1/2, cos2π/5cos4π/5=-1/4です
a=sin^2(π/5)=(1-cos2π/5)/2, b=sin^2(2π/5)=(1-cos4π/5)/2ですのでa+b=5/4, ab=5/16となります
191 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 20:53:56 ID:wXW+cFKX0
駿台実践模試演習・東京工業大学への数学の解答の一部で
sin(k+1)θcosθ = cos(k+1)θsinθ + sin(kθ) (k=1.2.3,…)
という変形があるのですが、「加法定理より」としか説明されていません。
これはどういう風に加法定理を適用しているのでしょうか？
192 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 21:04:20 ID:+2eNXnOE0
sin(k+1)θcosθ ={sin(kθ)cosθ + cos(kθ)sinθ}cosθ
=sin(kθ){1-(sinθ)^2}+cos(kθ)sinθcosθ
=cos(kθ)sinθcosθ-sin(kθ)(sinθ)^2+sin(kθ)
={cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ}sinθ+sin(kθ)
= cos(k+1)θsinθ + sin(kθ)
十分だよね？
193 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 21:05:40 ID:lX6WC//B0
sin(kθ)=sin((k+1)θ-θ)=・・・.
194 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 21:12:14 ID:wXW+cFKX0
>>192
おお、、理解できました。ありがとうございました！
195 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 21:46:35 ID:+R/KY6JI0
2n
Σ(-1)^k・k^3
k=1
ぜんぜんわかりません！お願いします！！！
196 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 21:52:52 ID:vgC+/l1GO
>>188>>189
んーと…(・ω・`)
こういう文字ばっかりの式の時はどうやって変型すると考えたら
よいでしょうか？？
アホすぎてごめんなさい(´；ω；`)受験生なのに…
197 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 21:53:28 ID:BL+F+1DLO
(√3+i/2)^2003=□
□に何が入るか分からないです！誰かお願いします
198 名前：暇人大学生[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:02:32 ID:BYUMrOI/0
>>195
ヒント
(-1)^k*k^3の第2m-1項、2m項をひとセットに考えてみ
199 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:04:37 ID:XrnARF080
>>179
(2)見えてませんでした
与式=(a^n+b^n)(a+b)^n/(ab)^n=4^n(a^n+b^n)
ここで対称式の一般論が使えるなら
a^n+b^nはs=a+bとt=abの整数係数の整式で表せるので
a^n+b^n=Σc_k・s^(n-2k)t^k=Σc_k・(5/4)^(n-2k)(5/16)^k=(Σc_k・5^(n-k))/(4^n)
よって与式=4^n(a^n+b^n)=Σc_k・5^(n-k)と整数となります
一般論を使わないなら帰納的に4^n(a^n+b^n)が整数であることを示しますか
n=1,2のとき（n=0,1からでもよい）
4(a+b)=5, 16(a^2+b^2)=16((a+b)^2-2ab)=15
n, n-1まで成立したとして
a^(n+1)+b^(n+1)=(a^n+b^n)(a+b)-ab(a^(n-1)+b^(n-1))
4^(n+1)(a^(n+1)+b^(n+1))=4^n(a^n+b^n)・4(a+b)-16ab・4^(n-1)(a^(n-1)+b^(n-1))
となるのでn+1でも整数となります
200 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 22:06:28 ID:l5Yhmy0r0
>>196
元の問題文書いて
>>197
((√3+i)/2)^2003の書き間違い？
201 名前：暇人大学生[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:07:16 ID:uUHOSmeX0
>>197
{(√3+i)/2}^2003
だよね？
まずは３乗ぐらいまで計算してみ。
何かに気が付くはずだから。
202 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:08:57 ID:XrnARF080
>>196
変形するというのは同値な条件式に変えるという意味ですので
y=f(x)⇔x=f^(-1)(y)
とすると間違いはありません
y=x^2 （x≧0）⇔x=√y
です
逆関数をy=f^(-1)(x)と表すのは変数名を慣例（xが独立変数・yが従属変数）に合わせるだけのことです
203 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:11:05 ID:l5Yhmy0r0
ああ>>191じゃなくて>>164か勘違いしていたすまん>>196
204 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:21:51 ID:vgC+/l1GO
>>202
なるほど！実際に式をいじってどうこうではなく、
当てはめて、便宜上この様に表記する、という感じですね！？
ありがとうございました！(｀・ω・)ﾉｼ
205 名前：186[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:27:15 ID:+R/KY6JI0
>>198 12n^2-6n+1が出てきましたがこれを一般項にしてもいいんでしょうか？
いい理由が思いつかないです＞＜
206 名前：暇人大学生[] 投稿日：2008/02/18(月) 22:41:38 ID:mB7rHjKV0
>>205
Σ[k=1→2n](-1)^k*k^3=Σ[m=1→n]{-(2m-1)^3+(2m)^3}=…
こうやって読み替えればわかるよね？
207 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 23:13:57 ID:+R/KY6JI0
>>206 おおおおおおおおおおおおおおおおなるほど！！！ありがとうございました！
208 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 23:15:48 ID:BL+F+1DLO
>>200>>201
ごめんなさい！！
{(√3+i)/2}^2003
の間違いです！
えと…3乗したらiになりました！でもこの後何すればよいのか閃きません…(涙)
209 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 23:16:34 ID:YQnwLhlU0
>>208
三乗したらiになったら六乗したらいくつです？
210 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/18(月) 23:18:52 ID:+2eNXnOE0
>>208
(√3+i)/2=aって書くよ
a^3=i
がわかったんだよね？そうしたら
a^6=(a^3)*(a^3)=･･･
a^12=(a^6)*(a^6)=･･･
ここまで計算してみよう！
211 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 23:44:55 ID:BL+F+1DLO
するとa^6=-1 a^12=1になりました！
うーん…考えてみたんですけどもうかなりヒントもらってるのに分かりません；
212 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/18(月) 23:46:07 ID:YQnwLhlU0
>>211
a^120は？a^1200は？
213 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 00:11:55 ID:9qmVSeW9O
a^120もa^1200も1ですよね…？てことは
(a^1200)*(a^780)*(a^12)*(a^6)*(a^5)=1*1*1*(-1)*a=(√3-i)/2
であってますか！？
214 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 00:48:32 ID:rAGfXrFh0
>>213
a^5はaでないけど・・・何故か答えは合ってる。
模範解答としては
a^12=1から
2003=12*167-1
だから
a^2003=(a^12)^167*a^(-1)
=1^167*1/a
=1/a
=(√3-i)/2
だね。
こういう累乗の問題とかは、周期性を利用してこうやって簡単に計算することが多いよ。
215 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 01:00:15 ID:9qmVSeW9O
>>214
本当にありがとうございました!!a^5=aにはならないですね笑
何やら勘違いしてたようですが、とにかく解説すごい分かりやすかったです！
a^3=i という閃きが来るまでが何十年もかかりそうですが頑張ります！笑
理解力不足でお手数かけました！他のアドバイスしてくださった方々もありがとうございました。
216 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 15:23:26 ID:XDRcjJCAO
4個のサイコロを同時に投げた場合
4個のサイコロを区別して考えるのでいいでしょうか？
例えば、全て異なる目が出る組み合わせは360通りなど
赤本でまったく同じ問題なのに答えが違う問題があり困ってます
どなたか教えてください。
217 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 15:47:29 ID:rAGfXrFh0
>>216
どこがどう違うのか詳しく書いてみ
218 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 16:10:08 ID:XDRcjJCAO
>>217
全て異なる目が出る組み合わせは□通り
その答えが
ある一つ方は360
二つ目の方は15
少なくとも3個は、同じ目が出る組み合わせは□通り
その答えが
ある一つ目の方は126
もう一つの方は36
という感じです
219 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 18:18:15 ID:3peB/K6A0
>>216
問題によって区別したり区別しなかったりでしょうね
>>218
具体的な問題を見ないと分かりません
220 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 18:26:56 ID:rAGfXrFh0
>>216
ⅰ4個の『同じ』サイコロを同時に投げた場合は区別しない。
ⅱ4個の『（大きさが）異なる』サイコロを同時に投げた場合は区別する。
ⅰのときは15、36
ⅱのときは360、186
ってなるよ。
本当に全く同じ問題で答えが違うなら、それは本の間違い。
221 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 18:42:45 ID:XDRcjJCAO
>>219-220
ありがとうございます
詳しく書くと
同じ大学の赤本の問題でして（2007年と2006年）
大問の書き出したがまったく同じなんです。問いも同じだったりほとんど同じ
書いてあるとおりに書くと
問題『4個のサイコロを同時に投げた。』
なので『同じ』や『異なる』サイコロとは、一切書かれていません
これは大学の出題ミスなのでしょうか？
それも2年連続で九分九厘同じ問題…
222 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 18:49:05 ID:3peB/K6A0
>>221
ホントにほとんど同じ問題が２年連続して出たのなら出題ミスと言っていいと思います
けれど微妙なニュアンスが異なっているため赤本で年度ごとに解答が異なっているのかも知れませんが・・・・・・・・・・・
これを確かめるには具体的な問題文を読んで比較しないと分かりませんね
223 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 18:52:08 ID:wO9SEtGn0
>>221
ひどい手抜き出題ですね。
「場合の数」を考えるにしても、区別する、しない、ぐらいの
指定は、最低限必要でしょうに。
「確率」を考えるなら、普通は区別して考えますよ。
224 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 18:58:09 ID:3peB/K6A0
>>221
>書いてあるとおりに書くと
>問題『4個のサイコロを同時に投げた。』
たぶん抜き出していると思いますが省略したところが分からないと何とも言えないと言うことです
225 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 19:00:06 ID:XDRcjJCAO
>>221
では、問題も載せます
2007年の問題
