過去ログ（大学受験板） > part77その2

502 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/15(火) 19:17:51 ID:TSjD6ww5O
>>499
>>501
詳しくありがとうございましたm(_ _)m
図形的なアプローチは思いつきませんでした

503 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/15(火) 19:48:49 ID:d5ESwJ6UO
nを正の整数とする。曲線y=log2x，直線x=2^n，およびx軸で囲まれた領域において整数x,yを座標とする点(x,y)はその境界線上に[ｱ]個内部に[ｲ]個ある。

504 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/15(火) 19:51:01 ID:d5ESwJ6UO
nを正の整数とする。曲線y=log2x，直線x=2^n，およびx軸で囲まれた領域において整数x,yを座標とする点(x,y)はその境界線上に[ｱ]個内部に[ｲ]個ある。
お願いします

505 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/15(火) 21:42:31 ID:9c808VXn0
数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1/2】,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/2
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

506 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/15(火) 21:55:35 ID:wkdRu3sf0
a【n+1/2】って斬新だな

507 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/15(火) 21:59:28 ID:9c808VXn0
数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1】/2,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/2
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

間違えてました

508 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 01:22:28 ID:RjShhldfO
>>507
お願いします

509 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 01:43:03 ID:s6B4yPUZ0
>>503 x=2^yでyが整数ならxも整数。まずはy軸に垂直な直線で固定。
>>507 単純だ。(1)では{b_n}の初項と項差を設定。(2){a_n}を{b_n}, {c_n}で表して同様に

510 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 08:54:23 ID:yH5xZw/w0
おはようございます。

＜問題＞
次の不等式の表す領域を図示せよ。
（ｘ＾２－ｙ＾２）（２ｘ＋ｙ－１）＜０
＜解答＞
境界線ｘ＋ｙ＝０，ｘ－ｙ＝０，２ｘ＋ｙ－１＝０をかく。

これと，

｜ｘ｜－１＜ｙ＜－｜ｘ｜＋１
⇔｜ｘ－１｜＋１＜ｙ＜－｜ｘ－１｜＋３

となる理由が分かりません。どうか教えてください。

511 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 09:02:47 ID:D8NyTR0e0
>>499
>図形的に、というのは、(cosx,sinx) と (cosz,sinz) の中点の座標が

見事ですね

512 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 09:13:25 ID:We65Vifc0
>>510
まず確認したいのだが、あなたの問いは別々の2問?
それとも（多分違うと思うが）上の問題の解答の中に出てきた下の説明が分からないの?


513 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 09:15:42 ID:D8NyTR0e0
>>503
log2xはlog(2x)でなくて底が2ということですね？
直線y=k上の格子点の数を数えて
外周上には(2^k,k)がn+1個(2^n,k)がn+1個(k,0)が2^n個あります（3点が2重に数えられています）
内部にはΣ[k=1,n-1](2^n-1-2^k)=(n-1)(2^n-1)-(2^n-2)個でしょうか

514 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 09:22:59 ID:D8NyTR0e0
>>507
>b【n】=a【n】＋a【n+1】/2,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/2

正しい式ですか？
a[n]が1, 2, 2, 4, 2, 8, -2, 20…の時
b[n]は2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…となりますが

515 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 09:30:54 ID:D8NyTR0e0
>>510
>となる理由が分かりません

そうはなりません
(0,0), (1,2)は
｜ｘ｜－１＜ｙ＜－｜ｘ｜＋１
｜ｘ－１｜＋１＜ｙ＜－｜ｘ－１｜＋３
の一方のみに含まれる点です

516 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 09:44:20 ID:yH5xZw/w0
>>512
別々の２問です。

>>515
なぜ（０，０），（１，２）が出てくるのですか？

分かりにくい質問をしてしまって申し訳ありません。



517 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 09:44:42 ID:We65Vifc0
>>503 >>515にかぶるけど。
　下はなんか転記ミスがありそうだなぁ。条件も省略されている
ような気がする。テンプレに「問題は省略せずに全部書いて」と
あるんだけれど。

上の式が成り立つx,yが存在するためには、|x|=α（α≧0）として、
α-1＜-α+1 が成立することが必要。これよりα<1で、
このときα-1<0、-α+1>0になるから、
上の式はα-1<y<-α+1 と同値になる。

このとき、下の式を評価すると、xが負でなければ0≦ｘ=α<1になって、
|x-1|+1=|α-1|+1=1-α+1=2-α
-|x-1|+3=-(1-α）+3=2+α となり、2-α<y<2+α は上と同じにならない。

ｘが負であれば -1<x=-α<0になって、
|x-1|+1=|-α-1|+1=1+α+1=2+α
-|x-1|+3=-(α+1）+3=2-α となり、2+α<y<2-αで、これを満たすｙは存在しない。


518 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 09:47:33 ID:We65Vifc0
>>516
「同値になることを説明せよ」だから、問題が正しいならば、

勝手にとったｘ、ｙの組が一方の式を成り立たせたら、
必ずもう一方の式も成り立たなければならない。

逆に、一方だけの式を成り立たせる式が見つかったら、
元の問題は正しくない（いわゆる反例。対偶の考え方）。

その反例が1つ見つかっちゃったよ、という指摘なので、
「どう見つけたか」は関係ない。問題が変なことは>>517でも
詳細に述べたとおり。


519 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 09:59:46 ID:We65Vifc0
で、>>503の上の問題。
要は3つの式の積が負になればいい。3ついっぺんに考えるのは大変なので、
(x+y)(x-y) の正負と、 2x+y-1 の正負を組み合わせて考えることにする。

2ｘ+ｙ-1<0 となるのは、境界の直線 2x+y-1=0 に対して左下の領域
（この直線が境界になることと、(0,0) が 2*0+0-1<0 になることから。
　万一これが直ぐに分からないようなら、領域の基本に帰って復習）
右上は2x+y-1が正になる領域。 これを図1とする。

つぎ、(x+y)(x-y) の正負。これは境界がx+y=0、x-y=0の2本の
直線で、（1,0)でテストすれば積が正。したがって、ｘ軸を含む
左右の領域ではこの積が正、y軸を含む上下の領域では負
（原点は除く。）これを図2とする。

で、頭の中で透明シートかトレーシングペーパーに図1と図2を写し、
重ねる。両方の図で正・負、または負・正の組み合わせのところが、
全体の積が負になるところ。具体的な配置としては、原点右に小さな
三角形ができ、これを6つの領域が取り囲む構図になるが、
周りの領域のうち、ｘ軸の負の部分を含むところから始めて
1つおきの3つ、およびこの小三角形が、全体の積が負になる領域。

520 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 10:39:17 ID:yH5xZw/w0
>>515
反例を示していたのですね。分かりました。

>>517
｜ｘ｜＋｜ｙ｜＜１⇔｜ｙ｜＜１－｜ｘ｜
⇔｜ｘ｜－１＜ｙ＜－｜ｘ｜＋１
⇔｜ｘ－１｜＋１＜ｙ＜－｜ｘ－１｜＋３
と解答には書いてありました。関係ないと思っていたので
省略してしまいました。申し訳ありませんでした。

521 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 10:55:10 ID:yH5xZw/w0
>>520
>⇔｜ｘ－１｜＋１＜ｙ＜－｜ｘ－１｜＋３
は領域｜ｘ｜＋｜ｙ｜＜１をｘ軸方向に１，ｙ軸方向に２だけ
平行移動した領域と書いてありました。

本当に申し訳ありませんでした。

522 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 11:30:14 ID:yH5xZw/w0
>｜ｘ｜－１＜ｙ＜－｜ｘ｜＋１
>⇔｜ｘ－１｜＋１＜ｙ＜－｜ｘ－１｜＋３
>
>となる理由が分かりません。
については理解できました。

>＜問題＞
>次の不等式の表す領域を図示せよ。
>（ｘ＾２－ｙ＾２）（２ｘ＋ｙ－１）＜０
>＜解答＞
>境界線ｘ＋ｙ＝０，ｘ－ｙ＝０，２ｘ＋ｙ－１＝０をかく。
については，ｘ＾２＝ｙ＾２からｘ＝±ｙを導けるかどうかが
分かりません。

自分勝手な書き込みを続けて本当に申し訳ありませんが，
どうか教えてください。

523 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 11:47:45 ID:We65Vifc0
>>522 一回x^2=y＾2を介する必要はないと思うけれど。
また、解答の中で不用意にx＾2=y^2と書くと不味いと思う。
（境界が表す式がこれになる、というのならいいけれど）

まず、
「(y-(ax-b))(y-(cx-d))<0 が成立しているとき、これを満たす領域は、
2直線y=ax-b (⇔y-(ax-b)=0) 、y=cx-d (⇔y-(cx-d)=0)を境界として
座標平面を4分割したときに、、交点を頂点として向かい合う
2組の領域のうちの1組になる」（ただし、2直線は平行でないものとする）

ということは了解していますか?
(なぜこうなるか、は>>519の、トレペに描いて重ねるたとえが
　そのまま使える）

これが分かっていれば、
ｘ＾2-ｙ＾2 < 0 ⇔(x-y)(x+y)<0
だから、x-y=0、x+y=0が表す直線が境界、ということが見えるはず。
ここから直線の式を変形して、それぞれy=x、y=-xになる。


524 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 13:13:10 ID:yH5xZw/w0
>>523
>ｘ＾2-ｙ＾2 < 0 ⇔(x-y)(x+y)<0
これで全てを了解しました。ｘ＾２－ｙ＾２＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
が鍵だったのですね。ありがとうございました。

525 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 13:53:41 ID:5Lt+efD6O
センターで数1だけ使う者です。
マセマのはじはじと白チャート平行してやってるんですが
前者には相加相乗平均～が出てきたのに後者には出てこない＼(^o^)／
網羅型参考書のチャートに載ってないってことはもしや数1の範囲から消えたんですかね？

526 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 15:27:40 ID:f7BtEyYW0
>>525
消えろ

527 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 16:01:38 ID:yH5xZw/w0
>>519
私の質問への解答だったのですね。ありがとうございました。

528 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 16:08:20 ID:9jTkQcQ1O
>>491分かりました。ありがとうございました

529 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 17:00:28 ID:ytU5PSPe0
cosθ/(1-sｉｎθ)+1-sinθ/ｃｏｓθを簡単にせよ。

回答：2/cosθ


cosθ/(1-sｉｎθ)を(1+sinθ)/cosθにすることはできたのですが、
1-sinθ/ｃｏｓθがわかりません。お願いします。

530 名前：栗兎栗鼠[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:12:51 ID:3tIYgbIb0
>>529
cosθ/(1-sinθ)+(1-sinθ)/cosθ
=(1+sinθ)/cosθ+(1-sinθ)/cosθ
=(1+sinθ+1-sinθ)/cosθ
=2/cosθ

531 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 17:20:39 ID:ytU5PSPe0
1-sinθ/ｃｏｓθはノータッチでよかったのですか！
ありがとうございました！

532 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:24:05 ID:HpK7UkoSP
相加相乗平均、青チャートには載ってるよ。確か黄にも載ってるはず。
もちろん教科書にも載ってるから課程からは削除されてないけど、
センターで出るかどうかという話になるとかなり微妙じゃね？

533 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:29:51 ID:etYSp1l3O
0≦θ≦πとする。
sinθ+cosθ=1/5のとき、sinθcosθの値を求めよ。

という問題を解く時に、

(sinθ+cosθ)^2=sinθ^2+2sinθcosθ+cosθ^2
これにsinθ+cosθ=1/5、sinθ^2+cosθ^2=1を代入して、
(1/5)^2=2sinθcosθ+1
⇔sinθcosθ=-12/25
という流れで解くのと、

sinθ+cosθ=1/5
両辺を平方して、
(sinθ+cosθ)^2=(1/5)^2
⇔sinθ^2+2sinθcosθ+cosθ^2=1/25
sinθ^2+cosθ^2=1であるから、
2sinθcosθ+1=1/25
⇔sinθcosθ=-12/25
という流れで解くので、
どちらが好ましいとかありますか？
ちなみに、上が私が解いた方法で、
下が解説に載っていた方法です。

534 名前：533[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:35:08 ID:etYSp1l3O
すいません、
sinθ^2、cosθ^2はそれぞれsin^2 θ、cos^2 θとかに脳内置換してお読み下さい。

535 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:37:06 ID:+v6GYQIz0
>>533
どっちでも変わりあるまい

536 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:46:56 ID:We65Vifc0
>>533 どっちが「好ましい」というのはないと思うけど、下のほうが、
より着想として一般性が高い流れであるようには思える。

上の場合、出発点にした (sinθ+cosθ)^2=…　というのは、ごく一般的な
変形に過ぎず、「思いつけたからこそ、そこから出発できた」形に
なっている。もちろん、この問題ではその発想は比較的簡単に出てくる
ものだし、そうした流れを思いつけたのなら、全然問題ない。減点
されやすい、とかいったことを懸念してるなら、それは心配無用。

これに対して、下のほうは、「まず与えられた、より限定性の高い式を
出発点にして、その結果に普遍的な関係を適用する」という流れ。で、
こっちの方が状況の特殊性が生きやすいと思う。より複雑な問題に
なった場合、与えられた式をこねくり回して着想を得る、という流れの
方が有利になることが多いように思えるのよ。

>>527 ついでで恐縮だが、アンカーをミスりまくってた。申し訳ない。

537 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 17:48:07 ID:5Lt+efD6O
>>532
ＡＲＩＧＡＴＯＳＡＮ！

538 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:48:21 ID:3QDjyi3rO
いやさ煽るわけじゃないんだ。たださ>>533みたいな質問を本気で聞いている>>533はこの先数学をやっていけるのだろうか？

539 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 17:49:36 ID:RjShhldfO
>>514
数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1】/2,c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】/3
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

すみません…直しましたのでよろしくお願いします

540 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 17:51:01 ID:etYSp1l3O
>>535-536
ありがとうございます。
数学の方法論上、何か違いがあるのかな？と思い質問してみました。
確かに、下の流れで考える癖をつけておいた方が応用性が高いかもしれませんね。
心掛けてみます。

541 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 18:03:07 ID:We65Vifc0
>>539 あなたの書いた式のb[n]は、
a[n] + a[n+1]×(1/2) と等しいものに読めるんだが。
>>514の指摘もこれと同じ読み方をしている。
「正しい式ですか？」というのはそういうことで、
違うのなら、()を十分に使って正しい数式を書け、ということだよ。

>>1に貼られている、式や記号の書き方のお手本
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
は見ましたか?