『4個のサイコロを同時に投げた。』
（1）すべて異なる目が出る組み合わせは、□通りである。
（2）少なくとも2個は同じ目が出る組み合わせは、□通りである。
（3）すべて同じ目が出る確率は、□である。
（4）少なくとも3個は同じ目が出る確率は、□である。
（5）少なくとも2個は、同じ目が出る確率は、□である。
2006年
『4個のサイコロを同時に投げた。』
（1）すべて異なる目が出る組み合わせは□通りとなる。
（2）少なくとも3個は同じ目が出る組み合わせは□通りとなる。
（3）すべて同じ目が出る確率は□である。
（4）2個のみ同じ目が出る確率は□である。
（5）少なくとも2個は同じ目が出る確率は□である。
この用に出題されていました。
226 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 19:10:58 ID:rAGfXrFh0
>>225
恐らく大学は『同じ』サイコロのつもりで出題しているんだろうな。
けれでもはっきり同じと明記していないからどっちともとれちゃう。
問題がわるいから気にスンナ
227 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 19:12:41 ID:+DjEcGAy0
>>226
横槍ですが、逆に違うサイコロってどういうことですか？
私は問題文読んだとき、すぐに同じサイコロが4つあると思ったのですが・・・
228 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 19:13:20 ID:XDRcjJCAO
>>226
分かりましたありがとうございました
229 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 19:14:09 ID:R5feCp/OO
スレチだったらすまん。
独学で国立理系(旧帝)を目指してるんだが、数学Ⅲ･Cを理解できない。
捨ててしまっても大丈夫だろうか？そのかわり、数学ⅠAⅡB、英語の点とれば挽回できるかな
230 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 19:37:34 ID:rAGfXrFh0
>>227
大きさが異なるサイコロとか、サイコロに番号つけてるとか。
そういう場合は明記するはずだから、普通に考えたら同じサイコロが4つって考えるね。
ただ、はっきり書いてないから違うサイコロとも読み取れちゃう。
231 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 19:41:04 ID:rAGfXrFh0
>>229
理系で高校数学を理解してないと大学では話しにならんぞ。
受かる受からないの問題じゃないってことに気づけ。
232 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:04:07 ID:3peB/K6A0
>>225
これはスゴイね
大学サイドは出題ミスにはしないのかな？
もしよければ大学名を教えて下さい
233 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:05:33 ID:3peB/K6A0
もしかするとこれは受験者がクレームを付ければ無効になるかも知れませんよ
234 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:09:06 ID:3peB/K6A0
>>227
現実に考えれば別々のサイコロです
同じと見なすかどうかは人間の解釈ですので
何が同じであるか文章から読み取れなくてはいけません
ただこの問題の場合確率を計算させていますから
別々のものとして場合の数を数えることを念頭にした出題ではないでしょうかね
235 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:13:12 ID:+DjEcGAy0
>>234
あれ、なるほど・・・・・・。
P[6,4]/6^4と考えたのですが、これだと区別してることになりますよね。
自分はサイコロは同じものだが、区別するとった感じで考えてるのだと思います。
236 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:14:36 ID:XDRcjJCAO
>>232
この問題は、帝京の薬学部です。
帝京らしいっちゃらしいですけどね…
237 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:17:14 ID:3peB/K6A0
>>234
なぜ確率を考える場合は別々と見るのがよいのかと言えば
サイコロは面倒なのでコインで考えると２枚のコインを投げて
表裏の組み合わせは２枚を別々に考えれば
表表 表裏 裏表 裏裏
となりますが同じと見なせば
表表 表裏 裏裏
となります
前者は根元事象が同様に確からしいので考えやすいのですが後者はそうは行きませんから
後者を全事象とした場合は場合の数を数えただけでは確率を求めることができないのです
場合の数を数える場合も独立性が効いてきますのでこのような考え方になれておいた方がよいというわけです
238 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:19:34 ID:IdXXtIKVO
極限とかを求めるときグラフを書いて
グラフより極限は～であるってするのはアリですか？
それともちゃんと式変形とか挟み撃ちとかでやらないと駄目ですか？
239 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 21:34:47 ID:N6ADUUpU0
極限がわからないのにグラフが描けるのか。
240 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 21:44:24 ID:ahFG46rT0
>>239
例えばｙ=(logx)/xなどは
増減表と「x>1ではy>0」とから
ｘ→∞のときｙ→0ではないか？
と予想は出来る。
>>238が言ってることはこういうことじゃないかと思うが、
結論から言うとダメ
241 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 21:49:49 ID:VtPH+7r8O
(sin2x)^2
の積分って
1/6(sin2x)^3
でいいでしょうか？
242 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/19(火) 21:55:15 ID:IdXXtIKVO
>>241
やっぱり駄目ですか
分かりました
ありがとうございました
243 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/19(火) 22:01:11 ID:VtPH+7r8O
解決しましたが>>242が代弁してくれてたので助かりました。
244 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 00:26:45 ID:tzyiwPr/0
｛a_n｝は a_1+a_3+a_5=66 a_2+a_4+a_6=54 をみたす
(1)この時の初項と公比を求め、
(2)第n公で最大になるときの最大値とnの値、また、
(3)第(n+1)項から2n項までの和をその項数で割った値が-99
より小さくなるようなnの最小値を求めよ。
全然わかりません。どなたかご教授願います・・・・
245 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 00:39:42 ID:74JNTpCH0
(1)の問題が正しいとして
公比をrとすると
a_2=r･a_1、a_4=r･a_3、a_6=r･a_5
なので、第2式より
r(a_1+a_3+a_5)=54
r=54/66=9/11
すると第1式より
a_1(1+r^2+r^4)=66
後は出来そうか？
ちなみに問題間違ってないか？
このままだと(2)が無意味なんだが…
246 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 00:41:18 ID:74JNTpCH0
送信しちまった。。
追加
問題は「初項と公『差』を求めよ」だと思うんだけどなぁ
247 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 01:11:59 ID:tzyiwPr/0
>>246 うわ。ほんとに間違えてます。すみません・・・・
公差でした・・・・・・
248 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 01:18:04 ID:r8i8945O0
>>247
(2)は？
249 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 01:23:01 ID:tzyiwPr/0
初稿からn公までの和が最大となるとき・・・・・でした。
重ね重ねすみません・・・・・
250 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 01:30:52 ID:vIzmauCpO
プログラム一から始めるのは無謀ですか？
251 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 02:46:47 ID:0FYj/4v7O
(1)で与えられた仮定(例えば、平行四辺形のとき、座標を求めよ) を、そのまま(2)にも適用出来ますか？
(1)は証明問題じゃない時だけど…
252 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 03:02:56 ID:iZX43COX0
>>251
(1)のときと条件が同じなら、(2)でも適用できるけど。
ともかく、具体的に問題を書かないと何を聞いているのかよくわからん。
253 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 10:43:22 ID:NxwZWHOHP
>4個の『同じ』サイコロを同時に投げた‥
同じサイコロって？？？
254 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 11:54:26 ID:Xh8ZDgDK0
>>253
それぞれの目が出る確率が同様に確からしいサイコロ4個のこと。
255 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 12:13:31 ID:zTD+gVG2O
uy＋vx＝1－ux＋vy＝0 から
x＝u/（u＾2＋v＾2）
y＝－v/（u＾2＋v＾2）
の導き方を教えてくたさい
256 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 12:29:36 ID:NxwZWHOHP
>>254
じゃあ、異なるサイコロってのは等確率で出ないサイコロのことか？
257 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 12:32:39 ID:plyleC9tO
a、bは、定数としa>0とする。
関数y=a(x^2+2x+3)-2a(x^2+2x+3)+bの-2≦x≦2における最大値は14、最小値は3であるとする
よって
a=□、b=□である
この問題が分かりません
どなたか教えてください
258 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 12:43:09 ID:r8i8945O0
>>255
1. vx+uy=0
2. ux-vy=1
v×1.+u×2.とu×1.-v×2.から出ます
259 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 12:46:28 ID:0FYj/4v7O
>>252
じゃあ詳しく書きます
３点Ａ(２,ａ)(3<a<10)、Ｂ(１,２)、Ｃ(６,３)の座標が与えられていて、(1)は、この順で並ぶ平行四辺形ＡＢＣＤのＤの座標を求める問題。
(2)は直線ＡＤ上の点でＣＤ＝ＣＥとなるものを求め、ＥがＡＤを内分点である事を示す問題。
出来れば解き方や答えも教えて欲しいです
260 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 12:51:20 ID:r8i8945O0
>>257
t=x^2+2x+3と置くと-2≦x≦2において2≦t≦11となります
y=-at+bですのでa>0より14=-2a+b, 3=-11a+bよってa=11/9, b=148/9でしょうか
261 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 13:03:50 ID:r8i8945O0
>>259
>ＥがＡＤを内分点である事
Eが線分AD上にあることを示すわけですね
Cから直線AD上に垂線を下ろしその足をHとすると条件からDH=EHとなります
よってHがADの中点MよりもD側にあることを示せばよいでしょう
a=10のときがHのx座標が最小の9/2になりますのでこの場合がちょうどH=Mです
262 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 13:19:26 ID:YwB4DDkn0
基本的に確率はすべてを区別しないと大変なことになる。
【例題】赤いボールが１個白いボールが３個ある。このうちからテキトーに
２個のボールを取るとき赤いボールが含まれる確率を求めよ
【解(?)】
取り出し方は（赤、白）（白、白）
よって1/2 ????
【例題】赤いボールが１個白いボールが１万個ある。このうちからテキトーに
２個のボールを取るとき赤いボールが含まれる確率を求めよ
【解(?)】
取り出し方は（赤、白）（白、白）
よって1/2 ????^ω^????
263 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 13:24:02 ID:NxwZWHOHP
>>262
同意
同じとか異なるとかそんな言葉尻に拘るのはおかしい。
264 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 13:48:18 ID:puEYb7L1O
鳩の巣原理の活用方法がいまいち分からないんですが、どのような場合に有効なのか教えていただけないでしょうか？
265 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 14:06:05 ID:zTD+gVG2O
>>258
ありがとうございました！
266 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 14:14:07 ID:rO10IZb60
>>264
存在証明。例えば次の問題。
xy座標平面上に、x,y座標が共に整数の5つの格子点をとる。
これらからうまく2点を選ぶと、その2点の中点も格子点であることを証明せよ。
267 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 14:20:57 ID:puEYb7L1O
>>266
(x,y)=(偶,偶)、(偶,奇)、(奇,偶)、(奇,奇)
の４通りしかないので、５つの格子点を選ぶ場合、少なくとも１つは重複するグループができる云々
というやつですよね？
やっぱりこういった問題でしか使えないですか？
268 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 14:24:16 ID:rO10IZb60
1 から 1999 までの1000個の奇数がある。この中から、 ５０１個の奇数をどの
ように選んでも必ず、その 501 個の中に、２つの相異なる数で、和が、2000とな
るものが存在する。
とかも。こういった問題っていうのがよく分からないけど
269 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 14:32:07 ID:puEYb7L1O
>>268
和が2000となるのが500組あるから～
でやっていけばいいんですかね？
こういった問題っていうのは
「実は鳩の巣原理を使えば簡単」
というわけじゃなくて、
「鳩の巣原理を使わないと証明は難しい」
といった問題、ということです
270 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 15:09:38 ID:r8i8945O0
>>266
面白いですね
じゃあ空間の場合は９個とれば十分でしょうか
３点の重心の場合は何点取れば十分でしょうかね？
271 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 15:43:46 ID:0FYj/4v7O
>>261
ありがとうございます
ところで、Ｈのｘ座標はａ＝１０のとき 最小値9/2をとる
これをどうやって導いたのでしょうか？
272 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 15:47:58 ID:r8i8945O0
>>271
平行四辺形ですので考えている垂線はBCの垂線でもありますから一つ特定されます（aにはよらないということ）
その傾きが負ですのでaが増えるに従って交点のx座標は減っていきます
あとは方程式を立てました
図形的にきれいに示せるような気もしますね
273 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 16:19:30 ID:0FYj/4v7O
>>272
ありがとうございます！
274 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 16:42:05 ID:rO10IZb60
>>269
そうそう。鳩の巣原理の考え方を使うといい、という。
>>270
さあどうでしょう
275 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 18:29:33 ID:puEYb7L1O
>>274
とりあえず使い方は分かりました
親切にありがとうございました
276 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 19:06:39 ID:JkXvU3t7O
コインを投げて表が２回連続で出たとき投げるのをやめる。このときの回数の期待値を求めよ。
というのが分かりません。お願いします。
277 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 19:09:16 ID:rO10IZb60
それは学力コンテストや東大模試で有名な問題じゃないか
まずは確率漸化式を立てるのを目標にするのがいいと思います。
それが分かればE=∑[n=1, ∞]n*p(n)と答えが出せる。
278 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 19:21:26 ID:JkXvU3t7O
ありがとうございます。
ですが、その確率漸化式の立て方がわからないので、よろしければ教えていただけないでしょうか？
279 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 21:20:12 ID:r8i8945O0
>>278
p(n)をn回目まで表が連続せずかつn回目が表になる確率
q(n)をn回目まで表が連続せずかつn回目が裏になる確率とすると
p(n)=q(n-1)/2
q(n)=(p(n-1)+q(n-1))/2
となりますのでここから求められます（両辺2^n乗するとフィボナッチ数列が登場します）
ただしn回目に終了する確率はp(n-1)/2ですのでご注意下さい
フィボナッチ数列の一般項は２つの等比数列の和となりますので期待値を求めるにはΣnr^(n-1)=1/(1-r)^2を必要とするでしょう
これはΣr^n=1/(1-r)の両辺をrで微分するという覚え方（実際はテイラー級数の理論を必要とします）があります
280 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 21:40:23 ID:JkXvU3t7O
>>279
本当にお手数をおかけして申し訳ありませんでした。
ありがとうございます。
281 名前：大学への名無しさん[ ] 投稿日：2008/02/20(水) 23:03:58 ID:/olnnDT30
>>231
具体的にどのように大変なのか教えていただけないでしょうか？
数学ダメダメで他の科目で補って合格したのでぜひとも知っておきたいです
282 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 23:07:23 ID:rO10IZb60
数学白紙でも他教科満点ぐらいとってりゃいいじゃん
リスキーだが
283 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 23:08:50 ID:/NloL2+A0
√(6-2√5)/√2=√5-1/√2になるのは何故？
284 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 23:13:00 ID:rO10IZb60
6=1+5なので
ルートp+ルートqの2乗と見比べてみるといい
285 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 23:18:17 ID:hsNtSfHy0
大学うかったから本格的に数学やろうと思うんだが
チャート式の様なただの公式暗記じゃなくて、本質を理解したいのです
ということで、ぼくちんによくわかる高校数学の参考書を教えてください
数学はセンターのみで使って、理解というよりも暗記数学に近い形でしかやっておりませんでした
数3Cへの理解、また物理にも手をだしてみたいので、ぜひともおねがいします＞＜
286 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/20(水) 23:27:38 ID:1Bd4BfKZO
教科書が証明もクドいくらいだし
いいと思う。
287 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/20(水) 23:51:21 ID:/NloL2+A0
>>284
やっと公式の意味がわかりました
ありがとうございました
288 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 00:35:56 ID:hoYmdnWl0
>>279
(p(n), q(n))=(p(n-1), q(n-1))A, A=1/2(0,1//1,1) （２次正方行列のつもり）ですので
(p(n), q(n))=(1/2, 1/2)A^(n-1)
(np(n-1)/2, nq(n-1)/2)=(1/4, 1/4)nA^(n-2)
(Σnp(n-1)/2, Σnq(n-1)/2)=(1/4, 1/4)ΣnA^(n-2)
ここでΣnA^(n-2)=(ΣnA^(n-1))A^(-1)=(E-A)^(-2)A^(-1)=8(E+4A)=8(1,2//2,3)なので
期待値=Σnp(n-1)/2=6でしょうか
289 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 00:47:24 ID:hoYmdnWl0
>>270
>３点の重心の場合
平面上なら９点空間なら１７点じゃないでしょうか
290 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 09:47:15 ID:hoYmdnWl0
>>288
n=2から始めるので１つずれてました
n=1から始められるようにp(0)=0, q(0)=1を導入すると
(p(n), q(n))=(0, 1)A^n （n≧0）
(Σnp(n-1)/2, Σnq(n-1)/2)=(0, 1/2)ΣnA^(n-1) （n≧1）
ここでΣnA^(n-1)=(E-A)^(-2)=8(E+3A)=4(2,3//3,5)より
期待値=Σnp(n-1)=6です
p(0)=0なのでたまたま同じになったようです
291 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 10:06:50 ID:hoYmdnWl0
あとΣnA^(n-1)の収束性に関してはAの固有値がどちらも絶対値1未満であること
あるいは直接(X, Y)=(x, y)AとしたときにX^2+Y^2≦3/4(x^2+y^2)となることからも言えます（つまりA^(n-1)の成分（すべて正）はどれも公比1未満の等比数列の第n項の値以下となるのでそのような数列にnを掛けて総和を取っても有限の値に収束するというわけです）
292 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 10:14:32 ID:hoYmdnWl0
>>290
>期待値=Σnp(n-1)=6
期待値=Σnp(n-1)/2=6
293 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 10:16:36 ID:clFZQwF7O
√x＋√y＝√aとx＋y＝aで囲まれた部分をＤとおく
(1)面積を求めよ
(2)x＋y＝aを軸としてＤを一回転してできる体積を求めよ
√の扱い方が分かりません
誰か分かりやすい解説お願いします
294 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 10:56:54 ID:hoYmdnWl0
>>293
√の中は０以上値も０以上ですのでそれを念頭にうまく２乗しながら外していきます
√x+√y=√aを２乗するとx+2√(xy)+y=aとなりますのでx+y=aとの交点はxy=0すなわち(a,0)(0,a)のみと分かり
y=a-x-2√(ｘｙ)<a-xより曲線の方が直線より下になります
また曲線は√y=√a-√xを両辺２乗してy=a-2√(ax)+xと表せますので
(1)
∫[0,a]((a-x)-(a-2√(ax)+x))dx
=2∫[0,a](√(ax)-x)dx
=2[(2/3)√(ax^3)-(1/2)x^2][0,a]
=a^2/3
(2)
xy平面をπ/4回転させるとx+y=aはy=a/√2
√x+√y=√aは√((x+y)/√2)+√((-x+y)/√2)=√aとなりますので
両辺２乗して
(√2)y+(√2)√(y^2-x^2)=a
√(y^2-x^2)=a/(√2)-yの両辺を２乗してまとめると
y=a/(2√2)+x^2/(a√2)と放物線になります
交点は(±a/(√2), a/(√2))になりますので
2π∫[0,a/(√2)](a/(√2)-(a/(2√2)+x^2/(a√2)))^2dx
=2π∫[0,a/(√2)](a/(2√2)-x^2/(a√2))^2dx
を計算して出てくると思います
あるいは(0,a)から直線上をt(>0)進んだ点において垂直に交わる直線と曲線との交点を求めて回転半径を出して計算する方が楽かも知れません
295 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 11:32:08 ID:hoYmdnWl0
>>294
面積体積を求める際にaが面倒です
x/a+y/a=1, √(x/a)+√(y/a)=1とすると
X=x/a, Y=y/aすなわちxy平面を1/aスケーリングすることで
X+Y=1, √X+√Y=1となりますのでここから計算した上で面積比（a^2倍）体積比（a^3倍）するのがいいかもしれません
回転させたときに面倒を少なくするには1/aのスケーリングではなく(√2)/aのスケーリングの方がいいかもしれませんが
296 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 13:22:09 ID:bUhnd7bK0
tを実数とする
(1) f(t)=(1/π)∫[0,π](t-sinx)dxとおくとき、f(t)=0となるtの値を求めよ。
(2) g(t)=(1/π)∫[0,π]{(t-sinx)^2}dxとおくとき、g(t)の最小値を求めよ。
両問とも分かりません。
どなたか解答解説どちらでもかまいませんのでお願いします。
297 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 13:58:53 ID:BycLTmsxO
lim[n→∞]Σ[n:k=1]k/(n2+k2)=∫[0→1]x/(1+x2)dx
となるのはなぜですか？
298 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 14:19:34 ID:SDtRdOAQ0
>>297
区分求積
記号の書き方ぐらいは読んでから書き込もうね。
299 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 14:27:35 ID:SDtRdOAQ0
>>296
(1)まずは積分計算をするんだ。
(2)xで積分してからtで微分して増減を調べてもいいけど、
(d/dt)g(t)=(1/π)∫[0,π]{(d/dt)(t-sinx)^2}dx
といきなりtで微分出来ることを使えば・・・
300 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 14:48:20 ID:keF2vpQNO
>>299
(1)は普通に積分したらできますね…
答えはt=2/πで合ってますか？
(2)もヒントありがとうございます。
両方でやってみます。
301 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 16:14:28 ID:clFZQwF7O
>>294>>295
ありがとうございます
質問ですが(2)の√x＋√y＝√aをπ/4回転したものを求める際は回転行列を利用するのですか？
302 名前：大学への名無しさん[age] 投稿日：2008/02/21(木) 17:46:38 ID:JbqUd0y3O
携帯電話からで悪いけど、この記号ってPCからみれますか？
↓
靃靍鉀鈼鉎鉙鉑
303 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 18:09:48 ID:QNwAU7ER0
携帯電話からで悪いけど、この記号ってPCからみれますか？
↓
靃靍鉀鈼鉎鉙鉑
>>302
無理
304 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 18:12:59 ID:hoYmdnWl0
>>276
同様にk回連続で終了の回数の期待値をm(k)とすると
だいたい平均してm(k)回目にk回連続してきているので
m(k)+1回目に表が出たら終了（確率1/2）
裏が出たら（確率1/2)m(k)+2回目からまた同じことを最初からやることになって
だいたい平均してさらにm(k)回目（最初から数えて2m(k)+1回目）にk回連続表になっているのでその次の回表が出たら終了（確率1/2）
と考えると
m(k+1)=(m(k)+1)/2+2(m(k)+1)/4+3(m(k)+1)/8+.....