542 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 18:16:59 ID:yH5xZw/w0
＜問題＞
（Ａ）｜ｘ＾２－１｜＋｜ｙ－１｜≦１のとき，次の最大値，最小値を
求めよ。
（１）ｙ－ｘの最小値・最大値
（２）ｘ＾２＋ｙ＾２の最小値
＜解答＞
｜ｘ＾２－１｜＋｜ｙ－１｜≦１の表す領域を図示。
ｙ軸に対して対称であるから，（後略）

なぜ｜ｘ＾２－１｜＋｜ｙ－１｜≦１がｙ軸に対して対称であるのか
分かりません。教えて下さい。

543 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 18:17:42 ID:aSwPP2ntO
あ

544 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 18:19:46 ID:aSwPP2ntO
ａlogaＸ=Ｘの導き方を教えてくださいm(__)m

545 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 18:22:44 ID:We65Vifc0
>>542 質問のしどころが違うような。直ぐ上で書かれた「領域を図示」ができて
いれば、y軸対称であることはすぐに見て取れるはず。また、図示してy軸
対称にならないなら、領域が正しく描けてない。この図示はできてるんでしょうか。

y≧1とy<1に場合分けして、yのほうだけ絶対値を外すのが手筋かと。



546 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 18:39:23 ID:aSwPP2ntO
わかる人いませんか？

547 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 18:41:16 ID:+v6GYQIz0
>>546
数式ちゃんとかいてくれ

548 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 18:46:09 ID:3+HehO+P0
次の不等式の「成り立たない」凡例をあげなさい
(1)x+y≧0
(2)x^2+y^2≧0
(3)x^3+y^3≧0
(4)x^4+y^4≧0

(1)はx=1,y=-5
(2)はx=1,y=5i
(3)はx=1,y=-5
と解けたのですが、(4)がわかりません。

x^4+y^4=x^2^2+y^2^2なので

実数ではないと思うのですが
虚数でも２乗すると負になり、さらに２乗すると正になるので
　　違うのかなと考えています

ヒントお願いします。

549 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 18:46:53 ID:+v6GYQIz0
>>548
1+iを4乗してみな

550 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 19:03:19 ID:yH5xZw/w0
>>545
やってみます。ありがとうございました。

551 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 19:06:20 ID:3+HehO+P0
>>549
ありがとうございます。
負になりました！

552 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 19:25:06 ID:BIA6SxtG0
次の極限値を求めよ。
lim(n→∞){(n+1)^2+(n+2)^2+・・・・・・+(2n)^2}/1^2+2^2+・・・・・・+n^2

解答を見ると、いきなり、分子={1^2+2^2+・・・・・・+(2n)^2-(1^2+2^2+・・・・・・+n^2)}
と変形されているのですが、何故このように変形出来るのでしょうか？

553 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 19:32:00 ID:We65Vifc0
>>552　単純な引き算だよ。

1^2+2^2+・・・・・・+(2n)^2 は、
1^2+2^2+・・・+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+・・・+(2n)^2 でしょ?
それから前半を引いて、(n+1)^2から(2n)^2までの和が残った。


554 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 19:33:16 ID:pMaIxQTvO
すみません、高校生じゃないのですがどなたか数学強い方に解いていただきたいです。


20L入るバケツがある。ここに0.03%濃度の塩化ベンザルコニウム液をつくりたい。
しかし市販されている塩化ベンザルコニウムはすでに10%にうすめられている。
そうすると20Lの水に対してどのくらいの塩化ベンザルコニウム(市販のもの)を入れたら0.03%濃度になるのか。


塩化ベンザルコニウムとかマニアックですみません。よろしくお願いしますm(__)m

555 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 19:40:58 ID:yH5xZw/w0
>>550
やってみましたが……。駄目でした。＜解答＞では，

まずｘ≧０で考える。
０≦ｘ≦１のとき　１－ｘ＾２＋｜ｙ－１｜≦１から
｜ｙ－１｜≦ｘ＾２
ーｘ＾２≦ｙ－１≦ｘ＾２から　－ｘ＾２＋１≦ｙ≦ｘ＾２＋１
１＜ｘのとき　ｘ＾２－１＋｜ｙ－１｜≦１から
同様にして　ｘ＾２－１≦ｙ≦－ｘ＾２＋３
ｘ＜０の部分を合わせて，求める領域は図の斜線部分である。

と続くのですが……。

556 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/16(水) 19:41:00 ID:aVBIPZFe0
>>554
市販および希釈後の塩化ベンザルコニウム液の密度が分からない無理


557 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 19:44:11 ID:BIA6SxtG0
>>553
わかりました！！ありがとうございます。
すっきりしました。

558 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 19:54:23 ID:We65Vifc0
解答ではy軸対称であることを前提としてるのね。ただ、ｙ側に
絶対値が付いたグラフって考えにくいように思います。

自分がとった方針通り、yの値によって場合分けすると
（詳細な式変形は省略）
y≧1で y≦-|x^2-1|+2　、　y<1で y≧|x^2-1|

境界線の概形を考えると、y<1のほうが単純で、これは
y=x^2-1 のｘ軸から下の部分をx軸上に折り返したｗ型
（ｘ軸から下にははみ出さない）

ｙ≧1のほうは、y=-|x^2-1|をまず考える。これは上記の
グラフをそのまま上下反転した逆ｗ型。これに+2するから、
結果として(0,1)で折り返された放物線の頂点が頭を
付き合わせる形になる。

具体的にどこが入るか、だけれど、条件が変わる
直線y=1を引いて、
・y=1から上（y≧1)、かつ逆ｗ型のほうより下
・y=1から下(y<1)、かつw型より上

と考えると、バットマンのマークを単純化したような、
アニメ版デビルマンの翼のような、蝶ネクタイのような形の
領域ができる。

559 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 20:02:36 ID:We65Vifc0
>>554 質量パーセントでなく、体積パーセントで考えていいとしても、
値が厳密でなければならないなら解けない。一般に水溶液と
水の間では体積の加法が成立しないから（食塩水200mlに
水200mlを混ぜても400mlの薄い食塩水にはならない。水溶液
ではないが、アルコールと水を混ぜると混合前より体積が減る。）

まあ、逆性石鹸を薄めるだけだから、そんなに厳密な値は必要じゃ
ないとは思うけど、体積が足せるとして無理に解くとしても、
・最初に水が20リットルあって、そこに10%溶液を入れる
・溶液に水を足して合計20リットルにする
のどっちかが曖昧。



560 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 20:16:30 ID:yH5xZw/w0
>>558
＜解答＞にある通りの領域を導けました。
ありがとうございました！

561 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/16(水) 20:30:58 ID:pMaIxQTvO
>>556>>559

すみません、ありがとうございました。

562 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/17(木) 00:06:11 ID:lhK9LwI10
数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=a【n】＋a【n+1】×(1/2),c【n】=a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】×(1/3)
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

きちんと直したのでよろしくお願いします

563 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 02:06:46 ID:t5F/mLn00
直った・・・か？

564 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 04:55:53 ID:/cxzERsG0
>>562
小学校で、掛け算は足し算よりも優先して計算するから、
4+2*3 =10になる、ということを習ってませんか？


565 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/17(木) 13:19:29 ID:zp2fLiANO
数列a1,a2・・・a【n】・・・に対して
b【n】=｛a【n】＋a【n+1】｝×(1/2),c【n】=｛a【n】＋a【n+1】＋a【n+2】｝×(1/3)
とおく。
(1){bn}が等差数列ならば数列a1,a3,・・・a【2n-1】,・・・は等差数列であるこ
とを示せ
(2){bn},{cn}ともに等差数列なら{an}も等差数列であることを示せ

これでどうでしょうか

566 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 13:41:17 ID:/cxzERsG0
>>565 おけ。
(1) b[n+1]-b[n]={(a[n+2]+a[n+1])-(a[n+1]+a[n]))/2
=(a[n+2]-a[n])/2
左辺はb[n]が等差数列という条件により定数であるからd/2と置ける。
このとき、a[n+2]-a[n]=2d となり、a[n]の項を1項飛ばしで取って
差を取ると定数になることがいえるから、a[1],a[3],,,,a[2n-1]は等差数列である。

(2) c[n+1]-c[n] = （省略） = (a[n+3]-a[n])/3 =定数 だから、
{a[n}]の項を2項飛ばしで取って差を取るとやはり等差数列ができる。

こちらの公差をeとすると、(1)で定義したdとあわせて、
任意の自然数n≧1に対して、
a[n+2]-a[n]=d 、a[n+3]-a[n]=e である。

このとき、a[n+4]-a[n]=a[(n+2)+2]-a[n+2]+a[n+2]-a[n]=2dであるから、

a[n+1]-a[n]=(a[n+4]-a[n])-(a[n+4]-a[n+1])=2d-e
隣接2項の差がつねに定数になるから、a[n]は等差数列である。



567 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/17(木) 13:42:36 ID:/cxzERsG0
>このとき、a[n+2]-a[n]=2d となり
dとなり、に訂正。

568 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/17(木) 17:33:17 ID:zp2fLiANO
>>567
ありがとうございます

569 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/17(木) 17:50:46 ID:zp2fLiANO
pを素数とする。n=1,2,3,･･･に対しp^nを分母にする既約分数で、0より大きく1より小さいものの総和S[n]をとする。
(1)S［1］,S［2］,S［3］を求めよ
(2)S［n］を求めよ

この問題もよくわからないので…よろしくお願いします

570 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 17:54:39 ID:MlM76OOJ0
(1)くらい分かるだろ？



571 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 18:00:25 ID:/cxzERsG0
>>569
（1）はやってみようよ。
S[1]を言葉にしてみると「分母が素数p(p^1）の既約分数で、
0より大きく（つまり分子は１以上）
1より小さい（つまりp未満）のものの総和」だよね。
pは素数だから、1～p-1の間にpと約分できるものはない。
分母が固定だから、S[1]は（分子の総和）/pでいい。

S[2]だと、分母がp^2、分子は1～p^2-1 の間の数になるけれど、
今度は分子がp,2p,,,,(p-1)p だと約分できるから、これらは
総和から抜かなければならない。これを式でどう表すかが
第一関門。

これからさらにS[3]が作れれば、あとは処理を一般化すればいい。



572 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 22:47:31 ID:xcZQ966U0
（底面の）半径がaで十分長い円柱２つがある
２つの円柱を直交させた時にできる
体積を（積分を用いて）求めよ。

教えてくださいませ。

573 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 22:51:26 ID:MlM76OOJ0
断面を考えなさい

574 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 22:54:07 ID:MlM76OOJ0
ヒント
円柱の中心をx軸とy軸とする。
z軸に垂直な面(z=k)で切断したとき、共通部分の形はどうなるかね？

575 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 23:01:53 ID:B6XTfks80
>十分長い円柱２つがある
>２つの円柱を直交させた時にできる
>体積を（積分を用いて）求めよ。


揚げ足を取るようで悪いが、この問題をそのまま読むと
円柱の長さが分からないと体積は出ない。

576 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 23:18:26 ID:MlM76OOJ0
まぁたしかにな

577 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/17(木) 23:57:39 ID:xcZQ966U0
形が想像できませんorz

578 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 00:00:47 ID:bETgWDho0
円柱を縦に切ると切り口はどうなる？　　　　（答：長方形）
それを直交するように２つ重ねると？

579 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 00:02:04 ID:xFFeQKZt0
全体の立体の形を想像するんじゃない
断面を考えろ

z=0で切った断面なら分かるだろ？

580 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 00:02:45 ID:B6XTfks80
補足：大切なことを書き忘れた！

円柱を縦に切ると切り口はどうなる？　　　（答：【どこで切っても】長方形）

581 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 00:06:54 ID:Wmfy4NPU0
正方形？

582 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 00:10:06 ID:ta3RDRX2O
y=(x^2)/2 と y=(n^2)/2 で囲まれる(境界線も含む)領域に含まれる格子点の数を求めよ

長方形から長方形の下の部分を引こうとしたんですが、奇数偶数とかで意味がわからなくなりました。よろしくお願いします。
出来れば答えまでの導き方も教えてください…

583 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 00:12:25 ID:WoQYOVOR0
３つ直交させたときの共通部分の体積は16-8√2でしょうか

584 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 00:36:11 ID:WoQYOVOR0
>>582
T[0]=T[1]=1
T[2m]=T[2m-1]+2m(4m-1)+2
T[2m+1]=T[2m]+2m(4m+1)
より
T[2m]=T[2m-2]+16m^2-16m+8=T[0]+Σ[k=1,m](16k^2-16k+8)
T[2m+1]=T[2m-1]+16m^2+2=T[1]+Σ[k=1,m](16k^2+2)
こんな感じでしょうか
吟味不十分ですので計算は確認して下さい

585 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 09:11:07 ID:RZyxEAfh0
>２つの円柱を直交させた

理想良く十字路になればな

問題の解釈を広げれば、Ｔ字路だって直交ともいえるし
どの部分まで、めり込む（？）のかも不明だ
（円柱の長さが分からない）

また、空間だと、"ねじれ"の状態もあり得る
それもまた、どの部分まで、めり込む（？）のか・・・
まためり込む箇所がないときだと体積０だね・・・

586 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 10:00:52 ID:QqDWrMn90
>>583
数研通信の５１号に解説がある。「数研通信」で検索しろ（ｐｄｆファイル）。

587 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 15:27:17 ID:1e8HJPBzO
正弦定理の変形の、
a:b:c=sinA:sin:sin
は、例えば角Aが90ﾟに近いほどsinAの値が大きくなるので、a+b+cに占めるaの割合が大きくなるってこともいえますか？
角Aが150ﾟのような90ﾟより大きい角になっていってもaの割合は大きくなっていくように思えるんですが
どうなんでしょうか？

あとa+b+c=180ﾟって関係でうまくどうにかなるのかもと思うんですがそこまで思考が届かないというか・・・
それとこんなことも考えられないのに難関大まで届くような学力がつきますか？
それともそんなことなんて考えずに公式にあてはめて計算した方がよいのでしょうか？

質問多い上に日本語でおけですみません。

588 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 15:59:48 ID:0SP9Zhrb0
>>587
>a+b+cに占めるaの割合が大きくなるってこともいえますか？
なんで？

>a+b+c=180ﾟ
A+B+C=180°じゃないのか？

589 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 16:56:30 ID:1e8HJPBzO
A+B+C=180ﾟは大文字と小文字の変換ミスでした。

Aが90度のときsinAが１番大きくなるし、∠A,∠Bも小さくなるので相対的にb,cが小さくなるんじゃないかと

590 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 18:08:17 ID:0SP9Zhrb0
>>589
Aが90°から徐々に大きくなったときsinAの値は減少するが
sinBやsinCはsinAの減少の度合いよりも大きく減少することは
y=sinxのグラフからもわかると思うが

591 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 18:33:27 ID:xFFeQKZt0
>>585
ひねくれすぎだろｗ
十分長いって書いてあるしからT字路は普通考えないし、
ねじれの位置にあるものを普通直交とは言わない

592 名前：大学への名無しさん[4] 投稿日：2008/04/18(金) 18:35:26 ID:VC4EzfET0
>>587,589
∠B・∠Cの両方をいっぺんに変えると収拾付かないから、
とりあえず∠B=∠Cの二等辺三角形で考えてみることにする。

たとえば原点中心、半径1の円を描いて、点Aを(1,0)に固定。
BとCをその左側にy軸対称に取れば、a(辺ＢＣ)はy軸に平行になる。

このとき、∠B=∠C=θとすると、0<θ<90° で b=c=2sinθ
∠A=180°-2θでa=2sin2θ=4sinθcosθ(この変形は数II）

a+b+c=4sinθ(cosθ+1)
a/(a+b+c)=cosθ/(cosθ+1) = 1-1/(cosθ+1）
θが90°未満で増加するときに、分数部分の分母は単調減少、
分数全体が単調増加、従って式の値は単調減少。
従って、底角が小さくなるほど、つまり頂角Aが大きくなるほど
割合a/(a+b+c)は大きくなる、で正しい。

二等辺三角形という制約を外すと数IIIまで必要なので、とりあえず
これで納得しといてほしいが、いいかな?

593 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 19:32:46 ID:JzhBjSFuO
合同の三角形でつくられた正四面体ABCDの体積V(l)を求めよ。
AB=2l+1,BC=2l-1,CA=2l

594 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 19:51:18 ID:xFFeQKZt0
直方体に埋め込んで解け

595 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 20:21:54 ID:Lmiq/Zqo0
長方体に埋め込むのって普段使わないでいてテクニカルとしか思ってなかったが、
使えるようになると、これはかなり便利だな

596 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 20:47:59 ID:3k3mhuiL0
>>594
こうゆう問題が出たら直方体に埋め込むように考えてみるといいんですか？

597 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 21:51:44 ID:aKJLSJAa0
すいません質問させてください

不等式、Ｋ(X^2+X+1)>X+1 (ただし、Ｋ≠0)

この不等式を満たす実数Ｘが存在するように、実数Ｋの値の範囲を定めよ

よろしくお願いします


598 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 21:59:26 ID:aKJLSJAa0
すいません>>597です

答えが、-1/3＜Ｋ（ただしＫ≠0）
になるのがわからないのです


ちなみにＫ＞0　または　-1/3＜Ｋ＜1
ここまでわかりました

599 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 22:11:16 ID:0SP9Zhrb0
>>598
そこまで出しておきながら・・・

600 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 22:15:48 ID:h53tuZnH0
>>598
数直線書いてみ

601 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/18(金) 23:22:36 ID:aKJLSJAa0
>>597です
0<K<1
になるのですが・・・

602 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/18(金) 23:27:23 ID:0SP9Zhrb0
>>601
「または」と「かつ」を勘違いしているのではないか？

603 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 00:09:06 ID:tFUwbKrT0
>>597です

「または」と「かつ」の違いは一応わかります

だけど答えがわからないです



604 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 00:30:38 ID:yCH5d/Xf0
>>603
じゃあもうちょっと考えてみれ

605 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 00:37:04 ID:Pn+fpBd00
xyz空間においてxz平面上の0≦z≦2-x^2であらわされる図形をz軸の周りに回転して得られる不透明な立体をVとする。
Vの表面上z座標１のところに1つの点光源Pがある。

この問題で光の当たる部分ってz≧-2x+3（平面）

xy平面においてはx≧3/2でいいんですよね？

606 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 00:46:20 ID:tFUwbKrT0
>>597です
Ｋ＞0；Ｋは０より大きい
または
-1/3＜Ｋ＜1；Ｋは-1/3より大きく1より小さい

すいません、わかりません





607 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 00:49:59 ID:yCH5d/Xf0
>>606
「または」ってことは和集合を考えればよかろ

608 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 00:50:48 ID:GtjzUy5H0
>>606 背の高い彼氏が欲しいと思う女の子は多いが、高すぎるのは
嫌だ、という子もけっこういる。

Aちゃんは、身長175cm以上なら彼氏としておっけー。
Bちゃんは、身長168cm以上、188cm以下がいい、という。

Aちゃん「または」Bちゃんのどちらか一方の彼氏になれるのは
どんな身長の人?