=(m(k)+1)/2(1+2・1/2+3・1/4+4・1/8+....)=(m(k)+1)/2・1/(1-1/2)^2=2(m(k)+1)
という期待値の漸化式が得られるので
m(1)=2から（m(0)=0から？）始めてm(k)=2(2^k-1)となるでしょうかね（別途直接計算でm(3)=14, m(4)=30, m(5)=62となりました）
この考えだと前に書い面倒な計算は必要なくm(2)=2(m(1)+1)=2(2+1)=6と求められます
305 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 18:20:50 ID:hoYmdnWl0
>>301
私はそうやりました（回転させた図形上の点(x,y)を-π/4回転させて元の条件式を満たすとする）
あるいはst座標軸をxy座標軸を-π/4回転したものとすると
(x,y)=s(cos(-π/4), sin(-π/4))+t(cos(π/4), sin(π/4))
としてx=(s+t)/√2, y=(-s+t)/√2となると考えても良いと思います
306 名前：大学への名無しさん[ ] 投稿日：2008/02/21(木) 20:58:21 ID:3DmEW0mw0
袋の中に1からnまでの番号のついたn個の玉が入っている。
この袋から玉を1個取り出し、番号を調べてもとに戻すことを
r回行うとき、取り出された玉の最大値をXとする
問 k=1,2,･･･,nに対して、Xがちょうどkになる確率を求めよ
でn個の中からkをひく確率が1/n 残りはk以下の数字をひけば
いいので(1/k)^(r-1)
よって rC1*1/n*(1/k)^(r-1) としたのですが全然違いました。
どうしてこれが違うのか分かりません。
因みに答えは (k/n)^(r)-(k-1/n)^(r) です
307 名前：暇人大学生[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 21:14:19 ID:SDtRdOAQ0
>>306
最大値がkになればよいのですから、r回中kを1回だけ引くのではありません。kを2～r回引いて最大値がkとなる確率が含まれていません。
またk以下の数字を引く確率はk/nです。
最大値がk以下である確率は、k以下の数字をr回引けばよく
(k/n)^(r)
となるので、最大値がkである確率は
(最大値がk以下である確率)-(最大値がk-1以下である確率)
=(k/n)^(r)-(k-1/n)^(r)
となります。
308 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 21:43:47 ID:3LmOMOY/0
f0(x)=1,f1(x)=1 - x,･･･,fn(x)=1 - x + x^2/2! - x^3/3! +･･･+ (-1)^n*x^n/n!,･･･とおく。
このとき次を示せ。
(1)n≧1のとき、f'n(x) = -fn-1(x)である。
(2)x≧0とするとき、nが偶数ならfn(x)≧e^-x、奇数ならばfn(x)≦e^-xが成立する。
(3)nが奇数のとき、fn(x)=0はx≧0の範囲でただひとつの解をもつ。
(1)は証明できました。しかし(2)から分かりません＾＾；
帰納法でいこうと思ったのですが上手く証明できなくて困っております。
もしお分かりになる方がいらっしゃいましたら教えていただけると嬉しいです。
宜しくお願いします。
309 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 22:50:34 ID:INjZlSgn0
e^(x)>0 だから、e^(x)f_n(x)≧1 などを示せばいい。
310 名前：大学への名無しさん[ ] 投稿日：2008/02/21(木) 23:04:29 ID:3DmEW0mw0
>>307
分かりました。ありがとうございます
311 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/21(木) 23:17:40 ID:hoYmdnWl0
>>308
(2)帰納法で行けます
(f[n](x)-e^(-x))'=-(f[n-1](x)-e^(-x))
ですのでnの偶奇によって単調増加もしくは単調減少となり
x=0の時の値0が最小もしくは最大となります
(3)nが奇数ならf[n](x)自身の単調減少性が言えますのでx^nの係数が負であることから中間値の定理によって示せます
312 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/21(木) 23:57:25 ID:3LmOMOY/0
>>309
>>311
ありがとうございます！解いてみます。
313 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/22(金) 00:15:03 ID:2QaGe6cs0
(x-1)a+xc=2x^2-2x+1-yとxa+(x+1)c=2x^2で
a=x-1+y(x-1)とc=x-xyを出すにはどうすれば良いのでしょうか？
314 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/22(金) 00:29:22 ID:RDzWO+FT0
質問です
p,qが共に奇数ならば二次方程式x^2+px+q=0は整数解をもたないことを証明せよ
よろしくお願いします。
315 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/22(金) 00:53:56 ID:ji7Wd4I00
>>314
2つの整数解をもつとし，それらの積qが奇数ならば整数解はともに奇数
このとき2解の和は偶数でならなくてはならないのでpが奇数なら無理
316 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/22(金) 09:20:21 ID:LIiC/l/k0
>>313
aとcの連立１次方程式ですから根気よく計算すれば求められます
代入法では分数式が出ていやですから消去法を使えば
係数行列の行列式|x-1, x//x, x+1|=-1なのでa, cがそのまま出ます
ところでa=x-1+y(x+1)ですよ
317 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/22(金) 22:52:21 ID:n5ASi8xmO
(x-y)^3+(y-z)^3
の因数分解ができません
初歩的な問題ですが誰か教えて下さい。
318 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/22(金) 23:51:57 ID:uNbyliM8O
x-yをＡ
y-zをＢに置き換えてみてＡ^3＋Ｂ^3を因数分解してください
319 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/22(金) 23:56:42 ID:/Tm5VpyU0
括弧の中に出てくるa^2+b^2は(a+b)^2-2abとみるときれいに進められるね。
320 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 00:00:37 ID:b7+UloDiO
理転して数学をゼロから初めて教科書の例題のレベルはできるようになったんですが次に何すればいいですかね？誰かアドバイスたのみます。
321 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 01:23:18 ID:b28k7HuZO
>>318>>319
ありがとうございました！助かりました。
322 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 01:58:40 ID:AynLj3D00
cosα+cosβ=1/2 sinα+sinβ=1/3の時、次の問いに答えよ
(1)cos(α-β)の値を求めよ 答え -59/72
(2)一般に次の式が成り立つことを示せ
cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos(x-y)
(3)cos(α+β)の値を求めよ 答え 5/13
(3)が解けません(´・ω・`)（学校のテキストで解説が無い）
(1)と(2)から-59/72*2cos(x+y)=cos2x+cos2yと置いてそこから手詰まりです･
教えてください(´`)
323 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 01:59:40 ID:AynLj3D00
-59/72*2cos(α+β)=cos2α+cos2β でした;
324 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 03:59:31 ID:Q4gT2Yw40
>>322
α=2a,β=2bとして
cos2a+cos2b=2cos(a+b)cos(a-b)=1/2
sin2a+sin2b=2sin(a+b)cos(a-b)=1/3
より辺々割ってtan(a+b)=2/3
cos(α+β)=2cos^2(a+b)-1=2/(1+tan^2(a+b))-1=5/13
325 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 04:52:28 ID:sCcNy3yV0
>>322
>(1)と(2)から-59/72*2cos(x+y)=cos2x+cos2yと置いてそこから手詰まりです
cos2x+cos2y=cos^2x+cos^y-sin^2-sin^2y=(cosx+cosy)^2-(sinx+siny)^2-2(cosxcosy-sinxsiny)=(1/2)^2-(1/3)^2-2cos(x+y)より
-59/36cos(x+y)=5/36-2cos(x+y)となります
326 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 11:33:00 ID:PpTyV2N+0
空間でのベクトルの１次独立というのは、
a↑≠0↑、b↑≠0↑、c↑≠0↑でa↑、b↑、c↑が同一平面上にない
でオーケーでしょうか？
327 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 13:16:47 ID:TKFM+fz9O
和積の公式ってどんなときに使うんですか？？
328 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 14:36:00 ID:dbdcULFF0
不等式、積分
329 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 14:39:35 ID:AynLj3D00
>324>325
なるほど。。ありがとうございました！
330 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 17:38:52 ID:sCcNy3yV0
>>326
オーケーです
331 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 18:16:56 ID:+0CETs0mO
∫1／χ3dx （χ3乗分の1の積分）てどうなりますか？
332 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 18:31:12 ID:dbdcULFF0
-3乗をいつも通り積分するだけです
333 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 18:43:31 ID:+0CETs0mO
あざます！
334 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 19:20:23 ID:c6HmphPrO
数学を勉強してると計算等で膨大な量のノートを使いますがノートだと出費がバカになりません…。
他に代用できるものがあれば利用したいです。
皆さんがノートの代わりに何か使用してるものがあれば教えて下さい。
335 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 19:23:41 ID:d0hO2bDj0
コピー用紙だなｗ
まとまったらクリップで留めてる
336 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 19:45:28 ID:eRdoVkKL0
>>335
同意。ちょっといい目の紙じゃないと後々黄ばんでショボーン(AA略
保存する必要なければチラ裏。もしくは輪転機用の藁半紙が安くてオヌヌメ。
337 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 19:50:08 ID:KdFLK1Q20
>>330
ありがとうございました
338 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 19:50:11 ID:c6HmphPrO
>>335
>>336
参考になりました。
ありがとうございました(^O^)
339 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 19:51:33 ID:c6HmphPrO
>>336
>>337
間違えました。
340 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 22:19:21 ID:TDQ/4kg80
あってると思います
341 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 22:24:48 ID:g94KwdCZO
空間ベクトルで
｢Ａ(１,０,１)Ｂ(２,０,-１)Ｃ(１,-１,２)でできる平面ＡＢＣの法線ベクトルをd↑(s,t,１)とおく｣
と解答に書いてあるんだけど、どうしてd↑のＺ座標が１に決まるんですか？
簡単な質問ですみません…
342 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 22:34:04 ID:dbdcULFF0
例えばの話になるが、xy平面に対して垂直なベクトル、つまり
(1,0,0,), (0,1,0)の法線ベクトルは、(0,0,1)でも(0,0,-1)でもいいのは分かるよね
法線ベクトルとはいっても、比例定数kを用いて(0,0,k)と書けるわけ。
問題では、無現にある法線ベクトルのうちの、z成分が1であるものを求めよ、ということ
343 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 22:43:03 ID:g94KwdCZO
>>342
そこに書いてあることは一応理解しました。
でもどうしてＺ成分が１でないと駄目だったんでしょう？
(1)平面ＡＢＣとＺ軸との交点を求めよ
って問題なんですが…
344 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 22:55:17 ID:JEDV+8Tr0
てかこの問題の特殊性から
z軸の交点がz=3てのは暗算で出るんだが
345 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 22:59:40 ID:dbdcULFF0
>>343
どうしてz成分が1でないとダメだと思うの？
346 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 23:02:46 ID:JEDV+8Tr0
zは2でも3でも10000でもいいんだよ。
一番計算が簡単そうなz=1を選んだだけ。
あえてz=10000にする馬鹿はいない。
---------------切り取り-----------------
平行でない平面と平面の交線は直線。
y=0平面と平面ABCの交線を考えるとそれは
(x,y,z)=A(1,0,1),B(2,0,-1)を通る直線であるので
(0,0,3)も通る。
347 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 23:07:46 ID:g94KwdCZO
>>345
解答にそう書いてあったんで…
ということは１じゃなくても答えは出るってことですか…
じゃあ仮にd↑(s,１,t)とおいても大丈夫なんですかね？
なんか訳が分からなくなってきた…
無限にある法線ベクトルのうちの一つを数字で固定しろってことですか？
348 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 23:10:23 ID:dbdcULFF0
>>347
そういうこと。解答にある記述を勘違いしてるような気がする。
固定しないで一般的に解答してみせようと思うのでちょっと待ってろい
349 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 23:15:48 ID:g94KwdCZO
>>346
ありがとうございます。言われてみればそうですね。
要するに傾き-２の直線の切片を求めろってことですか…
350 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 23:17:51 ID:g94KwdCZO
>>348
ありがとうございます！解答は簡潔すぎて良く分かんないです。
351 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 23:20:21 ID:dbdcULFF0
ごめん、z=0との交点かと思った。法線ベクトルでどう求めるんだろ。
>>349
この問題ではそうなってしまうね。
平面ABC上の点はs,tを用いて
vector(OA)+s*vector(AB)+t*vector(AC)
となるが、このx,y成分が0となるようにs,tを設定すればz座標が得られる
352 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/23(土) 23:36:35 ID:JEDV+8Tr0
他にも
平面ABCをax+by+cz=1とおいて
ここにA,B,Cの座標を代入。
連立方程式を解いたときの1/cがz軸との交点となる
といった解法もある
353 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/23(土) 23:46:46 ID:dbdcULFF0
ハイレベルになるが、
3点A,B,Cに対する法線ベクトルの1つを外積(ベクトル積)を使って求めると、
(-2,-1,-1)となる。つまり、法線ベクトルの1つは(2,1,1)であり、
平面上の点X(x,y,z)についてベクトルAXと法線ベクトルは垂直だから
(x-1,y,z-1)・(2,1,1)=0 が成り立ち、これから平面の式
2x+y+z=3が得られる。勿論、AじゃなくてBないしCにしても直線の式は得られる。
354 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 01:55:31 ID:Meml9o82O
三次方程式の解と係数の関係は答案で使ってもいいのですか？
355 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 02:01:51 ID:FDk+qzMj0
いいです。多分
356 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 04:24:04 ID:KU2ifCqaO
方程式 3^x=2x+1 の実数解について
適当に数値代入して x=0,1 とわかったんですが
たまたまキレイな数字だから見つかっただけだし、納得がいきません…
数式で誰の目にも明らかなように解くにはどうしたらいいですか？
忘れている部分は多いですが、数３Ｃまで教科書は１度はさらってあります
357 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 04:41:52 ID:WnC2l84w0
>>356
>数式で誰の目にも明らかなように解くにはどうしたらいいですか？
たぶん２次方程式の解の公式のようなものを期待しているんだろうけどそういうのはありません
そうじゃないならf(x)=3^x-2x-1についてf''(x)=3^x(log3)^2>0よりf'(x)は単調増加で
f'(x)=3^xlog3-2=0となるのはx=a=(log2-loglog3)/log3のみなのでf(x)はx<aで単調減少x>aで単調増加
f(0)=0, f(a)=2/log3-2log3-1<0, f(1)=0なのでx=0,1以外にf(x)=0の解はないと言うぐらいではないでしょうか
358 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 04:46:06 ID:WnC2l84w0
f(1/2)=√3-2<0の方が簡単
359 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 05:03:11 ID:FDk+qzMj0
あまり詳しくないが、こういう異種の関数の計算は
ランベルトのW関数を使うらしいじゃないか。
360 名前：大学への名無しさん[356] 投稿日：2008/02/24(日) 05:22:55 ID:KU2ifCqaO
こんな時間にどうもすみません…
学校で習った指数方程式や対数方程式は整方程式に帰着してたから
これも何かしら方法があるのかなと思ったんですけど（せめて『積＝０』の形になればいいなと…）
この問題では、解そのものは（高校範囲では）偶然見つかっただけなんですね
ちなみに
曲線 y=3^x は連続かつ下に凸だから、直線との交点は高々２個
というアプローチでも構わないでしょうか？
361 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 05:40:02 ID:WnC2l84w0
x<0では上に凸なので考察を場合分けする必要あり
けど概ねそれでもｏｋ
362 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 05:45:10 ID:FDk+qzMj0
お前は何を言っているんだ
363 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 05:45:41 ID:WnC2l84w0
>>360
>解そのものは（高校範囲では）偶然見つかっただけなんですね
高校範囲でなくても存在ぐらいしか言えないからあとは適当に見つかれば見つかるそうでなければそうでないということです
何か解を具体的に表せる方法が存在する方が特別なことなのです
364 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 05:47:58 ID:WnC2l84w0
>>361
全体で下に凸だった
365 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 06:54:18 ID:DtXzJSPdO
放物線じゃないが
366 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 06:56:02 ID:FDk+qzMj0
お前は何を言ってるんだ
367 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 10:25:44 ID:/CskgMWPO
前日にふと思ったんだが。
sinやlimは筆記体で書いてもいいの？
368 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 10:42:13 ID:CQ6o6XuA0
>>367
いいよ
369 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:18:01 ID:iA41KOfPO
☆2^2008の最高位は？
のやり方を教えてくれる方いませんか？
370 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:21:59 ID:3EBIrtpZ0
群数列の質問です
1|3 5|7 9 11|13 15 17 19|…
のような群数列でn群のはじめの数を求めなさい
というような問題の解答の書き方の質問です
各群のはじめの数を並べて
１ ３ ７ １３ …
だから階差数列の第n項は２ｎと分かりますよね？
それで階差数列の公式を使って解くのはアリですか？
問題集だと解答は
この数列{a_k}の一般項はa_k=2k-1
n群の初めの数は前から数えて（1+2+3+…n-1）+1＝1/2(n-1)n+1項目にあるから
初めの数は2{1/2(n-1)n+1}-1=n^2-n+1
となってるのですが全部群数列は階差でやれば簡単な気がするのですがどうでしょうか？
×になりますか？
371 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:37:35 ID:WnC2l84w0
>>369
10^n≦2^2008<10^(n+1)
n≦2008log2<n+1
log2=0.3010よりn=604
k≦2^2008/10^604<k+1
logk≦0.4680<log(k+1)
log3=0.4771,log4=0.6020よりk=3
372 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:39:39 ID:WnC2l84w0
>>370
階差数列を使ってどうするのですか？
373 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:42:21 ID:lIe9hsCKO
25！の一の位十の位百の位…ではじめて0でない数がでるまでに0が何個続くかって問題解いて下さい｡まったくわからないです｡
374 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:53:07 ID:WnC2l84w0
>>370
ゴメン意図を把握してなかった
第n群先頭の数値をa_nとすると
a_1=1, a_(n+1)=a_n+2n
からということですね
どの程度のことを自明とするかによると思いますが
第n群にn個の数があって公差2の等差数列ですから
第n+1群先頭の数値との差は2nということを書いておけば
間違いはないでしょう
375 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:53:56 ID:3EBIrtpZ0
>>370
nが2以上のとき
a_n=1+∑{k=1~k=n-1}2kを計算しても同じ結果になりますよね
（あとn=1のときも成立）
これでやってはいけないかという事です
376 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 11:56:21 ID:VibMGX0U0
>>373
かけられた５の数を数えて６個
377 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 11:58:46 ID:3EBIrtpZ0
>>374
ありがとうございます
＞第n+1群先頭の数値との差は2nということを書いておけば
とありますが書かないと減点になるでしょうか？
先頭の数を並べたものを書いていきなり式を書いたらだめでしょうか？
378 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 12:00:28 ID:WnC2l84w0
>>373
10で何回割れるかを考えればよいので
25!が2で何回割れるか5で何回割れるか求めてやればよいです
25までに
2の倍数が12
4の倍数が6
8の倍数が3
16の倍数が1
ありますので2のべきは12+6+3+1=22
同様に5のべきは5+1=6
これらから25!を割り切る10のべきは6ということになります
379 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 12:01:32 ID:WnC2l84w0
>>377
採点者や出題意図・レベルによると思います
380 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 12:07:25 ID:lIe9hsCKO
>>378
ありがとうございました｡そんな考え方おもいつかなかったです｡
381 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 12:09:37 ID:3EBIrtpZ0
>>379
そうですか…
階差を使えば漸化式なんかもとりあえず５項ぐらいまで求めて階差が使える数列も多いと発見したのですが
それも出題意図によるということですよね？