609 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 00:51:44 ID:GtjzUy5H0
あ、「一方」は余分だったかも。どっちの彼氏にもなれる
可能性のある身長ももちろん入れてOK。


610 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 00:55:23 ID:6icFFQnn0
>>608

うぜぇな

低脳マーチはすっこんでろ！！

レベル低すぎるんだよ、おめぇは

611 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 01:13:48 ID:tFUwbKrT0
>>597です

皆さんありがとうございます

>>608さん
どちらかの彼氏なら168㎝以上です

問題に置き換えたら
Ｋは、-1/3より大きければよいということですか?


612 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 01:20:57 ID:GtjzUy5H0
>>611
そういうこと。「または」＝いずれか一方だけでも条件が満たされていればよい。

数直線書け、といわれたのも、この問題の場合
　　-1/3　　　　　　０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
－--＋－－－－＋－－－－－－－－－－－－－－＋－－－－－－…
　　　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　　　　　　　　　　■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■…

で、＊か■「どっちか」がある部分なら範囲として成り立つ、ということが
一目瞭然に視覚化できるから。


613 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 01:25:40 ID:GtjzUy5H0
元問題をしっかり読んでなかったけど、「ただしｋ≠0」は、これら
2条件より優先する最初の条件としておかれてるから、もちろん
考慮する必要がある。

あるいは、すべての条件を並べると
k≠0 かつ (-1/3<k<1 または k>0)
になり、k≠0 は、「または」を適用した -1/3<k と同時に成立して
いなければならない。だから答としては、-1/3<k(ただしｋ≠0）
ということになる。

もちろんこれを、-1/3<k<0、またはk>0 と答える形で
kを外しても構わない。


614 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 01:27:54 ID:tFUwbKrT0
>>597です
>>612さん
めっちゃわかりやすいです
ありがとうございました



615 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 01:29:07 ID:Pn+fpBd00
あの>>605を…

616 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 01:38:13 ID:GtjzUy5H0
>>615
座標空間内の、回転体の接平面で区切られた一方の領域と、
ｘｙ平面（z=0）の共通部を求めりゃ良いんだから、z=0を代入した
その答で問題なさげ。

617 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 01:51:31 ID:IzxXagnO0
>>608
氏ね
なにが168だおｙあああん？あｗせｄｒｆｔｇｙふじこｌｐ；

618 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 02:11:35 ID:Pn+fpBd00
>>616
ですよね？
じゃあ先生の板書が間違ってるみたいっす
ありがとうございました

619 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 02:31:14 ID:GtjzUy5H0
>>605
あ、「z≧-2x+3（平面）」までは正しいと読んだんだけど、
>Vの表面上z座標１のところに1つの点光源Pがある。
で、光源の位置が(1,0,1) に確定してないなら話は違うよ。

確定しない場合、点光源が存在しうるのは円x^2+y^2=1、z=1 上で、
この座標を(cosθ,sinθ,1)とすると、ｘｙ平面上で光が当たるのは
3cosθx+3sinθy≧2 になる。


620 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 02:34:49 ID:CdmKLWI8O
どなたか教えてください！！


次の式を因数分解せよ。
x(x＋1)(x＋2)(x＋3)－8


621 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 02:39:06 ID:GtjzUy5H0
>>620
x(x+3)=x^2+3x
(x+1)(x+2)=x^2+3x+2

前の二項は同じだから、文字Aに置き換えることにすると、
元の式はAでどう表せるか。


622 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 02:48:08 ID:CdmKLWI8O
>>621
わかりました！！
教えていただきありがとうごさいました！！


623 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 07:53:40 ID:Pn+fpBd00
>>619
あっすいません！
点光源P（１，０，１）とおいて計算してました
ありがとうございます

624 名前：大学への名無しさん[ sage] 投稿日：2008/04/19(土) 13:23:23 ID:YFn008Bo0
sin(x+h)－sinx＝2sin(h/2)cos(x＋h/2)

となってるのですが何故そうなるか分かりません。
どなたかお願いします

625 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 13:31:39 ID:y3dvRl0w0
sin(a+b)－sin(a-b)＝2sin(b)bcos(a)

a=(x＋h/2)、b=(h/2)のとき
sin(x+h)－sinx＝2sin(h/2)cos(x＋h/2)

626 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 13:34:45 ID:cdQcSieS0
>>624
そういうのって右辺みて計算したくならないか？

627 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 13:34:56 ID:ebwtZtQ60
例えばsin(A)+sin(B)ならのAとBを
A=((A+B)/2)+((A-B)/2)
B=((A+B)/2)-((A-B)/2)
と置いて加法定理を適用するようにすればいい
sin(A)-sin(B)でも同様

628 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 14:21:48 ID:hcBIyE1u0
数I・A白チャートP257 の発展例題31(3)で

求める配置の総数は　4x8=32(通り)
とあるんですが、何故4をかけているのかが分かりません。
どなたか、よろしくお願いします。


629 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 14:41:53 ID:hSXh/NpO0
つ　>>1

630 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 15:45:20 ID:hcBIyE1u0
失礼しました。
1から8までの8個の整数から互いに異なる6個を選んで、
平面上の正六角形の各頂点に1個ずつ配置する時、
中心に関して点対称な位置にある2個の和の和がどれも9になる配置は何通りあるか。
平面状でこの正六角形をその中心の周りに回転させたとき移りあうような配置は同じとみなす。



631 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 15:46:35 ID:hcBIyE1u0
私が考えたのは、
和が9となるのは(1，8)　(2，7)　(3，6)　(4，5)の4通り
この4通りから3通り選ぶ方法は４C1=4（通り）
このおのおのに対して、選んだ3組の円順列（3-1)！=2（通り）を考えて
（例えば、(1，8)　(2，7)　(3，6)を選び、(1，8)を固定して残りの2組を一列に並べる）
4x2=8（通り）と考えたのですが、回答は32（通り）でした。
どなたか、よろしくお願いします。


632 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 15:52:40 ID:0/WsUVEi0
数Ⅱの小テストの問題です

a>2b>0のとき、2√b＞√(a+2b)-√(a-2b)　を証明せよ

ちなみに前の問題で√(a+b)＞√a-√b　は証明されています
どなたかお願いします。

633 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 16:10:51 ID:U/fbakAPO
三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢをｃ ＢＣをａ ＣＡをｂとする。
また、ｂ=４ ｃ=２ Ｂ=１２０ﾟ Ｃ=４５ﾟのとき、ａを求めよ。

この問題で第二余弦定理で解けなかったのですが、第一だと解けました。なぜ第二で解けないんですか？
解は-1+2√2です

634 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 17:01:18 ID:Czlg6z4e0
>>631
3行目まではOKだけど、4行目が間違ってる。
こういう図形が絡んでくる問題は図を書きながら考えると良い。
ていうか以下の説明は読んでるだけだと頭痛くなるから、図形書きながら考えて。

(1,8)(2,7)(3,6)を選んで、正六角形を書いて上に1下に8を固定したときを考える。
Ⅰ　2⇒左上,7⇒右下,3⇒右上,6⇒左下
Ⅱ　2⇒左上,7⇒右下,3⇒左下,6⇒右上
Ⅲ　2⇒右下,7⇒左上,3⇒右上,6⇒左下
Ⅳ　2⇒右下,7⇒左上,3⇒左下,6⇒右上
今書いたのは“(1,8)⇒上と下(2,7)⇒左上と右下(3,6)⇒右上と左下”に入るときについて。
もちろん“(1,8)⇒上と下(2,7)⇒右上と左下(3,6)⇒左上と右下”っていうのもあるから、
合わせて8通り。
それにあなたが考えた“4通りから3通り選ぶ方法は4通り”をかけると4×8=32通りになる

図を書かないと伝わりにくいから、わからない箇所があったら聞いてください

635 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 17:17:29 ID:kxlQF8WaO
>>632
a＞2b＞0と前問の結果より
√(a+2b)-√(a-2b)-2√b＜√(2a)-√(4b)＜0

よって2√b＞√(a+2b)-√(a-2b)

636 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 17:18:35 ID:g5BI9owz0
>>630
3つの組の選び方は4C3
　　　1
○　　　　●
□　　　　■
　　　8

(1,8)を固定→○に入るのは1,8以外の4つの数字で■はこれに対となるので自動的に決まる。
□に入るのは上記1、8、○、■を除いた2通り
なので全体で4C3*4*2=32


637 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 17:32:46 ID:hcBIyE1u0
>>634, 636
ありがとうございました。感謝です。

638 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 17:35:05 ID:qpXXMpozO
京大志望ですが青チャートやらずに一対一で良いですか？

639 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 17:47:22 ID:GtjzUy5H0
>>633
b/sinB≠c/sinC になってる。そんな三角形はありえない。
実際、与えられた条件から∠A=15°で、これを挟む2辺がb=4,c=2なら
三角形が決定されるけど、これで作図すると∠Cは45°よりずっと
小さな値になりそうなことが一見して分かる。



640 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 17:47:27 ID:BfTc0Of80
＜問題＞
３つの不等式ｙ≦－ｘ＾２＋９，ｙ≧０，ｘ＾９＋（ｙ＾２－９）≦ｔ＾２
（ただし，ｔは正とする）を満たすｘｙ平面上のの点で，
その座標がともに整数で表されているものが２１個となるための
ｔの値の範囲を求めよ。
＜解答＞
ｙ≦－ｘ＾２＋９，ｙ≧０を満たす格子点（座標がともに整数の点）
は図のようになる。（図は省略）
円ｘ＾９＋（ｙ＾２－９）≦ｔ＾２が点（０，３）を通るとき，
ちょうど２１個であり，ｔ＾２＝０＾２＋６＾２＝３６
点（１，３）を通るとき，２個増えてｔ＾２＝１＾２＋６＾２＝３７
よって３６≦ｔ＾２＜３７
から６≦ｔ＜√３７

解答の意味が分かりません。格子点を数えて行くしかないのでしょうか。

641 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 17:51:35 ID:GtjzUy5H0
>>640
> ｘ＾９＋（ｙ＾２－９）≦ｔ＾２
円の方程式が盛大に間違ってるような。
前はx＾2だろうけど、yの方はこのまま（つまり、原点中心）で正しいの?


642 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 17:59:35 ID:BfTc0Of80
>>641
申し訳ありません。
ｘ＾２＋（ｙ－９）＾２≦９の間違いです。
書き込むときに見直したのですが……。

643 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 18:26:41 ID:GtjzUy5H0
円の中に入る=中心から見て半径が示す距離の中に入る、
と読み替えた上で、効率よく混乱しないように数えるしかないかね…
自分だと、放物線の下に入る格子点だけ取り出して、こんな図を描くと思う。

　　　　　　　　ｙ　Δy^2　個数累計
　　 ●　　　 9　　0　　　1
　●●●　　8　　1　　　4
　●●●　　7　　4　　　7
　●●●　　6　　9　　　10
●●●●●　5　16　　 15
●●●●●　4　25　　 20
●●●●●　3　36　　 25
４ １ ０ １ ４←…Δx^2

（0,9）からの距離^2はΔｘ^2 +Δy^2 で出る。ｙ=5の段より下では、
|x|≦2 の範囲では、ｙが１増えたときのほうがｘが2まで増えるよりも
距離の変化量が大きいから、徐々に中心からの距離を広げていくと、
必ず上の段の格子点が全て領域に入ってから、次の段の格子点が
範囲に入り始める。

y=4の段までで累計20個の格子点が範囲内になるから、あと1個だけ、
次の（0,3)の点までが入り、その両隣が入らない範囲を考えればいい。


644 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 19:31:00 ID:BfTc0Of80
>>643
申し訳ありません。Δの意味が分かりません。
ググッたのですが……。Wikipediaにも
＞数学で、変数の前に付いて、その変数の（微小な）増分を表す。
としか書いていなくて……。

645 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 19:33:02 ID:sqURFhE30
デルタ⇒Δ
微積やってないとわからんだろうなぁ・・・

646 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 19:33:57 ID:GtjzUy5H0
ああ、「変化量」という意味です。

y=9とのyの差の二乗がΔy^2、というつもりで書きました。
嫌なら（y-9)^2 と読み替えてください。
x側も同じで、この場合ｘ^2と同じ。


647 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 19:49:18 ID:0/WsUVEi0
>>635
なるほど
√a＝√(a+2b)、√b＝)√(a-2b)と考えるんですね

助かりました
ありがとうございます

648 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 20:03:31 ID:BfTc0Of80
>>646
分かりました。プリンタが壊れているのでコピー用紙に書き写しました。
これから部屋に籠もってじっくり考えます。

649 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 20:42:44 ID:BfTc0Of80
部屋に籠もってじっくり考えてきました。

＞ｙ=5の段より下では、
＞|x|≦2 の範囲では、ｙが１増えたときのほうがｘが2まで増えるよりも
＞距離の変化量が大きいから、徐々に中心からの距離を広げていくと、
＞必ず上の段の格子点が全て領域に入ってから、次の段の格子点が
＞範囲に入り始める。

は理解できませんでしたが，

＞y=4の段までで累計20個の格子点が範囲内になるから、あと1個だけ、
＞次の（0,3)の点までが入り、その両隣が入らない範囲を考えればいい。

は理解できました。この問題は，ここが理解できれば解けると思います。
ありがとうございます。

650 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 21:11:13 ID:U/fbakAPO
>>639
ということは問題のミスってことでしょうか？

651 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 21:26:10 ID:ebwtZtQ60
余弦定理に第1も第2もあるか
ただ式変形しただけなのに第1第2と名づけるな

652 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 22:13:46 ID:4OfemMe30
ｗ

653 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 23:25:52 ID:BfTc0Of80
＜問題＞
円（ｘ－ｔ）＾２＋（ｙーｔ）＾２＝２ｔ＾２＋６……①
ｔはｔ≧０を満たしながら変化するものとする。
円①が通りうる（ｘ，ｙ）全体の領域を図示せよ。
＜解答＞
①から　２（ｘ＋ｙ）ｔ＝ｘ＾２＋ｙ＾２－６……②
ｔ≧０を満たすｔが存在する条件を求める。
ｘ＋ｙ≠０のとき　（ｘ＋ｙ）（ｘ＾２＋ｙ＾２－６）≧０……③
ｘ＋ｙ＝０のとき　ｘ＾２＋ｙ＾２－６＝０……③
③からｘ＋ｙ≧０，ｘ＾２＋ｙ＾２≧６
またはｘ＋ｙ＜０，ｘ＾２＋ｙ＾２≦６
④から（ｘ，ｙ）＝（√３，－√３），（ー√３，√３）
図の斜線部分（図は省略）

＞ｔ≧０を満たすｔが存在する条件を求める。
＞ｘ＋ｙ≠０のとき　（ｘ＋ｙ）（ｘ＾２＋ｙ＾２－６）≧０……③
＞ｘ＋ｙ＝０のとき　ｘ＾２＋ｙ＾２－６＝０……③

となる理由が分かりません。誰か教えて下さい。

654 名前：皮[] 投稿日：2008/04/19(土) 23:35:21 ID:yH2rrpWNO
数学センターしか必要ない国立志望ですが黄色チャートはオーバーワークですか？
85%狙ってます
宜しくお願いします

655 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 23:37:43 ID:o0cLPc9G0
場合分けが分からないのか処理が分からないのか書け

656 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/19(土) 23:38:32 ID:U/fbakAPO
>>651
？どういう意味かはわからないんですが第一余弦定理、第二余弦定理ありますよ？

657 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/19(土) 23:38:36 ID:o0cLPc9G0
>>654
数学の勉強の仕方 Part113
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1207379407/l50

658 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 00:29:00 ID:pcAJh5Nk0
>>656
調べてみたらホントにそうだ
申し訳ない。それも数か月前に本屋で立ち読みしたやつじゃないか。ああ～

659 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 01:05:25 ID:pFmDKcsmO
分かっていただけて良かったです。これを機に完全に覚えちゃってくだされば幸いです。

660 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 01:53:55 ID:SzgEkyhy0
数学出来る人って
公式丸暗記してるんですか？

オレは数学苦手なんだが
公式は丸暗記すべき？


661 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 01:59:25 ID:i90J5sgn0
>>660
ワシは数学ができるというわけではないが
丸暗記している公式は必要最小限にとどめてて
あとは定石が浮かぶようにはしている

662 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 02:01:19 ID:6oTLpQz+0
やむを得ず丸暗記するしかない公式と
自分で作っていくうちに自然と覚えられる公式がある。

「公式は暗記」とひとまとめにせず、使い分けられるのがいいね。

663 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 02:02:42 ID:2S8daiNHP
>>660　>>657をご参照ください

ここの回答者は数学好きが多いわけだから
受験にあたって数学をうまく乗り切ろうという話なら
「勉強の仕方」スレのほうがよっぽど参考になると思う

664 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 07:41:33 ID:EuqT3GXU0
>>655
レスが遅れました。

＞場合分けが分からないのか処理が分からないのか書け

なぜｘ＋ｙが０かそうでないかで場合分けして，
あの２つの式が導かれるかが分かりません。
つまり，場合分けも処理も分かりません。
馬鹿でごめんなさい。

665 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 08:21:47 ID:ul9hrEK10
>>664 >>653の答違ってませんか？ x+y=0かつx^2+y^2>6の範囲は
含まれないと思うんだけど。（問題と解答の出典を晒して欲しい>653）

場合分けを>>653と変えて、もう少し丁寧にやってみる。
t=0の時にこの円はx^2+y^2=6、この円周上は必ず含まれる、
と考えた上でt>0のときに含まれる範囲を考えればいい。

t>0では②の両辺を2ｔ>0で割っても符号は変わらないから、
　x+yとx^2+y^2-6の符号は（両方正、両方負、両方0のいずれかで）一致。このとき、
　x+y≠0ならば (x+y)(x^2+y^2-6)>0 　（非零で符号が一致するから積は正）
　x+y=0ならば x^2+y^2-6=0 →これは(√3、-√3）と(-√3、√3）の2点で、
　　t=0の場合に含まれる。

よって、求める領域は
・円周 x^2+y^2=6 上
・x+y>0 かつ x^2+y^2-6>0
・x+y<0 かつ x^2+y^2-6<0
を合わせたもので、これには最初に書いたように、
x+y=0かつx^2+y^2>6の範囲は含まれないように思う。

図を描いてみても、点(√3、-√3）と(-√3、√3）を必ず通るようにしながら
円の中心がy=x上を原点から右上にとって、半径を拡大していく円が通る
ところだから、この2点以外のy=-x上を変化する円が通過することはない、と
思うんだけど。


666 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 08:26:35 ID:uAt+tvXq0
>>635 間違えてるよ。
>>632 前の問題で証明したのは、√(a-b)>√a-√b (a>b) ではないのか。

667 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 08:52:43 ID:EuqT3GXU0
>>665

＞>>664 >>653の答違ってませんか？ x+y=0かつx^2+y^2>6の範囲は
＞含まれないと思うんだけど。（問題と解答の出典を晒して欲しい>653）

間違っていました。ｘ＋ｙ＞０，ｘ＾２＋ｙ＾２≧６でした。
出典は旧課程青チャート２＋Ｂ練習１５１です。

＞図を描いてみても、点(√3、-√3）と(-√3、√3）を必ず通るようにしながら
＞円の中心がy=x上を原点から右上にとって、半径を拡大していく円が通る
＞ところだから、この2点以外のy=-x上を変化する円が通過することはない、と
＞思うんだけど。

ここが少し分かり辛いです。申し訳ありません。


668 名前：635[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 11:33:45 ID:XG8ZQHnj0
>>666
本当だ…やっぱり紙に書かないとだめだな…
実にお恥ずかしい


669 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 12:40:02 ID:ul9hrEK10
>>667 考えている円の中心をP(t,t）、原点をO、
また点A（√3、-√3) 、点B（-√3,√3）とする。

すると、円の半径^2=2t^2+6=AP=BPが常に成り立つ。
（いきなり距離を出してもいいし、△AOPが直角三角形になるから
AP^2=OA^2+OP^2と考えてもいい）

さて、直線y=-xを引き、線分ABをこれから取り除く。穴が開いている感じ。
座標平面を45°傾け、第一象限が上になる（y=ｘが垂直になる）ようにする。
ここに、「上」から半径が√6以上の円を載せる。すると、第3象限の
ほうに少しはみ出して「穴」の上に乗る（半径がちょうど√6のときは、
ABを直径とする状態で留まる、と考える）。

この状態の円の半径を、√6以上で任意に変える時、円周の点が
存在することがある座標平面上の範囲を考える……この問題は、
以上のようなイメージで捉えることができるわけ。

円の半径をどんどん大きくすれば（半径√6cmの穴に地球と同じ
半径の円を載せる、とか）、円が通りうる範囲の境界はどんどん
y=-xに近づくけれど、円なんだから決してこの直線の上には乗らない。
ということが感覚的にも見えるでしょ、と言いたかった。


670 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 13:54:46 ID:EuqT3GXU0
>>669
私の理解力が足りないので，幾つか質問させて下さい。

＞「上」から
「上」とは何のことでしょうか？
＞第3象限の ほうに少しはみ出して
どういうことでしょうか？
＞「穴」の上に乗る
「穴」とは何のことでしょうか？
＞この状態の円の半径を、√6以上で任意に変える時、円周の点が
＞存在することがある座標平面上の範囲を考える……この問題は、
＞以上のようなイメージで捉えることができるわけ。
＞円の半径をどんどん大きくすれば（半径√6cmの穴に地球と同じ
＞半径の円を載せる、とか）、円が通りうる範囲の境界はどんどん
＞y=-xに近づくけれど、円なんだから決してこの直線の上には乗らない。
＞ということが感覚的にも見えるでしょ、と言いたかった。
何を言っているのか分かりません。

攻撃的に受け止められるかもしれませんが，本当は分からないまま
分かった振りをしてはいけないと思いますので，教えて下さい。

671 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 14:42:10 ID:uMs1UJBBO
－6cos(－2/3π)って－1/2ですよね？

くだらない質問ですが、塾で写したノートの答えと違ったんで

672 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 14:44:57 ID:d93nbgNN0
cos(-2/3π)は-1/2だけど-6cos(-2/3π)は3だ

673 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 14:59:33 ID:uMs1UJBBO
>>672
ありがとうございます
ホントにくだらない質問でした。

674 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 15:10:15 ID:x2hVzfrJO
http://blog.m.livedoor.jp/theclergyman/index.cgi?sso=9cdbadeb090286323ce5278d1bced8d328db77fb
←

675 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 15:12:19 ID:HhMpiXhZ0
720の正の約数で、3の倍数となるものの総和は2232ですよね？
問題集で解が4536となっているのですが、どうやってもその数字にならない
解る方お願いします

676 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 15:29:20 ID:+/RjhF4IO
√2が無理数であることの証明って
√3が無理数であることの証明と同じような過程を踏めばできますか？

677 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 15:46:44 ID:Gal6/LUr0
>>675

素因数分解すると７２０＝２＾４×３＾２×５であるから
約数のうち３の倍数は

３×２＾０
３×２
３×２＾２
３×２＾３
３×２＾４
３×５×２
３×５×２＾２
３×５×２＾３
３×５×２＾４　　

３＾２の時も同様　　より

総和＝（３＋３＾２）（１＋２＾１＋２＾２＋２＾３＋２＾４）（１＋５）
　　＝１２×３１×６
　　＝２２３２

うん、あってるね。

678 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 15:49:40 ID:Gal6/LUr0
>>676

背理法でいける。

ｘ＝ｐ／ｑとおいて

ｐ、ｑが偶数になってしまうことを導いて

矛盾を導く。

ちなみに他にもある。

679 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 16:15:18 ID:+/RjhF4IO
>>678
ありがとうございます

やってみたらできました

680 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 16:15:24 ID:HhMpiXhZ0
>>677
やはりそうでしたか
詳しい解説もいただき、ありがとうございます！

681 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 16:27:31 ID:ul9hrEK10
>>670
画像掲示板を使えば済むことなんだが、一応確認。

書いたとおりの手順をなぞって図を描いてくれましたか？

「上」については
>座標平面を45°傾け、第一象限が上になる（y=ｘが垂直になる）ようにする。
>ここに、「上」から半径が√6以上の円を載せる。すると、第3象限の
ここで十分説明ができているつもりなんだけど。


682 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 16:51:43 ID:Tskfhi6HO
どなたか教えてください！！

(a-3b-c+2)(a+2)+3bcを因数分解せよ

683 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 16:53:41 ID:Ap2xM0jtP
>>682
１文字について整理

684 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 17:00:06 ID:Tskfhi6HO
>>683
ありがとうごさいました！

685 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 17:15:55 ID:ul9hrEK10
>>670
作図できたから見てみてください。
http://imepita.jp/20080420/620920


686 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 17:23:52 ID:0Cvvuv+L0
a,bを正の実数とする
(1)区間a<xにおける関数f(x)=x^4/(x-a)^3の増減を調べよ。
(2)区間a<xにおける関数g(x)=1/(x-a)^2-b/x^3のグラフと相違なる3点で交わる
x軸に平行な直線が存在するための必要十分条件を求めよ。

(1)はf´(x)=x^3(x-4a)/(x-a)^4というのはわかるのですがその後がわかりません。
(2)はまったくわかりません。
数学が苦手で本当にわかりません。
どなたかお願いします。


687 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 17:56:29 ID:ul9hrEK10
>>686
(1)導関数の分母の符号は常に正。ということは、導関数の符号は分子だけで決まる。
　あとは数IIで増減表書いて3次関数を処理したのと全く同じ。

(2)これも、着手は数IIと同レベル。
h(x)=x^3+ax^2+3x+4 のグラフと相異なる3点で交わる、ｘ軸に平行な直線が
存在するための条件は?　要はグラフの概形がどうなれば良いのか考えてみましょう。
これを処理していく上で(1)の結果が利用されることになる。


688 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 19:46:40 ID:dMBZbDi30
質問です。

大中小の3個のさいころを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
3つの全てが異なる。

解答　5/9

余事象を使えばいいところまではわかりましたが、2つの目が同じになる確率が求められませんでした。
お願いします。

689 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 19:51:25 ID:y/c64OnA0
普通に全部異なるとやったほうが簡単じゃないか？

6*5*4/(6*6*6)=5/9

690 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 20:02:01 ID:dMBZbDi30
普通にやったほうがよかったのですね。
ありがとうございました！

691 名前：大学への名無しさん[ sage] 投稿日：2008/04/20(日) 20:13:11 ID:W97F6aI20
y^4siny+y^5/cosy
を微分の定義通りに解きたいのですがどうすればいいのでしょうか？

答えは
y^3{4siny+ycosy+(y^2siny/cos^2y)+5y/cosy}です

692 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 21:08:57 ID:Tskfhi6HO
お願いします
！

a＾5+b^5-a^3b^2-a^2b^3
を因数分解せよ。

693 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 21:13:57 ID:gsKpeiiU0
f_1(y)=(y^4)*sin(y)
f_2(y)=(y^5)/cos(y)

f(y)=f_1(y)+f_2(y)
lim_[Δt→0]{f_y+Δy)-f(y)}/{(t+Δt)-t}
で計算すればいいだけ

694 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 21:16:51 ID:KC9+xsjdO
お願いします！

実数x,y,zが x+2y+3z=20 を満たしている。
x,y,zが全て正の数の時、zのとり得る値の範囲をもとめよ。また、zが整数であるときのとり得る値の最大値を求めよ。

695 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 21:17:36 ID:y/c64OnA0
>>692
(a+b)(a-b)^3(a^2+ab+b^2)

696 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 21:17:55 ID:y/c64OnA0
間違えた
(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2)


697 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 21:19:39 ID:gsKpeiiU0
>>692
f(a,b)=a＾5+b^5-a^3b^2-a^2b^3
としてa=-b,a=bのときそれぞれf(-b,b)=0,f(b,b)=0だからf(a,b)を(a+b)(a-b)で割ればいい。そのあとまだf(a,b)=(a-b)(a+b)g(a,b)
としてg(a,b)=0となる(a,b)の組み合わせがあれば、それで再び割ればいいだけ

698 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 21:23:52 ID:y/c64OnA0
>>694
0<z<20/3
zが整数であるときとり得る値の最大値は6

699 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/20(日) 21:24:19 ID:Tskfhi6HO
>>695-697
わかりました！
ありがとうごさいました！

700 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 21:30:27 ID:KC9+xsjdO
>>698
ありがとうございます!!

701 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 22:10:21 ID:4y8G9AaR0
aを負の定数とする。関数f（x）=2x^3-3（a+1）x^2+6axの区間-2≦x≦2における最大値、最小値を求めよ。



これは黄チャートの226ページのPRACTICE298の問題です。
自分はaをまずa≦-2と-2<a<0の場合に分けてさらに-2<a<0の場合において、-2<a<-1と-1≦a<0と2つに場合分けしたのですが、
解答では-2<a<0において、-2<a<-1、a=-1、-1<a<0の3つに場合分けしてありました。
なぜa=-1のは別に分けてあるのですか？

702 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 22:41:10 ID:KC9+xsjdO
>>694の続きなんですが、
z=5のとき　x=(ｱ),y=(ｲ),または x=(ｳ),y=(ｴ)である[(ｱ)＜(ｳ)とする]。
x+2y+3z=20 を満たすx,y,zの値の組は(ｵｶ)組あり、このうちx＞y＞zを満たすものは(ｷ)組である。


703 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 23:22:03 ID:0JjjUAIQO
(xー3)^3-8=0でxの値を求める式です

よろしくお願いします。

704 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/20(日) 23:33:15 ID:uLXgzem00
>>703
8が2^3であることに気がつけば公式を利用して因数分解できるだろ

705 名前：修行少女 ◆DmRWTLB7sM [sage] 投稿日：2008/04/20(日) 23:46:04 ID:0P7gPR5NO
>>702
z=5のときx+2y=5だから(x.y)=(1.2)(3.1)ねっ！
x+2y=17→(x.y)=(1.8)(3.7)(5.6)(7.5)(9.4)(11.3)(13.2)(15.1)の8組
x+2y=14→(x.y)=(2.6)(4.5)(6.4)(8.3)(10.2)(12.1)の6組
x+2y=11→(x.y)=(1.5)(3.4)(5.3)(7.2)(9.1)の5組
x+2y=8→(x.y)=(2.3)(4.2)(6.1)の3組
x+2y=5→(x.y)=(1.2)(3.1)の2組
よって組み合わせは8+6+5+3+2=24通り
この中でx＞y＞zを満たす組み合わせは4+2=6通り
分かったかしら？

706 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 01:01:19 ID:pvsd1keEO
>>705
本当ありがとうございます!!
助かりました!