漸化式も階差数列の公式だけ覚えてたら楽勝とおもったのですが…
どうしよう 参考書通りの解答覚えた方がいいですか？
382 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 12:30:56 ID:VibMGX0U0
>>381
> 参考書通りの解答覚えた方がいいですか？
はい
1.数列全体を規定する数列なら求まるのでまず求める
2.ｎ群の数を具体的に求めたいが、何番目の数かと言うことは分かるので求める
3.１で求めた数列にのせてやればいい
という思考回路は身につけて置くべき
漸化式は
a_(n+1)=p*a_n+f(n)型
a_(n+1)=(p*a_n+q)/(r*a_n+s)型
三項間の漸化式
も覚えた方がいい
383 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 12:38:30 ID:lUa6r+/xP
はじめの数項で予想しただけじゃあかんって言ってやれよ
384 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 13:06:26 ID:WnC2l84w0
>>371
>log3=0.4771,log4=0.6020よりk=3
log2=0.3010, log3=0.4771よりk=2
385 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 14:23:06 ID:yZrWYXZuO
1 2 3 4 5 6
を使って2008になるやつ教えて下さい
授業の暇つぶしで先生が問題だしましたが答えは教えてくれませんでした
よろしくお願いします
386 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 14:44:24 ID:xse6A6wO0
>>385
45^2-3*6+1
387 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 17:10:15 ID:tDMtWxy0O
ある二次正方行列のｎ乗の計算法はいくつかありますが、それらを列挙していただければ幸いです。
388 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 17:14:13 ID:yZrWYXZuO
>>386
ありがとうございます。
389 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 18:58:07 ID:4YvxqfqAO
ニューアクションβと青チャートのレベルは同程度ですか？
390 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 19:07:21 ID:KA1fu7yrO
すごく初歩的な質問なんですが
4x^3-6x^2-2x+3 =(2x-3)(2x^2-1)
のような因数分解は何かテクニックがあるのでしょうか。
391 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/24(日) 19:21:05 ID:xse6A6wO0
>>390
その問題であれば見た目で2x-3が因数とわかる
3次以上の多項式なら因数定理使うのが一般的だと思うが
392 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 20:20:54 ID:tDMtWxy0O
>>387を是非お願いしたいですm(_ _)m
393 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 20:38:38 ID:FDk+qzMj0
有理数係数の整式では、
±|定数項の約数|/|最高次の係数の約数|
が解の候補です
394 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 20:40:53 ID:8ADxD21OO
>>387
三角行列:kE+N、N^2=0を用いて二項展開
行列式=0:ハミルトン・ケーリーから二項間漸化式型
その他:ハミルトン・ケーリーから三項間漸化式型
説明はめんどい
395 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 20:44:03 ID:FDk+qzMj0
対角化を行ったり、x^nを計算する要領でやればいい
396 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 21:43:50 ID:jqAOX2TPO
兄弟合わせて52本の鉛筆を持っている。
いま、兄が弟に自分が持っている鉛筆の三分の一をあげても兄の方が多く、更に三本あげると弟のほうが多くなる。
兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求めよ
1/3x-3＜52-x
x＝41.25になった。
解答は42本なんだけど…自分の回答のどこら辺間違ってるのでしょうか
397 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 21:51:28 ID:8ADxD21OO
>>396
何かいろいろ間違えてるような…
文章通りに式をたてていけば
41.25<x<43.5
が出て、xは３の倍数だから42になる
398 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 21:56:19 ID:FDk+qzMj0
??? 兄がx本、弟が52-x本
x>52-x
(2/3)x>52-(2/3)x
(1/3)x-3<55-(2/3)x
これらから39<x<43.5
399 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 22:30:55 ID:Wj9t8+quO
arctanXが実数全体で、マクローリン展開可能であることを示し、実際にマクローリン展開しなさい(>_<)教えてください(;_;)
400 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 22:42:15 ID:a+aTru1EO
log3(x-1)=log9(4x-a-3)が異なる２つの実数解をもつとき、aのとりうる値の範囲を求めよ
って問題の答えはa<5でいいんですか？
401 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 22:56:44 ID:WnC2l84w0
>>399
受験数学じゃありませんが
マクローリン展開は実数全体では収束しませんよ
402 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/24(日) 23:07:48 ID:WnC2l84w0
>>400
3と9は底？あと真数条件が必要でしょう1<a<5かな？
403 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 00:32:15 ID:dhk7tOtVO
>>401
あっ|X|<1です(>_<)
404 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/25(月) 08:24:31 ID:D5NmH+1zO
最終確認のために部分積分の公式教えてください!!
405 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 09:12:44 ID:9n9nv1hg0
∫fgdx=Fg-∫Fg´dx
なんていう死亡フラグだ
406 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/25(月) 12:05:41 ID:D5NmH+1zO
>>405
ありがとうございました
407 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 19:48:04 ID:q+QOGWTu0
ケーリーハミルトンの定理の有効性を教えてください
（例えば正弦定理や余弦定理なら角や辺の長さを求める道具ですよね）
ケーリーハミルトンの定理はどうも何の役に立つのかが分かりません
未知の行列を求めることが高校数学での位置づけですか？
408 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 19:49:06 ID:0FKOV8U+O
行列の次数を下げるんだよ
二次を一次にしたり
409 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 19:50:37 ID:q+QOGWTu0
>>408 ありがとう
ではその次数下げはケーリーハミルトンを使う以外に方法はないですか？
410 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 19:52:49 ID:0FKOV8U+O
正直わからない(^_^;)
たぶんケーリーハミルトンだけだと思うよ
411 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/25(月) 20:43:35 ID:hRKoFZ3g0
>>409
単純な行列ならば逆行列を用いて次数下げ自体は可能。
しかし計算が増えるほか、detA=0なら逆行列がないためにできない。
そういう意味で万能なのはケーリーハミルトンだな。
他にも、一部の行列ならｎ乗の計算に使えるし、
3乗以上の行列を簡単にまとめることが出来る。
こんなところだよ。
高校数学で行列は大したことができないから。
一次変換が関の山。
412 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 21:14:12 ID:4N7CYNuTO
kは定数とする。関数f(x)=-x^3-3x^2+3kx+3k+2の-1≦x≦1の範囲における最大値を求めよ。 どなたか解き方、答え教えてください。
413 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 21:26:24 ID:xApMdzBN0
役に立つというかそれが成立しているという驚愕の事実があるわけでどのように使えるかはいろんな問題を解けば次第に分かると思うよ
414 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 21:58:21 ID:xApMdzBN0
>>412
f'(x)=0である実数が存在しないときはf(x)は単調増加だからf(1)が最大で
f'(x)=0である実数x=aが-1<a<1の間に存在する場合は増減表を書いてf(-1), f(1), f(a)の大小比較
f'(x)=0である実数がこの範囲に存在しない場合はf(-1)とf(1)の大小比較でしょうね
実際はf'(x)=3x^2-6x+3k=0よりx^2-2x+k=0が実解を持たないのはk>1でf(1)=6kが最大
実解はx=1±√(1-k)ですから-1<x<1の範囲にありそうなのは1-√(1-k)の方で1-√(1-k)<-1⇔k<-3でこのときf(-1)=-2が最大
-3<k<1ではf(1-√(1-k))が最大ですが
f(x)=(x-1)^3+3(k-1)(x-1)+6k=(-√(1-k))^3+3(k-1)(-√(1-k))+6k=2(√(1-k))^3+6kと計算できます
415 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 22:16:02 ID:4N7CYNuTO
親切にありがとうございますm(__)m
定数を分離することしか頭になくて、わかりませんでした。数学すごく苦手で…もう一問質問してもよろしいでしょうか？
416 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 22:28:46 ID:0PZCV4RrO
>>415
横槍ですみませんが>>414はx^3の係数が変わってしまっているので
気を付けてください
417 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 22:32:17 ID:xApMdzBN0
>>416
ホントだすいません-1ですね
まるっきり左右逆でした
418 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 22:41:18 ID:4N7CYNuTO
皆さん親切にありがとうございますm(__)m もう一問質問です。 座標平面上の2点Q(1,1),R(2,1/2)に対して,点Pが円x^2+y^2=1の周上を動くとき次の問に答えよ。
1、△PQRの重心の軌跡を求めよ。
→僕はP(cosθ,sinθ)と置いて重心の座標を求め、θを消去しました。
2、点Pから△PQRの重心までの距離が最小となるとき、点Pの座標を求めよ。
→二点間距離の式をたてて、√の中を合成…？
3、△PQRの面積の最小値を求めよ。 解答解説お願いします。
419 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 22:44:37 ID:YwEEoPz80
3a^3+5b^3=7c^3を満たす0でない整数a,b,cの組は存在しないことを示せ。
整数の合同を使うみたいです。
解き方を教えてください。
420 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 23:38:43 ID:xApMdzBN0
>>418
重心GはQRの中点M(3/2,3/4)とPを結ぶ線分を1:2に内分しますからPGが最小になるのはPMが最小になるときつまりPがOM上に来る場合でOMの傾きが1/2ですので最小になるP(2/√5, 1/√5)
△PQRが最小になるのはPが直線QRに最も近づく場合ですからQRの傾き-1/2よりOPの傾き2である場合でそのときの高さは3/√5-1より△PQR=1/2・(3/√5-1)√5/2=(3-√5)/4
421 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 23:39:25 ID:x2SXRIyS0
>>418
1. それで問題ないです。
2. もちろんそれでもできると思います。計算練習がてらやってみてもよいでしょう。
重心をG、QRの中点をMとしておくと、PG=(2/3)PMです。PMを考えたほうが計算が楽になります。