707 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 09:27:37 ID:FA4cjlHj0
>>685
返信が遅れました。持病の頭痛が酷くなったもので……。
図は描いていたのですが，よく理解できなかったのです。
これならよく分かります。ありがとうございました。

708 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 13:21:09 ID:jSblN7UNO
質問です。
不等式ｘ^2－ｘ－11＞0を解くときに私はｘ^2－ｘ－11＝0の解を求めてグラフの概形からｘ＞α、ｘ＜βなどとして解いています。しかしこの不等式を
(ｘ－1／2)^2＞45／4⇔ｘ－1／2＞√±(45)／2
∴ｘ＞√±(45)／2＋1／2
となり片方の解しか出てきません。
変形のどこが間違っているのでしょうか？

709 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 14:11:10 ID:TjBhQtD5O
x^2/a^2+y^2/b^2=1
(x.yは実数でa>0.b>0)のとき
x^2y^2/a^4y^2+b^4x^2の最大値を求めよ
お願いします

710 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 14:25:25 ID:WiJgXSWo0
>>708
(ｘ－1／2)^2＞45／4⇔ｘ－1／2＞√±(45)／2
↑この⇔が成り立たない。
そもそも(実数の不等式を考えてるとき) √の中に-45なんて入れちゃいけない。

b≧0として、a^2≧b と同値なのは |a|>√b　
(両辺とも非負の数として評価、√(A^2)=|A| は高校数学の基本）

これはa<0 の範囲で -a>√b⇔ a<-√b
a≧0の範囲で a>√b
-√b<0 だから、 a<-√b または a>√b
で、2次方程式の解から導いた場合とちゃんと同じになる。

711 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 14:29:06 ID:WiJgXSWo0
>>709
> x^2/a^2+y^2/b^2=1 　こっちは分かるけど

> x^2y^2/a^4y^2+b^4x^2の最大値を求めよ　この式が意味不明。

(x^2*y^2)/(a^4*y^2) + (b^4x^2) としか読めないけど、
だとしたら前の項は、なぜy^2で約してないのでしょうか。


712 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 15:06:17 ID:jSblN7UNO
>>710 ありがとうございます。概ね理解したのですが(ｘ－1／2)^2＞45／4→ｘ－1／2＞√±(45)／2
とするところで変形後の右辺において±√(45)／2と√±(45)／2の違いが分かりません。なぜ後者のような形になるのでしょうか？

713 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 15:52:01 ID:dtk9Irp+O
>>712
おれは710ではないが

＞(ｘ－1／2)^2＞45／4→ｘ－1／2＞√±(45)／2
とするところ

本当に理解してるか？この時点で違うって言われてんじゃん。⇔が違うんじゃなくて変形自体がおかしいの
(ｘ－1／2)^2－45／4を因数分解してみろ。(もしくは=0で解の公式つかえ)どこにも√-45なんて出てこない

±√45と√±45の違いは教科書を理解するまでよみなおせ

714 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 16:00:10 ID:WiJgXSWo0
>>712
>(ｘ－1／2)^2＞45／4→ｘ－1／2＞√±(45)／2 とするところで
そんな変形はしていません。この変形は>>710で否定しています。もう一度
書きますが、√（±45）のような表記をしてはいけないし、√記号の意味が
捉えられていません。

・非負の数に対してのみ√（数）は意味を持ちます。言い換えれば、ルート記号の
なかに負の数は入ってはいけません。これは中学でやったはず。

・二次方程式などを解く上では、√（-数）が出てきたら√(数)i に変形することで
正しい答が得られます。が、絶対値記号のない不等式に虚数が出てくることは
ありません（現行課程では数IIに行ってなければこの話は未習のはずです）

√（±45）という表記は↑これにことごとく反しており、意味を持たないものです
（これが不等式の途中式に書かれていれば、その小問を0点にされても
　おかしくないほどの、根本からの間違いです）

(x-1/2)^2>45/4 を正しく同値変形すれば、|x-1/2|>(√45)/2 で、
ここからの変形は段階を踏んで行う場合、>>710で示したように、
-x+1/2>(√45)/2 (x<1/2) または ｘ-1/2 >(√45)/2 (x≧1/2） と
場合わけを伴って行うことになります。


715 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 17:06:10 ID:PANYp5/YO
ＡでるためにはＢであることが必要十分である。このことを証明せよ。
ってＢ使ってＡを証明してもいいのかい？

716 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 17:23:21 ID:BCfc2zVI0
十分性を証明する際には

717 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 17:45:37 ID:PANYp5/YO
>>716
つまり⇔を示さなきゃならんのか
さんく!

718 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 17:55:58 ID:wAzE0rLF0
>>687
素早い返信ありがとうございます。
しかしまだ疑問があります。
なぜ分母の導関数の分母の符号は常に正とわかるのでしょうか？
あと、h(x)=x^3+ax^2+3x+4という式はどこから出てきたのでしょうか？
教えていただけると幸いです。

719 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 18:07:07 ID:WiJgXSWo0
>>718
導関数の分母：
>(1)はf´(x)=x^3(x-4a)/(x-a)^4というのはわかるのですがその後がわかりません。
x<aなんだから分母は0にはならず（なったら困りますが）、
0でない数を2乗の2乗するんだから常に正ですよね。

h(x)：
言葉足らずでしたが、数II範囲で、基本的には同じ対応を行うべき例題を
出してみたわけです。まずはグラフの概形を把握して、そこから考えを
進める手順は、この例題と>>686に共通しています。これが出来ないん
だったら、まず数IIに戻ってグラフ関係の問題を復習したほうが、
数IIIに入る前に必要なんじゃないでしょうか。逆に、この例題が処理
できれば、>>686でも、数III範囲の式の形に惑わされず、どうすれば
いいかは見えてくるはずです。

ただ、さすがに,>>686の処理はもうちょっと複雑になり、その処理の過程で
(1)の結果を使いますよ、ということです。


720 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 19:33:12 ID:9AjfGJlbO
2次不等式ax^2+bx+4<0の解がx<-1,2<xとなるような定数a,bの値を求めよ




ど～しても分かりません・・よろしくお願いします

721 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 19:40:51 ID:BCfc2zVI0
まず明らかにa<0が必要
次に
ax^2+bx+4=0の2解がx=-1, 2となればよく、これは2次の係数に注意して
a(x+1)(x-2)=0と書き表せるので、係数を比較して
-2a=4 ∴ a=-2, -a=b ∴ b=2

722 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 19:50:30 ID:9AjfGJlbO
>>721
ありがとうございます！
すごく分かりやすかったです

723 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 20:36:50 ID:wAzE0rLF0
>>719
わかりやすい解説ありがとうございます
しかし、何時間か考えていましたが（２）の微分がどうしてもわからないんですが・・・



724 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 20:42:11 ID:yZWgnEk50
y=sinx-cosx 範囲0.2π
の時の最大値と最小値の求め方を教えて下さい！！

725 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 20:48:17 ID:NKPfasba0
y=(-1,1)・(cosx,sinx)　[・は内積]
より最大値は√2、最小値は-√2

726 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 20:49:03 ID:EBd5QnMjO
>>724
グラフ描いて終了

727 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 20:53:31 ID:yZWgnEk50
>>725
ありがとうございます。でも、もらった答えと違うんですが…
先生はこの式を使えと
cosx+（√1-cos二乗x)=0
cosx=+-1/√2
この場合はどうなるのでしょうか？本当に数学に疎いので申し訳ないです
>>726
もし書き方を教えてもらえると助かります

728 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 20:59:35 ID:NKPfasba0
>>727
先生のは微分を使うやり方だろ？
答えは同じ


729 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 21:07:44 ID:yZWgnEk50
>>728
ここまで頼んでおいて本当に申し訳ないんですが。
もし、もし、よろしければ、微分を使って本当に馬鹿でも分かる式を書いていただけないでしょうか？
どうかよろしくお願いします。

730 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 21:43:59 ID:WiJgXSWo0
>>723 途中までですけど。
以下、定義域はx<aとして論ずる。
g(x)=1/(x-a)^2-b/x^3
g'(x)=-2/(x-a)^3 + 3b/x^4 = {3b(x-a)^3-2x^4}/｛x^4(x-a)^3｝

こんどは分母がx<aで常に負。導関数の符号を調べるには分子だけ
見ればよい。また、g'(x)の分子=h(x)とし、方程式h(x)=0の解を考えれば、
g(x)が定義されないx=0以外では、g'(x)=0の解と一致する。

この方程式h(x)=0を変形して3b=2x^4/(x-a)^3 。この右辺は(1)で
調べたf(x)そのものである。従って、この方程式を、
y=3b と y=2x^4/(x-a)^3 のyを消去したものとして考えると、
解は2つのグラフ、y=3bと、y=f(x)、の交点のx座標として与えられる。
従って、グラフから考えて、g'(x)=0の解が存在するのは、b<0のときで、
やはりグラフから考えて、解はx<0の範囲に1つ、0<x<aの範囲に1つ
である。これを利用して、b<0のときのg(x)の増減表を作成する。
ただし、x→-0でg(x)→-∞、x→+0でg(x)→+∞であることに注意。

実際に増減表を書くと、2解をα<0<βとしたとき、、g(α)>g(β）
であるbの範囲を考えればいいのだけれど、ここで止まってしまいました。



731 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 22:29:52 ID:jSblN7UNO
>>713-714
遅くなってすいません。理解しました。最初の質問の中に間違って根号のなかに複号を入れてしまっていました。失礼しました平方根の定義は心得ています。
少し変わりますが
√(Ａ^2)＝｜Ａ｜ですがこの平方根の定義から
k>0のとき､方程式x^2＝kの解はx^2＝k⇔｜x｜＝√k
⇔±x＝√k⇔x＝±√k
というのが来ている。
と考えてるのですか？

732 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 22:59:59 ID:uamxCv5WO
質問です。

【問】
不等式
｛√(ｘ^2＋ｙ^2)－１｝^2＋ｚ^2≦１
を満たす点（ｘ,ｙ,ｚ）からなる立体Ｖがある。

平面ｚ＝ｔによるＶの切り口の面積Ｓ(ｔ)を求めなさい。



教えて下さい。
よろしくお願いします(´･ω･`)

733 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 23:37:12 ID:9UvnyEnh0
｛√(ｘ^2＋ｙ^2)－１｝^2＋t^2=１
｛√(ｘ^2＋ｙ^2)－１｝^2=1-t^2
√(ｘ^2＋ｙ^2)=√(1-t^2)＋1
x^2+y^2=(1+√(1-t^2))^2
よって求める面積は半径1+√(1-t^2)の円である。

正の整数であってその整数の約数のうち４でわった余りが２でないようなものの総和が１０００であるものをすべて求めよ


734 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 23:39:06 ID:qRE4av7jO
やさ理の例題１の②の(２)で、Xで微分してなぜ(X-１)２乗Q３′(X)が出るんですか？

お願いします

735 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/21(月) 23:50:51 ID:eSyXvaKa0
>>734
>>1

736 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/21(月) 23:56:04 ID:qRE4av7jO
どういうこと？

737 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 00:05:02 ID:1CnTyOKuO
すいません書き方間違えてました。

問
(X+１)＾１０を(X-１)＾２で割ったときの余りを求めよ

お願いします

738 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 00:20:58 ID:N5FDBSJvO
XYZ空間において、XZ平面上の0≦Z≦2-X^2で表される図形

ってどういう意味なのですか？



739 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 00:43:33 ID:en/CuvRV0
>>737
(x+1)^10={(x-1)+2}^10=Σ[k=0,10]C[10,k](x+1)^(10-k)・2^kだから
あまりはC[10,9](x+1)・2^9+C[10,10]2^10

740 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 00:44:28 ID:VNB/hy+J0
XY平面上の
0≦y≦2-x^2であらわされる図形

ってどういう意味か分かる？

741 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 00:59:16 ID:1fd9xrDK0
>>740
{(x,y)|0≦y≦2-x^2}
という意味。

742 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 01:56:21 ID:9w6dzGcPO
>>733さん

732です。
ありがとうございました。
よくわかりました(*´ω｀*)


743 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 08:23:41 ID:tAElLzAKO
nを自然数とする。次の3つの不等式（1）,（2）,（3）をすべて満たす自然数の組（a,b,c,d）はいくつあるか。nを用いて表せ
（1）1≦a＜d≦n
（2）a≦b＜d
（3）a＜c≦d

わからないのでお願いします

744 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 08:56:58 ID:1tnxRx2D0
>>733
元の図形は中身の詰まったトーラス（ドーナツ）断面は円環

745 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 09:43:33 ID:1tnxRx2D0
>>733
奇素数べきの和が1000の約数になるのは
1+3, 1+3+3^2+3^3
1+7
1+19
1+199
1+499
で積は1000にできない
偶数の場合約数から2・奇素数べきの積を除くから
(1+2^2+…+2^a)(1+p+p^2+…+p^b)…(1+q+q^2+…+q^c)+2=1000
(2^(a+1)-3)()…()=2・499
√499<23で2,3,5,7,11,13,17,19で割り切れないので499は素数
よって2^(a+1)-3=1でa=1
奇素数べきの和が2, 499となることはあり得ない
998となるのはp=997（√997<32で2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31で割り切れないので997は素数）
よって求める自然数は2・997=1994のみ

746 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 10:08:08 ID:1tnxRx2D0
>>743
k=d-aとすると最初の条件式は1≦k, a≦n-1, a+k≦n
kを固定したときb,cはそれぞれk個aはn-k個から独立に選べるのでk^2(n-k)通り
よってΣ[k=1,n-1]k^2(n-k)=n^2(n-1)(n+1)/12

747 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 10:14:27 ID:1tnxRx2D0
>>746
>最初の条件式は1≦k, a≦n-1, a+k≦n
1≦k≦n-1, 1≦a≦n-1, a+k≦nのつもり
単純変形では1≦a, 0＜k (1≦k), a+k≦nとなる

748 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 13:11:47 ID:7p0w0riZO
ａ,ｂを正の整数でａ＜ｂとする。ａとｂの間にあり１０を分母とするすべて既約分数(整数を除く)の和を求めよ。
って問題なんですが、数列を使い解いてもらいたいんですが…最初の式の起き方がわかりません。アホなゆとりで悪いです。

749 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 13:14:29 ID:1tnxRx2D0
間違いを訂正これでどうだろう
>>745
>偶数の場合約数から2・奇素数べきの積を除くから
>(1+2^2+…+2^a)(1+p+p^2+…+p^b)…(1+q+q^2+…+q^c)+2=1000
2自身も除かれなくてはいけないので
(1+2^2+…+2^a)(1+p+p^2+…+p^b)…(1+q+q^2+…+q^c)=1000
(2^(a+1)-3)()…()=1000
2べき-3が1000の約数となるのはa=1, 2, 6の場合
a=1では奇素数べきの和の積は1000とならず
a=2では奇素数べきの和の積が200となるがこれは1+199のときのみ
（√199<15より2,3,5,7,11,13で割り切れないので199は素数）
a=6では奇素数べきの和の積が8となるがこれは1+7のときのみ
よって求める自然数は2^2・199=796および2^6・7=448


750 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 13:16:48 ID:1tnxRx2D0
>>748
a=1, b=3程度で規約なk/10を書き出してみると展望が開けると思う

751 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 13:19:07 ID:7p0w0riZO
>>750やってみます。ありがとうございます

752 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 13:37:48 ID:7p0w0riZO
>>750わかりません…適当にkとした時の範囲は(10a+n)＜k＜(10k-n)…(nは実数)ってしたんですけど、和まではいきません。

753 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 14:39:49 ID:7p0w0riZO
>>750解けたぁ↑！！！！！！！ありがとうございます！！！

754 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 19:08:25 ID:mnDxdzcd0
y=f(x)=(x-a)^2+2 (0≦x≦2)の最大値を求めよ。

という問題があります。

この一つ前にやった全く同じ式で最小値を求める問題では
a＜0の場合、0≦a＜2の場合、2＜aの場合で分けたのですが、
これは定義域を愚直に場合わけする感じで説明にも納得がいきました。

しかし最大値の場合はなぜa＜0の場合、0≦a＜2の場合、
2＜aの場合でわけずにa＜1、1≦aで分けるんですかね。
グラフを書けばわかると書いてありますが、
確かに1で区切るとうまくいくようだが、なぜ？と全然納得がいきません。

755 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 19:17:05 ID:tAElLzAKO
>>746ありがとうございます




756 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 19:18:38 ID:tAElLzAKO
平面上に三角形ABCと点Pがあり、AP↑,BP↑,CP↑は
rAP↑＋sBP↑＋tCP↑＝0↑
を満たしているとする。ただしr,s,tは正の定数である。
（1）点Pは△ABCの内部にあることを示せ。
（2）△PAB,△PBC,△PCAの面積比をr,s,tを用いて表せ。

（2）がわからないのでお願いします

何度もすみません…

757 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 19:27:07 ID:y/Nu0Q8l0
>>754
グラフを丁寧に、できるのなら頭の中でもいいので描写しながら考えて頂きたい
(x-a)^2+2の軸はx=aだが、このaが0と2の中点、つまりx=(0+2)/2=1に
一致したとき(a=1)、f(0)とf(2)は同じ値になる(2次関数は軸対称)。
ここからaを少し左右にずらしたときを考えれば、分かる？
ちなみにすぐに分かることだと思うけど、最大値はx=0, 2のどっちかでとるね。

758 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 19:33:08 ID:y/Nu0Q8l0
(2)はPBC:PCA:PAB=r:s:tって結果覚えちゃってるな
始点をそろえてPがどんな点か、つまりどういった内分か、と調べ、
それぞれの三角形がABCの何分の一か調べたら解けるだろうけど

759 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 19:49:32 ID:nchPEypk0
>>756
関係式を-1倍して、ｒPA↑+sBP↑+tCP↑=0↑

ｒPA↑=PA'↑、sPB↑=PB'↑,ｔPC↑=PC'↑とすると、
PA'↑+BP'↑+CP'↑=0↑書き換えられて、この式より点Pは△A'B'C'の重心。
重心の性質から、△PA'B'、△PB'C'△PC'A'の面積は等しい。
ここで、面積において、たとえば△PA'B=rs△PAB
(頂角∠APBが等しいから、三角形の面積=(1/2)*sin(2辺のなす角)*2辺の長さの積
の公式より、面積は「2辺が何倍ずつになったかの積」倍）
変形して△PAB=(1/rs)△PA'B

よって、求める面積比は
△PAB : △PBC : △PCA= (1/rs) : (1/st) : (1/tr) = t : r : s



760 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 19:51:20 ID:nchPEypk0
△PA'B'=rs△PAB、△PAB=(1/rs)△PA'B' ね。
ダッシュの打ち忘れ。



761 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 19:55:57 ID:7p0w0riZO
cosπ/8の分け方がわかりません…どう分ければよろしいですか？？何度もすみません。

762 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 19:59:08 ID:mnDxdzcd0
>>757
レスコピーして見ながらやってみます。サンクス！

763 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 20:06:53 ID:7p0w0riZO
>>761cosπ/8の値を求めよって問題なんですが。

764 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 20:07:17 ID:nchPEypk0
>>751 cos（π/4) で半角定理を考えるんじゃダメなの?
答は二重根号つきで、この場合は外れない。

765 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 20:47:06 ID:33LQssF8O
>>763
cos^2(π/8)
={cos(π/4)+1}/2
=(2+√2)/4
0<π/8<π/2だからcos(π/8)>0
∴cos(π/8)=√(2+√2)/2


適当にやったから合ってるか知らね

766 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 21:05:38 ID:7p0w0riZO
>>765ありがとうごさいますm(__)m

767 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 22:11:41 ID:n8YZnJxi0
(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)-8*x^2*y^2*z^2
の因数分解が分かりません。教えてください。

768 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 22:16:39 ID:wKmBz6HW0
本質の研究p88の　15番の(2)の
「√3は無理数であることを、背理法を用いて証明せよ」
という問題の解答に、
「√3が有理数であると仮定すると、√3=n/m（n,mは互いに素な自然数）と表される」
とあるんですが、有理数は、「n/m（n,mは整数）で表される」じゃないんですか？互いに素になる理由が分からないです。
ちなみにこ後は互いに素であることに反するので・・・　と矛盾を導くんでどっちでもいいわけじゃなさそうです。

それと、√3は正なのでn,mが自然数の場合n/mも正となるのは分かるんですが、n,mが両方負の場合は考えなくていいんですか？

769 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 22:43:29 ID:5sclE8DvO
>>768
ｍとｎが互いに素じゃなくても、結局は約分して分母も分子も互いに素な整数になるだろ
あとmとnがどっちも負だったら、結局は＋になるんだからやっぱりmnは互いに素な自然数
-3/-15=1/5
こういうことだ

770 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 22:46:48 ID:y/Nu0Q8l0
仮定のうえでは「n/m（n,mは整数）で表される」ことが"可能"なんだよ
なのでそういった数を採用するわけ

771 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 22:48:38 ID:Oi2ejJZu0
>>767
ごり押ししてみた。
(x^2+y^2-z^2)(y^2+z^2-x^2)(z^2+x^2-y^2)

772 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 22:48:44 ID:wKmBz6HW0
約分したら分母分子が互いに素な整数になることは分かるんですけど、それだったら「互いに素」って条件なしで
「自然数」だけでも良いってことにはならないんですか？

773 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 22:52:34 ID:5sclE8DvO
もちろん「整数」でも成り立つだろうけど
それだと背理法で証明できないでしょ


774 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 22:58:10 ID:Oi2ejJZu0
>>772
√2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく.　（m,nは互いに素な自然数）
両辺を2乗すると
2＝（n/m）^2
⇔2ｍ^2=n^2
よって，ｎは２の倍数・・・(1)
よって、ｎ＝2ｋとおいて代入すると、
2ｍ^2＝4ｋ^2
⇔ｍ^2＝2ｋ^2
よって，ｍは2の倍数・・・(2)

(1)(2)は、m,nが互いに素という仮定に反するので、矛盾する。
ゆえに，√2は無理数

たぶん証明はこんな感じだと思うけど、
最後の「m,nが互いに素という仮定に反するので」ということを使うために、「互いに素」という条件をつけている。
あと、この証明法の場合、m,nは「自然数」じゃなくて「整数」という条件でも大丈夫。


775 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 23:15:04 ID:wKmBz6HW0
>>774互いに素で表せるのは分かるんですけど、m,nが互いに素でなくても有理数を表せるのに勝手に互いに素だけに限定して、
そこを使って矛盾してるからどうこうするってのがいまいち納得できないんですけど、こんなもんだと思ってるだけでいいんですかね？
たくさん問題といてるうちになんとなくわかるようになりますか？
あと、例えばですけど、数学が難しいって聞いた京都大学の数学のテストのレベルまで持っていくときにこのことを理解していないとできないような
問題が出てきたりしますか？

776 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/22(火) 23:21:41 ID:Q7WKKMfg0
>>775
すべての有理数は唯一の既約分数であらわせる

これが前提にある

777 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 23:30:29 ID:Oi2ejJZu0
>>775
じゃあ、あんまり有名じゃない証明を紹介。

√2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく.　（m,nは有限な整数）
両辺を2乗すると
2＝（n/m）^2
⇔2ｍ^2=n^2・・・(1)
よって，ｎは2の倍数
よって、ｎ＝2ｋとおいて代入すると、
2ｍ^2＝4ｋ^2
⇔ｍ^2＝2ｋ^2・・・(2)
よって，ｍは2の倍数

(1)→(2)のような操作は、無限回繰り返すことができる。
すると、p,qは
p→∞、q→∞となり、これはp,qが有限な整数であることに矛盾する。
ゆえに，√2は無理数


778 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 23:32:54 ID:Oi2ejJZu0
>>777の訂正とちょっと加筆。

じゃあ、あんまり有名じゃない証明を紹介。

√2が有理数であると仮定し，これをn/mとおく.　（m,nは有限な整数）
両辺を2乗すると
2＝（n/m）^2
⇔2ｍ^2=n^2・・・(1)
よって，ｎは2の倍数
よって、ｎ＝2ｋとおいて代入すると、
2ｍ^2＝4ｋ^2
⇔ｍ^2＝2ｋ^2・・・(2)
よって，ｍは2の倍数

(1)→(2)→(1)･･･のような操作は、無限回繰り返すことができる。
すると、n,mは
n→∞、m→∞となり、これはn,mが有限な整数であることに矛盾する。
ゆえに，√2は無理数

779 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 23:42:01 ID:wKmBz6HW0
>>776「有理数は、n/m（n,mは整数）で表される」という説明がよくつかわれていますが、
これにその前提が含まれているけどそこまで書いてないだけということですか？

>>778（m,nは有限な整数）てのが何故有限な整数ではいけないのかがよく分かりません。
無限ではいけないのですか？そこの矛盾を利用しているので>>774と同じように前提を自分で勝手に作ったというか、勝手に限定
してそこがおかしいといっているように思えるので納得できないというか・・・

なんだか自分が何を聞きたかったのかわからなくなってきた・・・

780 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/22(火) 23:44:10 ID:wKmBz6HW0
>>774の（m,nは互いに素な自然数）というのはもともとそういうもので、解くときに勝手に限定したわけではないんですよね？

781 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 00:02:02 ID:D2XrqGDnO
質問です。
下に凸な二次関数f(x)＝０の二解をα,βとする。このとき任意の整数ｎに対してｆ(ｎ)≧０が成り立つ為には(α－β)^2≦１が必要である。
という記述があったのですが確かにα､βの間に整数kが存在するとｆ(k)＜０となってしまいますが､例えばα＝1/2､β＝4/3なら差は1未満だけどその間に整数１が存在するのでは？
と思ったのですが上の記述はどういう意味なのでしょうか？

782 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 00:18:24 ID:qNIn69Yd0
>>779
俺も君の気持ちは分かるよ。(互いに素)ってつけるってだけで
証明の一役を担うなんてずるく数学的ではない感じがしてね。
でも、その前提は、「有理数ならその設定が可能」という前提に基づいてるので、
それを持ち出すことは問題ないんだよね。それでもあまり好きに慣れず、
俺は>>778氏が提示した「無限降下法」の方が気に入ってる。今回なら
m, nが条件を満たすならm/2, n/2も条件を満たすというのを繰り返すやり方。

783 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 00:18:27 ID:YnjYTdtR0
>>779
√2が有理数であると仮定する。
√2が有理数ならば、√2=p/q　（p,qは互いに素な整数…(*)）　なる整数p,qが存在する。
一方√2=p/qならば、pもqも2の倍数である。…(**)
*と**は互いに矛盾する。

よって仮定があやまりであったことが示される。

こういう書き方をすれば分かるか？


784 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 00:27:24 ID:kmj1NaEa0
>>730
x<aではなくてa<xなんですけど>>730さんの式は大丈夫ですかね？

785 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 01:08:08 ID:vhQnYbd20
あの、ちょっとわからないんで教えてください＞＜

（１）S=｛1/n | n∈N｝とおく
　　　　Sの上界があれば１つ書け。
　　　　Sの下界があれば１つ書け。
（２）S⊂Rとする。次を示せ（証明しなさい）
　　　　Sが有界である⇔あるM>0があり、S⊂｛x∈R | |x|≦M｝

（１）についてなのですが、上界、下界というのは上限、下限とは異なるのでしょうか？＠＠

調べてみたところ、上限は１、下限は０とありましたが、これの事を指すのでいいんでしょうか？

（２）については、どう書けばいいんでしょうか？＠＠　なるべく丁寧に教えていただけるとありがたいです＞＜


786 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 01:58:40 ID:Cj5gk4BsO
>>768
mとnが互いに素でなくてもn/mは有理数ではある。
ただ有理数は必ず互いに素なmとnを用いてn/mの形で表すことができる。

√2が有理数ならば必ず分母分子が互いに素な分数で表せるから、
そのときの分子をn、分母をmとおく。
しかしこのとき√2=n/mならnとmは互いに素でないことに矛盾するから、
√2は分母分子が互いに素な分数では表せない、
つまり有理数ではない。

787 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 02:02:32 ID:Cj5gk4BsO
連レススマソ

>>775
＞互いに素で表せるのは分かる
有理数なら分母分子が互いに素な分数で表せるはずなのに
√2はそういうので表せないから有理数ではない、ということ。

788 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 02:34:55 ID:xja1eUzl0
>>785
上界の中の最小のものが上限、
下界の中の最大のものが下限。

（２）　Sが有界であるとすると任意のSの元ｘに対してｘに無関係な
実数a、bがとれてa≦x≦b。b＜０ならM＝-a、0＜aならM=b,
a≦0≦bならM=Max{-a,b}とすればS⊂｛x∈R | |x|≦M｝.

S⊂｛x∈R | |x|≦M｝とすると任意のSの元xに対して、
xに無関係に-M≦x≦M。■

789 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 05:17:23 ID:r5Bk4Jkj0
質問です。

半径5の円Oがある。円Oの外部にある点Pを通る直線がこの円と
2点A,Bで交わり、Pに近いほうの点をAとする。
また、円Oの中心をOとする。OP=10、AB=6のとき、PAの長さを求めよ。

解答　2

何をすればよいか全くわかりません。
お願いします。

790 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 05:26:08 ID:VGKbQN350
>>789
普通に方べきの定理を使えばよかろ

791 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 05:47:00 ID:r5Bk4Jkj0
>>790
方べきの定理ですか！　ありがとうございます。
しかしながら計算式が立てられません……

792 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 05:50:00 ID:VGKbQN350
>>791
OPと円との2交点をPに近い側からC,DとすればPC=5,PD=15
あとは方べき

793 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 05:57:53 ID:r5Bk4Jkj0
>>792
わかりました！
手取り足取りありがとうございました！

794 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 08:22:37 ID:LKErcFqyP
俺も「互いに素」を使わない解法を‥

√2が有理数であると仮定して，√2=p/q（p,qは整数）とおく．

両辺平方して分母を払うと，
　2q^2=p^2
となるが，

左辺は素因数が奇数個，右辺は素因数が偶数個となり矛盾．

795 名前：775[] 投稿日：2008/04/23(水) 08:55:10 ID:YNI7on/jO
√2や√3が無理数であることに納得がいかないんじゃなくて、(m,nが互い素)って限定してるのが納得いかないんです。

有理数が、互いに素なm,nでm/nと表せるのはわかります。
だけど互いに素じゃなくても、例えば6/2でも3になってこれは有理数なんで、m,nが互いに素じゃなくても有理数なんだからそこの矛盾をついて背理法を・・・ってのがどうもよくわからん。

796 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 09:04:33 ID:jGod2wYl0
√2が有理数だったとしたらその「値」は一通り。
7/5であり14/10であり21/15であることはありうるけれど、
これらと同時に29/20であることはありえない。

そして、一定の値であるならば、それを代表するものとして
既約分数になるものを選んで、√2=（既約の）p/q の形で書ける。

逆に、「√2=(既約でない)r/s の形でしか書けない」なんてことは
そもそもあり得ないでしょ、と。だから、等しい既約分数が必ず
存在するはず、として論を進めて構わない。

といった意味のことが既に指摘されてるんだが、↑のどこが
納得が行かないのか、明確に指摘して欲しーの。


797 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 09:13:47 ID:uo2hWMA90
有理数と整数を混同しているんだと思われ

798 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 09:16:42 ID:GdU9EZZN0
マジックのタネをしこんでるみたいでどうも、って感じでないの?
素でないまま進めて途中で最大公約数で割っとけば?

799 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 10:45:30 ID:5G22V7MCO
曲線Ｃ：y=x^3-kx上の点P(a,a^3-ka)における接線lが
曲線Ｃと点Pと異なる点Qで交わり
点Qにおける接線が直線lと直交している。

(1)点Qの座標をaとkを用いて表せ。
これは分かりました。
答えは(-2a,-8a^3+2ka)です。

(2)kのとりうる値の範囲を求めよ。
この問題の模範解答は
点Qにおける接線の傾きは12a^2-k
接線が直交する条件は
(3a^2-k)(12a^2-k)=-1
ゆえに36a^4-15ka^2+k^2+1=0…①
a^2=t(t≧0)とおくと
36t^2-15kt+k^2+1=0…①'
(☆)①を満たす実数aが存在する条件は①'が0以上の解を少なくとも1つもつことである。
その条件は２つの解の積についてk^2+1/36>0であるから
①'の判別式をＤとすると
Ｄ≧0かつ２つの解の和について15k/36>0
ゆえにk≦-4/3,4/3≧kかつk>0
よって≧4/3…答

と書いてあるんですが
(☆)以降の意味が分かりません
どなたか回答をお願いします

800 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 11:04:12 ID:jGod2wYl0
(☆)を（多分間違いであろうところも直した上）書き換えると
①を満たす実数aが存在すること⇔①'を満たす0以上の解が1つ以上存在すること
（①と①'は、a^2=tと置き換えただけの関係）

→：①のを満たすあるaを2乗すれば①’の解を1つ得ることができるから言えている
←：①'に0以上のある解ｔが少なくとも1つあれば、±√ｔが①を満たす実数解として得られる
（負の解になるｔがあっても、①の実数解は作れないから不適）

これに相当するのは、重解は2つの解と考えて
・実数解が存在すること、
・「2つの解が正と負」または「2つの解がともに正」のどちらかが成り立つこと
ところが、解と係数の関係から二つの解の積は(k^2+1)/30>0が決まっているので
正負の解1つずつ、はありえない。

実数解存在の条件は D≧0
二つの解がともに正である条件は（積が性だと分かっているので）和も正ならばOKで、
15k/36>0　
結局、これらを同時に満たすことが、①を満たす実数aが存在する条件ということになる。


801 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 11:05:37 ID:jGod2wYl0
↑ごめんなさい、元からちゃんと’も付いてましたね。1行目の()内は無視してください。


802 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 11:20:46 ID:YNI7on/jO
>>796
既約分数になるものを選んで既約のp/qで表せるけど、既約でない分数でも有理数ですから、例えば互いに素でない3/9でも有理数になるんでどうも・・・


＞等しい既約分数が必ず存在するはず
ってのが、存在するのはわかるけどよく意味がわからないです

803 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 11:54:42 ID:jGod2wYl0
>>802
では、こう考えたらどう?　まず、証明すべき課題を