3. http://uproda11.2ch-library.com/src/1167765.jpg 何かこのグラフを見てインスピレーションが湧きませんか？？
QR=一定なので、△PQRが最小になるにはQRを底辺とした時の高さが最小になればいいわけです。
422 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/25(月) 23:44:28 ID:x2SXRIyS0
かぶったorz
>>419
a,b,c≧1なので、左辺は偶数です。ところが右辺は奇数。よってそんな(a,b,c)はないですね。
423 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 23:47:20 ID:9n9nv1hg0
>>422
左辺は偶数？x^3≡0,1(mod 2)なので奇遇どちらもとりうりのですが。。
424 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/25(月) 23:52:01 ID:4N7CYNuTO
皆さんすごく助かります。どうしても難しく考えて式で解こうとしてしまうみたいで…もう一度ゆっくり自分で解いてみます。もう少しグラフをしっかり追いかける習慣をつけたいと思います。ありがとうございましたm(__)m
425 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:24:52 ID:C0RwbENQ0
>>419
何とか解けたけども。合同式の法を3とする。
3乗の数を3で割ったものは、整数を3x,3x±1の3つに分類し、これらの3乗を
3で割った余りを考えればよく、0,±1に分けられる。
3a^3+5b^3=7c^3 から
2b^3≡c^3
左辺は2*(0,±1)=0,±2, 一方の右辺は0,±1
よって両辺を3で割った余りは0でなければならず、このときb=3b´、c=3c´と
新たに書き直せる。これを問題の式に代入すると、aも3を因数に持たなければ
ならず、a=3a´とおける。これを新たに代入すると、
3a´^3+5b´^3=7c´^3
となり、問題の式に一致するので、これは無限に繰り返せることになる。
しかし、(a,b,c)は整数なので、このような、3で無限に割り切れることはありえない。
よって問題の式を満たすような整数a,b,cは存在しない。
無限降下法というやつです。
426 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:27:11 ID:3wJr7wnhO
スレチですが0.12は有効数字なん桁ですか？
427 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:32:31 ID:wt2BcFkC0
>>425
>左辺は2*(0,±1)=0,±2, 一方の右辺は0,±1
2≡-1だからこれではうまくいかない
うーんどうするんだろa^3+b^3=c^3がありえないのと同様（無限降下法）になるんだと思うんだけど
428 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:37:04 ID:wt2BcFkC0
3を法として考えるとb+c≡0
b,cが３の倍数ならaもそうなのでこれは除外してよいから
a≡2, b≡1, c≡2またはa≡1, b≡2, c≡1の場合を考える
9もしくは27を法として（(3k+a)^3=9l+a^3=27m+9ka^2+a^3）・・・・としてもうまくないですね
429 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:39:22 ID:C0RwbENQ0
>>427
おお、気づいて下さった、どうもありがとう。確かにもう1つの候補があるね。
b≡-1, c≡-1として、問題の式に代入すると
3a^3≡1が得られる。左辺は3で割り切れるので、これはありえない。
これでは遠回りしてる気がするなあ・・・。
430 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:43:27 ID:VmqSsIy20
mod 7で考えて3a^3+5b^3が7の倍数⇒a,bはともに7の倍数とか
431 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:50:20 ID:wt2BcFkC0
>>429
>b≡-1, c≡-1
これはありえない
b≡-1ならc≡1でなくては
432 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:55:26 ID:C0RwbENQ0
>>431
すいません、勘違いしました。更に、2*(0,±1)≡0,±1でしたね。
uuu
433 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:55:52 ID:wt2BcFkC0
>>430
あそれだ
3a^3=2b^3
a=0,1,2,3,4,5,6
a^3=0,1,1,6,1,6,6
3a^3=0,3,3,4,3,4,4
2b^3=0,2,2,5,2,5,5
ここから3a^3=2b^3となるのはa,bいずれも7の倍数の場合だけ
これで無限降下法が使える
434 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 00:56:26 ID:VmqSsIy20
mod 7だと3((±1)^3)≡3((±2)^3)≡-3((±3)^3)≡±3、5((±1)^3)≡5((±2)^3)≡-5((±3)^3)≡-(±2)だから
3a^3+5b^3が7の倍数⇔a,bはともに7の倍数が言える
mod 3だと7((±1)^3)≡-5((±1)^3)≡±1だから7c^3-5b^3が3の倍数⇔b+cが3の倍数になって無理
mod 5も無理
435 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 02:54:23 ID:tyL5XNk+O
f(X)=－X2乗－2X＋3 グラフについて、
t≦X≦t＋1 におけるf(X) の最大値 g(t)を求めよ。
数学が得意な方お願いします！(;o;)
436 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 03:03:45 ID:C0RwbENQ0
グラフの大まかな形は分かるよね。
放物線の頂点が区間内に入ってれば、もちろんその頂点が最大値
頂点が区間外にあれば、区間の端っこの大きい方が最大値。
まずはグラフを描いてみて、[t, t+1]の区間をスリットから覗くようにして、
tを動かすのをイメージしてみると分かると思う。
437 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 05:57:39 ID:wqj4iY+tO
>>435
お前今までのレスとかテンプレとか
過去スレとか見てないだろ
その質問の仕方も回答者に対して失礼だってことがわからない？
お前常識無いのか？
438 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 12:21:39 ID:8irHtGtmO
>>437
いちいちウザいよ(>_<)
439 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 12:47:17 ID:tyL5XNk+O
>>436ありがとうございます！
やってみます！！(^-^)
440 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 16:06:03 ID:xG66Tebc0
>>438
ルールは守ろうよ
441 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 16:30:50 ID:Q+nmHjGyO
質問お願いします。
今日大学の試験で
. ..
0.6と0.136の積を循環小数で表記せよ
とゆう問題が出たのですけど、これは普通に掛け算して
..
0.81が答えであっていますか？
442 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 16:54:49 ID:N+2tODDl0
>>441
・がずれててちゃんと見えない。
とりあえず一旦分数に直して掛け算し、
循環小数に書き直したらいいんでないの？
443 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 16:57:48 ID:Q+nmHjGyO
6と36の上に点です
いったん分数にするんですか!わかりましたありがとうございますY(>_<、)Y
444 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 17:10:48 ID:fWDfyW5xO
公約数はわかるんですが公倍数がいまいちわかりません
誰か優しいかた簡単な具体例を出して解説お願いします
445 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 17:51:02 ID:N+2tODDl0
>>444 公倍数、ですか…
例えば、12と18だったら、36とか72とかは12,18両方の倍数になっているでしょう。
それを公倍数というんです。特にいちばん小さいものを最小公倍数といいます。
P=ab、Q=ac （ただし、a,b,cは自然数で、bとcは1以外に公約数をもたない）
のとき、PとQの最小公倍数はabcとなるんですね。
446 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 18:03:07 ID:fWDfyW5xO
>>445
ありがとうございます！
447 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 20:13:59 ID:/uInHR8Z0
関数 x→0 の極限値を求めよ
(a^2-1)/x （aは1ではない正の定数）
よろしくお願いします。
448 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 21:06:15 ID:N+2tODDl0
>>447
問題合ってますか？そのまま回答すると、
0<a<1のとき、x→+0なら-∞、x→-0なら+∞
1<aのとき、x→+0なら+∞、x→-0なら-∞
左右の極限が違うので、x→0の極限はなし。
449 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 21:23:50 ID:wt2BcFkC0
>>447
たぶん問題間違っていてlim[x→0](a^x-1)/xでしょ？
f(x)=a^xのf'(0)の定義式ということから微分して値は出ます
けれど(a^x)'を求めるのにこの値は必要なので
証明を求められている場合はeの定義式から地道に変形していきます
e=lim[n→∞](1+1/n)^n
⇒e=lim[t→+0](1+t)^(1/t)
⇒e=lim[t→0](1+t)^(1/t)
⇒1=lim[t→0](log(1+t))/t
x=log(1+t)⇔t=e^x-1
⇒1=lim[x→0]x/(e^x-1)
⇒1=lim[x→0](e^x-1)/x
a=e^(log a)より
lim[x→0](a^x-1)/x=lim[x→0](e^(xlog a)-1)/x
t=xlog aとすると
lim[x→0](e^(xlog a)-1)/x=lim[t→0](e^t-1)/(t/log a)=lim[t→0]((e^t-1)/t)(log a)=log a
450 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 21:27:02 ID:wt2BcFkC0
>>449
>地道に変形していきます
「⇒」で示した変形のひとつひとつにいろいろな考察が必要になります
451 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 21:36:19 ID:UqGrqVqg0
>>449の問題があっているとして、そんな周りくどいことせずとも
a^x=e^(xloga)
の変形だけでおっけーでしょ
452 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 21:39:39 ID:wt2BcFkC0
>>451
そのあとどうしますか？
453 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 22:16:27 ID:UqGrqVqg0
(a^x-1)/x=loga・(e^xloga-1)/(xloga) → loga・1=loga
454 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 22:31:06 ID:wt2BcFkC0
>>453
(e^x-1)/x→1はどうしますか？
455 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 22:59:54 ID:UqGrqVqg0
教科書に公式として載っているのでおっけ
456 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 23:15:43 ID:C0RwbENQ0
lim((exp(x)-1)/x)=lim((exp(x)-exp(0))/(x-0))=d(exp(x))/dx|_x=0=exp(0)=1
(x to 0) (exp(x)=e^x)
457 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 23:19:04 ID:wt2BcFkC0
それならもっと楽に(a^x)'=a^x(log a)も公式ですから(a^x-1)/x→a^0(log a)=log aということです
458 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 23:22:24 ID:wt2BcFkC0
>>456
e^xがx=0で微分可能である理由がlim(e^x-1)/x=1です
459 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 23:29:10 ID:5n3JTfeR0
a^x-1=t とおけ。