「√2が既約分数として表せないことを証明せよ」
(ここで既約分数とは、互いに素な二つの整数の商として
　表される数のこと、ただし除数は0以外）

と読み替える。これは、もとの命題より(一見)より強い制約が
課されたもの。そして、これだったら全く文句なく、>>774の証明は
なりたつでしょ。

そして、これと別に、次の命題、ある数aに対して、
「aは有理数である⇔aは既約分数として表せる」
も、あなたは真として認めている。これは必要十分条件の形だから、
「aは既約分数として表せない⇔aは有理数ではない」
も言える。

では何がいえたか。
最初の証明結果から、√2は既約分数の形で表せないことがいえた。
そして、次の同値関係から、√2は結局有理数ではないことが言える。


804 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 13:18:19 ID:YNI7on/jO
>>803納得できました！
ありがとうございました。
ID通りネ申なお方でした・・・

805 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 13:47:17 ID:vhQnYbd20
785の者です
>>788さん　
ありがとうございました＞＜
どうにか理解することができました＾＾

806 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 16:19:32 ID:6o9UXDPMO
数列1,2,3,･･･,nにおいて、互いに相異なる2数の積の総和を求めよ

お願いします

807 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 16:43:45 ID:jGod2wYl0
(1+2+3）（1+2+3） を分配法則で展開した場合、9組の積ができるが、
1-1 2-2、3-3 の組み合わせの積（マイナスでなくハイフン）は、
「相異なる2数の積」にならない。

残りの6つの積は、1-2、2-1 / 1-3、3-1 / 2-3、3-2の組み合わせを
1つずつ含む。ということは、これら6組全部を掛けて足すと、
1,2,3から相異なる2数を取った積の総和の2倍になる。

ってことは、{(1+2+3)^2 - (1^2+2^2+3^2)} /2 で、n=3の場合が計算できる
ことになる。これを一般化すればいい。

なお、
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207443206/556-558
にほぼ同じ問題の質問と解答あり。



808 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 18:50:15 ID:gmG4VxCF0
おおちんたらhttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207443206/556-558

809 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 18:50:49 ID:gmG4VxCF0
すみません　間違えました

810 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 22:13:27 ID:ZQQMRGH+0
半径１の円の面積っていくつですか

811 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 22:17:23 ID:JakrFssHP
>>810
３

812 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/23(水) 23:07:28 ID:e+6EEpXqO
黄チャ2Bのpractic170なんですが、
n
(3n+1)Σ1
k=0

見にくくてすいません。これが(3n+1)(n+1)となることが理解できません。な(3n+1)nではなく、(3n+1)(n+1)なのでしょうか？

813 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 23:12:40 ID:VGKbQN350
>>812
0からnまでのn+1回1を加算するからΣ[k=0,n]1=n+1

814 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/23(水) 23:13:35 ID:jGod2wYl0
>>812
どんな式かまったくわからない。

このスレ>>1のリンク先
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

や、数学板のほうのテンプレ
■ 数列
　a[n] or a(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 1 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a(k)　　 　 → 数列の和

を参考に書き直して。


815 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 05:07:46 ID:DuwjamKr0
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
x，yを実数とする時x^2+y^2+xy－2x－y＋1≧0

因数分解しようにもうまくできません。
お願いします。

816 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 05:42:21 ID:imvbwMTR0
xについての2次式と見て平方完成
次に残りの部分をyについての2次式と見て平方完成
多分2乗+2乗になるから、どっちも0になるような条件のとき等号成立だ

817 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 06:03:19 ID:DuwjamKr0
>>816
(x-1)^2+y^2+(x-1)y≧0
となってうまくたすきがけができません。
すみません……

818 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 07:07:04 ID:lbmPoUX70
xが平方の外に残ってはダメ

819 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 08:58:40 ID:I/3I93HkO
これわかる人教えてください

ｆ（０）＝１で、ｆ（ｘ＾）がｆ（ｘ）で割り切れるような２次式ｆ（ｘ）をすべて求めよ.


820 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 09:30:07 ID:OktdwpqrO
>>819
ｆ（ｘ＾）
↑この部分の意味が分からない。問題文よく読んで、正確に写してくれ。

821 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 09:32:49 ID:I/3I93HkO
820 すみません

そこはエフ エックスの２乗です

822 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 09:45:50 ID:S7miUq2A0
計算はﾁﾄ面ドイから方針だけ。
f(x)=ax^2+bx+c（a≠0)と置く。f(0)=1だからｃ＝1になるからあとは割り切れる条件からa,bをもとめればよろし
多分・・・

823 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 10:01:31 ID:OktdwpqrO
>>821
携帯だから計算できなくて済まない。
求める2次式をf(x)=ax^2+bx+cと置くと、f(0)=1から、c=1。
次に、f(x^2)=ax^4+bx^2+1をf(x)=ax^2+bx+1で割る。
そうすると、余りがp(a,b)x+q(a,b)の形でかけると思うから、p(a,b)=0、q(a,b)=0の連立方程式をとけばいい。


824 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 11:18:26 ID:G4bmUeDU0
坂本龍一
｢いつまでも聴いていてもあきないな。インドのタブラのようでもあり、ある種の恒星が発するリズム
のようでもあり、それらに共通するのは、宇宙はとても数学的に聴こえるということかな｣

Alva　Notoの別名義<アレフワン>無限の概念と柔らかなアコースティック、サウンドの美学を取り入れた
エレクトロミュージック。

Carsten Nicolaiの新プロジェクトaleph-1(アレフワン)は19世紀末に集合論という数学の基礎論を
創設した数学者のゲオルク･カントルの理論を用いたものです。

坂本龍一 + Alva Noto - Moon
http://jp.youtube.com/watch?v=Fh0AaTOfkIc&feature=related
aleph-1 / aleph-1＜試聴＞
http://www.inpartmaint.com/pdis/pdis_label/PDIP-6500.html
Alva　Noto
http://www.alvanoto.com/
Carsten Nicolai
http://www.carstennicolai.com/

825 名前：修行少女 ◆DmRWTLB7sM [sage] 投稿日：2008/04/24(木) 12:22:50 ID:454E0VXgO
>>815
x^2+y^2+xy-2x-y+1
=x^2+(y-2)x+y^2-y+1
=[x+{(y-2)/2}]^2-(1/4)(y-2)^2+y^2-y+1
=[x+{(y-2)/2}]^2+3y^2/4≧0
等号成立はx=1、y=0のときねっ！

826 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 14:06:26 ID:rRsJ7GTzO
X^2+kX+3…①
X^2+X+3k…②
が共通の実数解をもつようにkの値を定めよ

って問題で、②×X-①×3
でkを消去してとくときは、②にXをかけてるから、X≠0って条件がつくんですか？

827 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 14:25:48 ID:JaBgyE3iO
X^2+kX+3=0…①
X^2+X+3k=0…②
①-②より
(k-1)x=3(k-1)
(ア)
k=1のとき
①②はX^2+X+3=0
xは虚数となり不適
(イ)
k≠1のとき
x=3より
①に代入してk=-4

828 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 15:02:56 ID:AyLAvNf1O
x,yを整数とし、m,nを0以上の整数とする
x≧0,y≧0かつx/3+y/5≦mをみたす格子点（x,y）の総数を求めよ

これはx=kと置いて解けますか？？

829 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 15:26:14 ID:rRsJ7GTzO
>>827その解き方はわかるんですけど、
>>826のやり方で解く場合は、0をかけたらいけないからx=0の場合は除いてるのかな・・・と・・・

830 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 16:18:31 ID:yeW+icgk0
>>８１９

f(x)=ax^2+bx+1とおいて、もちろんa≠0。
b=0ならa=-1はすぐわかるので、b≠0とすると、a=(2/b)-b、
あとはbの二次方程式をといてb=-1±√3

f(x)=-x^2+1，2x^2-(1±√3)x+1　の3個。

であってるかね。


831 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 16:28:23 ID:uamRmAe1P
>>827
k=-4がでた後，十分性（共通解を持つこと）の確認がいるだろ！

832 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 16:33:42 ID:I/3I93HkO
お願いします
ｘ＾5＝１のとき

２ｘ＋（１／１＋ｘ）＋（ｘ／１＋ｘ＾2）＋（ｘ＾2／１＋ｘ＾3）＋（ｘ＾3／１＋ｘ＾4）

833 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 16:55:52 ID:AyLAvNf1O
828をお願いします

834 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 18:08:22 ID:rRsJ7GTzO
>>831参考書などによくそういうような、確認がいるって書かれているんですが、どういうときなんですか？
十分条件がどうとかさっぱり・・・

835 名前：間違ってたらスマソ[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 18:11:05 ID:Gq8X6HwT0
>>828
m≧1のとき
1+∑[k=1～m](15k-3)=(15m^2+9m+2)/2
これはm=0でも成り立つ．

答え　(15m^2+9m+2)/2　個　てかnて関係あるの？

836 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 18:27:41 ID:Gq8X6HwT0
必要条件、十分条件、同値変形でググるんだ！
どっかにわかりやすいサイトがあるはず。

837 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 19:04:02 ID:nGs3mOld0
>>832
>>1

838 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 19:17:12 ID:DuwjamKr0
>>818
遅れましたがありがとうございました！

839 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 19:20:22 ID:bNAV0TYNO
3次方程式 x^3-x^2-x-m=0 の3つの解が2､α､βである時 次の値を求めよ

m

α+β+2

mの値とα+β+2の値が両方わかりません。数学Ⅱの範囲の問題ですよろしくお願いします。

840 名前：間違ってたらスマン[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 19:31:23 ID:n3EfwL/g0
m=2
α＋β＋２＝１

841 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 19:34:54 ID:S7miUq2A0
帰宅序に答えますか・・・
xの解が2、α、βなんだからx=2を代入すればmが求まる。
mが求まれば与えられたグラフは描けるでしょ？
描けたグラフとx軸との交点がαβになるからそれ求めて足せばおｋ


842 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 19:35:48 ID:VbjjkbjJ0
>>839
解と係数の関係。これを覚えないとまじでやばいぞ。　　



843 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 19:37:59 ID:S7miUq2A0
解と係数度忘れしてました。
本当に有難うございました。


844 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 19:43:41 ID:wNXKJk930
多項式f(x)を(x-1)^2(x+3)で割ったときの余りが2x^2-5x+1
のとき、f(x)を(x-1)^2で割ったときの余りを求めよ。

解答では、
f(x)=(x-1)^2(x-3)Q(x)+2x^2-5x+1　と表した後すぐに、
(2x^2-5x+1)÷(x-1)^2　を計算しているのですが、何故このような流れになるのですか？

845 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 20:06:04 ID:VbjjkbjJ0
>>844
f(x)－（それ計算して出した余り）が（x－1)^2でくくれる。　　　　　　　　

846 名前： ◆765/Ghbb/w [sage] 投稿日：2008/04/24(木) 20:17:46 ID:ukLfwpRM0
｛問題｝　a>0とする。関数f(x)=x^3-6x^3＋9x(a≦x≦2a)の最大値を求めよ。
｛解答｝　0<a<1/2 のときx=2aで8a^3-24a^2＋18a
　　　　　 1/2≦a<1のときx=1で4
　　　　　 1≦a<(9＋3√2)/7のときx=aでa^3-6a^2＋9a
　　　　　 a≧(9＋3√2)/7のときx=2aで8a^3-24a^2＋18a

お聞きしたいのは定義域が変化する際の変わり目をどっちに振るかなのですが、

　　　　　 1/2≦a<1のときx=1で4
　　　　　 1≦a<(9＋3√2)/7のときx=aでa^3-6a^2＋9a

を
　　　　　 1/2≦a≦1のときx=1で4
　　　　　 1<a<(9＋3√2)/7のときx=aでa^3-6a^2＋9a

のように不等号を変えてもいいのでしょうか？解答では右側優先になっているのですが・・・。


847 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 20:53:06 ID:4KIaiFpT0
>>834
「もし解が存在するとしたら、その解はこれこれの条件を満たす必要があるはずだ」
ということだけで導いた解は、本当に元の設定を満たせるかどうかは保証されていない。
実際にちゃんと元の設定を満たしているかどうか、確認が必要になる。

たとえば「進学先は、医学部がある総合大学で、自宅から1時間以内で通えるところ」
という設定で、まず「自宅から1時間以内で通えるところ」（必要条件）で絞ったら
1校になったとする。もちろん、1つに絞れたからといってそれが進学先としての
要件を満たすとは限らない。絞り込めた対象を実際にチェックして、「医学部がある
総合大学である」ことを確かめる必要がある。それと同じこと。

>>846 問題ない。


848 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 21:01:39 ID:RtltHZhAO
>>814
すいませんでした。気をつけます
>>813
この式とΣ(k=0 n)kを足しているんですがこの式ではn(n+1)と普通になっていて、(n+1)(n+2)とn+1になっていのはなぜでしょうか？

849 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 21:05:01 ID:EWtPbTNTO
数列｛An｝の初項A1から第n項Anまでの和をSnと表す。
A1＝1、lim［n→∞］Sn＝1、n(n-2)An＋1＝Sn (n≧1)
を満たすとき、一般項Anを求めよ

一応写真貼っておきます
64番です
http://imepita.jp/20080424/758250

850 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 21:11:25 ID:ukLfwpRM0
ありがとうございました！

851 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 21:18:42 ID:oJIXbeT+0
>>849
左辺=B_nとすると
B_n=S_n、B_{n-1}=S_{n-1} (n≧2)として辺々ひくとB_n-B_{n-1}=A_n
n=2でB_nの中身のn-2が0になるのを避けたいのでn≧3としてあとは計算
n=1、2で成りたたければA_1、A_2を求め、そうでなければ一般項A_n(n≧1)とすればよい。


852 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 21:29:25 ID:EWtPbTNTO
>>851
計算はゼンカ式でOKですか？

853 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 21:43:55 ID:nGs3mOld0
>>848
>この式ではn(n+1)と普通になっていて、
何が普通なのか？
Σ[k=0,n]k=n(n+1)/2なのだが

何がわからんかちゃんと書いてくれ

854 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 21:57:37 ID:wNXKJk930
>>845
よく考えてみてなんとか理解出来ました。
ありがとうございました。

855 名前：834[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:04:19 ID:RTCGEHBM0
>>847無茶苦茶わかりやすい！
ありがとうございました。

教科書見てもそのことについて説明のってなかったんですが、どこでそういうのを知るんですか？
参考書みても解説で元の設定を満たしているかどうかは確かめてるんですが、その理由がいつも書いてないです。

856 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:06:24 ID:ukLfwpRM0
>>844

の答えって(x-3)Q(x)-2x-2からどうすればいいんですかね・・・。
上の質問気になっちゃって・・・。

857 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 22:11:47 ID:JaBgyE3iO
>>831以降ちょっと自分の解答に疑問抱かせてすいません。
十分性紙には書いたつもりでしたが移し忘れましたm(_ _)m以後気をつけます。
あと、指摘してくれてありがとうm(_ _)m

858 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 22:17:17 ID:KcNhlvzJ0
>>830
-x^2+1, x^2-2x+1, x^2+x+1の３つ

859 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 22:24:14 ID:KcNhlvzJ0
>>826
方程式で書くべき
①=0はX=0を解としない
一般にX=0であっても②×X-①×3を実行していけないわけではない
X≠0という条件は付かない

860 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:32:41 ID:wNXKJk930
>>856
解答では、(2x^2-5x+1)÷(x-1)^2の結果より、
2x^2-5x+1=2(x-1)^2-x-1　となるので、これを(x-1)^2(x-3)Q(x)+2x^2-5x+1　へ代入して、
(x-1)^2でくくって余りを求めています。

861 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 22:35:33 ID:KcNhlvzJ0
>>828
解けるがx=3k+r (r=0,1,2)の方が良い
また(0,0), (3m, 5m)を対角線とする長方形を考え
対角線上の格子点（m+1個）を数える方法もある

862 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:37:56 ID:ukLfwpRM0
余りは-x-1でいいんですかね・・・。

863 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/24(木) 22:42:05 ID:mELP6bwT0
(Ａ＋３)(－Ａ－４)＝－(Ａ＋３)(Ａ＋４)であってます？

864 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:43:39 ID:nGs3mOld0
>>863
よい