460 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/26(火) 23:35:54 ID:C0RwbENQ0
あんたも無限降下法の人か……。よくこのスレにいるみたいだな。
461 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/26(火) 23:47:29 ID:UqGrqVqg0
>(a^x)'=a^x(log a)
これは載ってない教科書もあるんでね、一応使わなかったのさ。
462 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 00:13:04 ID:wveyOdwc0
a^x=e^(xlog a)で合成関数の微分を使えば(a^x-1)/x→e^(0log a)(log a)=log aとなります
463 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 00:25:22 ID:pOsM3Emq0
質問です
4Q1＝9Q2＝Q3の時
Q１：Q1：Q3は
Q1：Q2：Q3＝9：4：36
この意味が解らない
致命的ですね。誰か教えていただけませんか？
私の頭では4：9：1とイメージしてるんですが
464 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 00:29:35 ID:OUHsl3zN0
Q1が2つ並んでるのはタイプミスだろうな。
Q_2=(4/9)*Q1, Q3=4*Q_1なので、これを比に代入すればいいじゃん
465 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 00:29:38 ID:+zmQUGpv0
4Q1＝9Q2＝Q3=kとおけば
Q１：Q1：Q3=k/4:k/9:k
466 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 00:31:50 ID:wveyOdwc0
>>463
4と9と1とに掛けて等しいのですから反比例して
それらの値は1/4:1/9:1/1=9:4:36となります
飲み込みにくい場合は式の値をkと置いて
数値をkで表してみるとどうでしょうか
467 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 00:35:46 ID:OUHsl3zN0
>>466
最初の2行、詳述して頂けませんか
468 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 00:37:43 ID:pOsM3Emq0
>>464
>>465
タイプミスでした
どうもありがとうございました
理解できました
469 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 00:39:48 ID:pOsM3Emq0
>>466
よく解りました
有難うございます助かりました
470 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 01:28:02 ID:TRh5j7Q1O
質問です。
「Ｘ^1/Xの増減を調べるために､logＸが増加関数であることから､Ｘ^1/XとlogＸ^1/Xの増減が一致すること用いる」という記述があったのですが､なぜ増減が一致すると言い切れるのかわかりやすく教えて下さい。
なんとなくlogＸが単調増加だからlogＸ^1/Xの増減が変化(減少)すればそれは合成前のＸ^1/Xによるものだと判定しているのだとは思うのですが。
471 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 01:29:49 ID:wveyOdwc0
>>470
その考えで正しいです
472 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 01:33:36 ID:OUHsl3zN0
分かりにくい質問文なのに図々しい奴だな、ははは。x^(1/x)についてx>0ならそう。
感覚的にはそんなもんでしょうね。lnx=log[e](x)として
y=ln(f(x)を微分すれば) dy/dx=f´(x)/f(x)なんだから、
増減が一致するのは分かるでしょう。もちろんf(x)>0という条件付きで。
473 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 01:33:57 ID:wveyOdwc0
f(x)が単調増加とはa<b⇔f(a)<f(b)となることですから
a<bにおいて
g(a)<g(b)⇔f(g(a))<f(g(b))
g(a)>g(b)⇔f(g(a))>f(g(b))
となります
474 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 03:20:49 ID:TRh5j7Q1O
>>471-473助かりました。ありがとうございます。
質問文わかりにくくてすいません。気をつけるようにします。
475 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 03:24:54 ID:OUHsl3zN0
x^1/xを見てん？と思っただけで、括弧を使うと分かりやすくなるよってね。
476 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 12:01:09 ID:+j26c2ra0
関数をxで積分しなさい。
(1) Y(e^x-e^-x)
(2) xcosx
助けてくさいよろしくお願いします。
477 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 12:59:06 ID:LXVivZi80
>>476
助けてくさい…何がくさいんだ？
(1) Y=(e^x-e^(-x)) ってことかな？
積分するとe^x+e^(-x)+C
(2)部分積分使って。答えはxsinx+cosx+C
478 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 13:08:17 ID:+j26c2ra0
>>477
ありがとうございました。
479 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 16:26:45 ID:TRh5j7Q1O
質問です。
「ｎ∈Ｎのときひｎ^(1/ｎ)〉１は明らか」
という記述が理解できません。両辺をｎ乗してみてもｎ〉１となります。どうしてｎ=１は含まれないのでしょうか？
480 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 17:47:58 ID:wveyOdwc0
>>479
n>1の間違いか不等号が≧かでしょう
いずれにせよ論証にはたいした影響がないんじゃないですか？
481 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 18:42:47 ID:YBgJcxA10
2次方程式x^2-2ax-aが－1≦x≦3の範囲に少なくとも1つの実数解
を持つような実数aの範囲を求めよ
一応考えたのはf(x)とおきf(-1)・f(-3)≦0
軸は考える必要はないきがするのですがどうでしょう。
あと「頂点が負」かつ「f(-1)≧0またはf(3)≧0」
場合分けはこの二つでいいのでしょうか
482 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 19:00:09 ID:v1aSOHVPO
x+y=2-a xy=2a-1
この時のx^3+4x^2y-4xy^2-y^3の値の求め方をお願いします
対象式の問題なんですが解けません
483 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 19:21:53 ID:gR0OxYCQ0
>>482
対象式を因数分解してみると
x^3+4x^2y-4xy^2-y^3 = 4xy(x-y)+(x-y)(x^2+xy+y^2) = (x-y)(x^2+5xy+y^2)
こうなるから、必要なのはx-yの値とx^2+y^2の値だけ
(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = (x+y)^2-4xy ←これからx-yもx^2+y^2も求まる
484 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 19:30:01 ID:v1aSOHVPO
>>483
それでやってたんですけど
(x-y)^2=a^2-12a+16 で解けないんですよね。。
485 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 19:30:35 ID:OUHsl3zN0
あんたまでつられて対象式なんて打ってるんじゃないよ・・・
対称式ですよ
486 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 19:34:00 ID:v1aSOHVPO
訂正 +8です
487 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 19:36:17 ID:7JvPAUq40
次の6条件をみたすx，y，zのうち，zを最小にするx，y，zの値を求めよ。
a＞2， 1/x ＋ 1/y＝1， x＞1， 1＜z＜2， xz≧a， yz≧2
488 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 19:50:50 ID:gR0OxYCQ0
>>485
打つのが面倒だからほとんどコピペなんじゃー悪いか！ｗ
>>484
うーん、解答ではキレイな値になってたのか？
489 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 19:58:22 ID:v1aSOHVPO
解答はないからわかんないんですよね。。すみません
490 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/27(水) 20:12:53 ID:gR0OxYCQ0
>>489
いやいや、謝る必要はないよ
でもこれ以外の因数分解やるってのは不自然で数学的ではないような気がする
今回の場合はルートが出ちゃうのも仕方ないように見えるしなぁ
まぁもっと賢い人が現れるまでもうちょっと待った方が良いかもな
何か参考にならなくて悪いね
491 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/27(水) 20:33:40 ID:OUHsl3zN0
>>481
前者についてはいいでしょうが、後者の質問の意味が分かりません
>>482
問題なのはx-yの値だけでしょうけど、
これは±sqrt(a^2-12a+8)(sqrtは平方根の意味)で十分かと
間違っていたら申し訳ない
492 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/28(木) 10:02:01 ID:feWORo6o0
(1/4)x^4+x^3+x^2の導関数をもとめよ。
{(1/4)x^4+x^3+x^2}'=x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2)
ってするけど、これって方程式？
493 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/28(木) 10:12:31 ID:QuQN+mXZ0
>>492
方程式って何か知ってるか？
494 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/28(木) 10:40:04 ID:McMrU6J/0
０は正の実数に含まれますか？
495 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/28(木) 10:43:03 ID:+IhsMG3k0
>>481
>一応考えたのはf(x)とおきf(-1)・f(-3)≦0
>軸は考える必要はないきがするのですがどうでしょう。
>
>あと「頂点が負」かつ「f(-1)≧0またはf(3)≧0」
>場合分けはこの二つでいいのでしょうか
後者はこの範囲に軸があることも条件です
また頂点がｘ軸上にある場合も含めるべきです
この手の問題は境界（等号成立の状況）で微妙なことが起こりやすいのでそこを注意して
たとえば等号成立の場合とそうでない場合に分けて場合をすべて尽くすかどうか考察するなどするとよいでしょう
496 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/28(木) 10:46:48 ID:+IhsMG3k0
>>484
>(x-y)^2=a^2-12a+16 で解けないんですよね。。
これからx-y=±√(a^2-12a+8)なんじゃないですか？
497 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/28(木) 10:48:59 ID:feWORo6o0
>>493
方程式じゃないないとは思うけど、それなら他に何があるの？
498 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/28(木) 10:50:05 ID:QuQN+mXZ0
>>497
質問に答えてくれ
方程式って何か知ってるか？
499 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/02/28(木) 11:09:19 ID:+IhsMG3k0
>>487
z>0ですからx≧a/z, y≧2/z, 1/x≦z/a, 1/y≦z/2
1=1/x+1/y≦z/a+z/2=((a+2)/(2a))z, z≧2a/(a+2)です
zの最小値は2a/(a+2)で1/x≦2/(a+2), 1-1/x=1/y≦a/(a+2), 1/x≧2/(a+2)でx=(a+2)/2このときy=(a+2)/aです
500 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/02/28(木) 11:10:23 ID:vzE6U3+K0
>>498
しつけえよ、ピザ
最終更新：2009年02月15日 03:43