865 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:48:37 ID:4KIaiFpT0
>>855
進学先うんぬんは即興で考えた例えだけど、分かりやすかったのならこちらも
嬉しいです。参考書での「十分性の確認」の解説ですけど、少なくとも
「本質がつかめる」（現在の「本質の研究」の前身）には、コラムの形で、実例を
使った説明がありました。必要条件だけで解の候補が一通りに絞れるけれど、
十分性を確認したらダメで、結局解なしなんてことがありうるんだよ、という感じで。

最初にこの手の説明を読んだのは自分の頃（大昔）の赤茶か、Z会の教材か
だったような気がする。数Aで論理をやる以上、その知識から分かるはず、
という理屈は確かに成り立つんだけど、やっぱり初出の際には十分な説明が
あってしかるべき、というのには強く賛成します。



866 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:53:44 ID:wNXKJk930
>>862
合っています。

867 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/24(木) 22:56:22 ID:ukLfwpRM0
ありがとうございます。スレ汚して申し訳ない。

868 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/25(金) 01:06:08 ID:7XpWJjyYO
3桁の整数のうちで14と21の公倍数は全部で何個あるか

これどうやるんですか。

869 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 01:08:38 ID:+06R/MtY0
14と21の最小公倍数は42だろ？
ってことは14と21の公倍数は42の倍数ってことだ。

よって
100≦42k<1000
を満たす整数kの個数が求めるものである。

870 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 13:11:06 ID:gjYiW8GG0
Aには4，6，6の数字が書かれたカードを、Bには1，3，5，7，7の数字が書かれたカードを、
それぞれ一枚ずつ配る。A、Bがそれぞれのカードを無作為に一枚ずつ出すとき、
Aの数字がBの数字より小さい確率を求めよ。

試行の結果は、3x5=15(通り)
[1] Aが4のカードのとき、Bは5，7，7のカードであるから　3C1 x 5C3
よって、その確率は　(3C1 x 5C3) / 3x5
と、組み合わせを使って考えていくと、分母＜分子となってしまうのですが、
何が悪いのでしょうか？
どなたか、よろしくお願いします。

871 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 13:15:22 ID:U3mpx0WM0
むずかしく考えすぎなんじゃかな？
樹形図で解けない？


872 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 13:24:18 ID:nKs8Pn910
>>870
3C1×5C3が意味不明
Aが4ならBは5,7,7の3とおりだろが

873 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 13:28:17 ID:U3mpx0WM0
補足；多分3C1が悪い。

874 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 13:50:43 ID:1p4nRIyP0
>>870.873
5C3も意味不明。
同じ数値のカードをa,bをつけて区別すると、
例えば、「Aが6」の組み合わせは
6a-7a、6b-7a、6a-7b、6b-7b の4通り。
この場合の数は
「3枚から2枚選ぶ時の場合の数」×「5枚から2枚選べる時の～」ではない。

「Aが6」という条件を満たせるカードはAの中に6aと6bの「2枚」があり、
そのうち「どちらか1枚を」選んでいるんだから 2C1。

同様に、Aが4であるときのBの選択も、「5枚から3枚選んでいる」のではなく、
「条件を満たす3枚、5、7a、7bのうちから1枚」を選んでいる。


875 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 13:57:51 ID:LAkkiaMS0
>>870
>>８７１の言う通り、樹形図から勉強やり直す、に一票

876 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 14:33:16 ID:gjYiW8GG0
>>871~875
すみません。ありがとうございます。

877 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/25(金) 17:05:26 ID:/6mSyTwg0
1から20の相異なる数がそれぞれに書かれた20枚のカードがある。このとき，下の問に対して，考え方を述べ，求める確率を既約分数で表せ。

A君が2枚をでたらめに選び，その後，残りの18枚のカードからB君が5枚をでたらめに選ぶ。このとき，A君の2枚のカードの2つの数値がB君の5枚のどの数値よりも小さくなる確率を求めよ。

答えが略解が1/21としかなく困っています。
<途中まで考えたこと>
B君の引くカードの数で一番小さい数字をkとすると残りの4枚の組み合わせはC[20-k,4]
A君の引くカードの組み合わせはC[k-1,2]
3≦k≦16だから
Σ[3,16]C[20-k,4]*C[k-1,2]
全体ではC[20,2]*C[18,5]だから

求める確率は
Σ[3,16]C[20-k,4]*C[k-1,2]/C[20,2]*C[18,5]=1/21 になるはずなのですが分子の
Σ[3,16]C[20-k,4]*C[k-1,2]をどうすれば計算できるのでしょうか。

878 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 17:10:45 ID:1p4nRIyP0
>>877
途中まで考えたところを全く考慮しない説明で申し訳ないが。

この設定は以下で述べる設定と等価。
20枚から7枚をまず選び、Aに2枚、Bに5枚渡す。Aの2枚が
いずれもBの2枚よりも値が小さい確率を求めよ。

どんな7枚を最初に選んでも、その中に最小の2枚がある。
この特定の2枚がAにわたる確率を考えればいい。

7枚のカードからAに渡す2枚を選ぶ場合の数はC[7,2]
このうち1通りだけが条件を満たすから、それが起きる確率は
1/C[7.2] = 1/21 ■


879 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/25(金) 17:24:46 ID:/6mSyTwg0
>.>878
ありがとうございました。

880 名前：間違ってたらスマン[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 17:48:40 ID:LAkkiaMS0
>>877
> Σ[3,16]C[20-k,4]*C[k-1,2]をどうすれば計算できるのでしょうか。

結局、これが聞きたいだけならば、アドバイスとしては
・地道に手計算でやってください。
・何かうまいことアレできる公式があるなら使ってください。
・コンピュータ使えるなら、使ってください。
・いずれにせよ、がんばってください。
としか言えない。
ちなみに計算したら
Σ[3,16]C[20-k,4]*C[k-1,2]/C[20,2]*C[18,5]
=77520/1627920
=1/21
でちゃんと正解でした。

たぶん>>878が良いと思うけども。

881 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 18:04:34 ID:Zl6D57IYO
>>865そうなんですか。本質の研究つかってるんですが、その解き方は納得いかないらしく、その問題は別の解き方をつかってました。
書店に行ったときにいろいろなやつをみてみようとおもいます。

どうもありがとうございましたm(__)m

882 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/25(金) 18:18:35 ID:6BrADFCrO
等差数列｛a[n]｝はa[1]=1a[21]=-2を満たす。
（1）a[n]≧0であるような最大のnを求めよ。
（2）b［n］=na［n］としてS［n］=Σ_[k=1,n]b［k］最大値を求めよ。

（2）が微妙なのでお願いします

883 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 18:31:38 ID:1p4nRIyP0
>>882
n≧2でS[n]=b[n]+S[n-1] だからb[n]が負になるとS[n]<S[n-1]
b[n]=n*a[n] で、ｎ倍しただけでは正負は変わらないから、
要はa[n]が正である最後のｎを考えて、そこまで足せばいい。
これは(1)でもう求めてある。


884 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/25(金) 18:57:08 ID:6BrADFCrO
>>882

（2）はn=1,2,3･･･の範囲です

885 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 19:13:11 ID:x/svVwO+O
｢2008!を計算すると、一の位に0が連続する部分が現れるが、一番多い部分でいくつ現れるか。｣

ヒントは中学数学の知識で解けるということなんですが、サッパリ分かりません。よろしくお願いします。


886 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 19:28:55 ID:EoBbMEbW0
0が続く数だけ10で割り切れるというのは明らかに分かると思う
では、その中から2*5をいくつ取り出せるのか、ということが問題になる
因数としては2より5の方が圧倒的に少ないことは分かるだろう。後はいいな

887 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 21:46:01 ID:GBdJec6D0
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888 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 22:12:34 ID:CZLIq9/g0
x^n(ｎは自然数)をx^2-1で割った商 Q(x)を求めよ、という問題で、
x^ｎ=(x-1)(x+1)Q(x)+x (ｎが奇数の時) , x^n=(x-1)(x+1)Q(x)+1 (ｎが偶数の時)
と、ここまでは出たのですが、ここからどうすればいいのかわかりません。
例えばｎが奇数の時、余りxを左辺に移項し、両辺を(x-1)(x+1)で割るのは
x=1やx=-1の時は0で割ることになってしまうので駄目ですよね…
場合わけをしてQ(1)やQ(-1)を別に出そうとしてもうまくいきません。
よろしくお願いします。

889 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 22:27:24 ID:vLkYNzeU0
x^ｎ=(x-1)(x+1)Q(x)+ax+b
と一般化して考えちゃだめなんかな

890 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 22:41:04 ID:nKs8Pn910
>>888
x^2-1で割ることを考えているのだからx=±1は考慮しなくてよい

891 名前：間違ってたらスマン[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 22:42:23 ID:LAkkiaMS0
>>888
> x=1やx=-1の時は0で割ることになってしまうので駄目ですよね…

「x^2-1で割った」と問題文中にある以上、x^2-1≠0（つまりx≠±１）は明らかとしてよい。
特に指示がなければそのまま割り算して答えでいいんじゃないか？
分数の形じゃダメとかいう縛りでもあるの？

答 kは自然数として、
　n=2k-1　⇒　Q(x)＝( x^(2k-1) -x )/(x^2 -1)　
　n=2k　　　⇒　Q(x)＝( x^2k -1 )/(x^2 -1)

892 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 22:42:51 ID:LAkkiaMS0
アア、カブッタ、、、スマソ

893 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 22:47:35 ID:CZLIq9/g0
>>889>>890>>891
なるほど…最初にx^2-1で割っているからx^2-1≠0としていいのですね…
よく計算式に夢中になりすぎて基礎条件を落としてしまうので本当に何とかしたいです…
ありがとうございました。

894 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 23:06:43 ID:1p4nRIyP0
>>891　まあ、分数の形を避けて、
n=2k-1のとき Σ[l=1.k-1]x^(2l-1)
（=x^(2k-3)+x^(2k-5)+…+ｘ）

n=2kのとき、Σ[l=0.k-1]x^(2l)
（=ｘ＾(2k-2)+x^(2k-4)+…+1）
としておく手もある。


895 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/25(金) 23:42:13 ID:NQrb1jy1O
質問です

1辺の長さがaである正方形ABCDを底面とする正四角錐Vに対し
底面上に中心を持ち、Vの全ての辺と接する球Bがある。
(1)Vの高さを求めよ
(2)VとBの共通部分の体積を求めよ

(1)は分かるんですが(2)の解説が
四角錐の頂点をT、円の中心をO、辺AB、CDの中点をM、Nとする。
Oから線分TMに下ろした垂線の足をIとすると
OI=(OM×OT)/TM=a/√6
よって、円x^2+y^2=(a/2)^2のx≧a/√6の部分を
x軸のまわりに1回転した立体の体積をWとすると
『(BとWの共通部分の体積)=1/2(Bの体積)-4W』=(7√6/54-1/4)a^3π
のようになってますが『』の部分がわかりません
Bを半分にして半球として考えているんだから
引くのは4Wじゃなくて2Wだと思うんですが。

896 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 00:11:04 ID:UK8yRn1d0
>>895
四角錘のVを共有する面は4面あるから4面からはみ出た半球の体積4つ分だから4Wで問題なし

897 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/26(土) 00:51:44 ID:9hISddskO
恥ずかしい話だが、二次曲線を書くのがすごい下手だ。
楕円とか双曲線ってみんなどうやって書いてる？

898 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 01:07:50 ID:yMr1RdmX0
>>897
デッサンの練習でもしろ

899 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/26(土) 01:23:02 ID:vT2tc+khO
>>896
理解出来ました。
ありがとうございます。

空間図形はどうも苦手だ…
数こなしたいんだけど問題集にも数問しか載ってないし…

900 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/26(土) 07:23:49 ID:RWh0qj+x0
900ゲト

901 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 12:19:59 ID:CLvWkcLLO
(3x+x^3-2x^2-4)(x^2+2x+1)と
(2x^3+x+7)÷(2x+x^2+1)
の答えを教えて下さい。お願いします。
xはエックスのことです。

902 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 12:35:37 ID:2vVeU3gl0
>>897
双曲線の場合は漸近線を先に書けばいい　

903 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 12:58:45 ID:yTqAmPxU0
>>893
>最初にx^2-1で割っているからx^2-1≠0としていい
多項式の割り算ではxに数が代入されているわけではないので気にしてはいけない
（多項式は多項式という数学的対象であって、関数でもなければ値でもない）

904 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 13:00:33 ID:yTqAmPxU0
>>891
>分数の形じゃダメとかいう縛りでもあるの？
多項式の割り算の商は多項式でなくてはいけないので
>>894の形でなければ答えとして不適当

905 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 15:40:24 ID:ZNjB9rHN0
指数の不等式の問題について質問します。

問題　：　2^2x-4≦2（2^（x+2）-8）

まず、2^xをtとし、次の式を立てました。

　　t^2-8t+12≦0

これを解くと、

　　2≦t≦6

となり、6をどう処理すれば良いのか分からなくなりました。
そもそもtとするところから間違っているのでしょうか。
どなたかよろしくお願いします。

906 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 15:49:24 ID:2vVeU3gl0
>>905
対数

907 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/26(土) 15:50:12 ID:pR3wgjhp0
>>905
演算順序として＾は掛け算より優先するから、2^2x = 4ｘに見える。
2＾(2x)のように書くべきだったと思う。が、それはそれとして。

a>0でa≠1として、a^x=y だったら x=log_[a](y) なんだが。
万一対数未習だったら、その問題に手を出すのはまだ早い。
指数・対数が完結してから取り組むべし。



908 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 15:54:20 ID:duKZ4QGUO
>>905
他に問題に与えられてる条件ないの？

909 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 15:55:34 ID:duKZ4QGUO
>>905
とりあえず
１≦ｘ≦１＋log(2)３

910 名前：905[] 投稿日：2008/04/26(土) 16:14:47 ID:ZNjB9rHN0
レスありがとうございます。
そして紛らわしい書き方で申し訳ありません。
実は、対数を取るというやり方はやってみました。
結果は>>909さんと同じになったのですが、
log(2)３という数字が気になり、勝手にこの答えは間違っていると考えていました。
初めからそのことも書いておけばよかった、と反省しています。

お騒がせしました。これで解決です。
ありがとうございました。

911 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 16:30:57 ID:QxYSITYIO
x，y，zは互いに異なる実数で
x＋1/y＝y＋1/z＝z＋1/x
が成り立つものとする. このとき上の等式の値は1またはｰ1であることを証明せよ.
これどうやるん？

912 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 18:42:36 ID:yTqAmPxU0
>>911
式の値をkと置くと
xy+1=ky
yz+1=kz
zx+1=kx
より
y(x-z)=k(y-z)
z(y-x)=k(z-x)
x(z-y)=k(x-y)
辺々掛けてx,y,zが異なるという条件からxyz=-k^3を得る
さらに
xyz+z=kyz
xyz+x=kzx
xyz+y=kxy
より
z-x=kz(y-x)
x-y=kx(z-y)
y-z=ky(x-y)
辺々掛けてx,y,zが異なるという条件からxyzk^3=-1を得る
よってk=±1

913 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 18:46:47 ID:yTqAmPxU0
または
x+1/y=kよりy=1/(k-x)
z+1/x=kよりz=(kx-1)/x
をy+1/z=kに代入することで
(k^2-1)(x^2-kx+1)=0
を得るのでk=±1またはx=(k±√(k^2-4))/2
後者の場合x=y=z=(k±√(k^2-4))/2となるため不適
よってk=±1


914 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 18:52:22 ID:yTqAmPxU0
なおk=±1の場合に
k=1のとき(x,y,z)=(2,-1,1/2)
k=-1のとき(x,y,z)=(1,-1/2,-2)
と解が存在する（実際は不定）

915 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 19:20:26 ID:QxYSITYIO
ありがとうございます

916 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 20:44:16 ID:Y3E9/SuDO
（1）a+b≧a^2-ab+b^2をみたす正の整数の組（a,b）をすべて求めよ。
（2）a^3+b^3=p^3をみたす素数と正の整数は存在しないことを示せ。
お願いします

917 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 21:12:26 ID:bOP06u/OO
>>916
セレクト頑張れ

918 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 21:21:00 ID:5N+WAIkd0
代ゼミ荻野の数学の問題ですが、予習で行き詰ってます。場合の数はやっぱり
苦手意識が;;

正n角形と各頂点から放射状に伸ばした線とで区分けされ、方向の固定され
た図を『n角地図』と呼ぶことにする。n角地図を異なる4色で塗り分ける場合
について答えよ。同じ色は何回使ってもよく、使わなくてもよい。隣合う領域
とは異なる色でなければならない。

小問は2つで、(1)は3角地図と4角地図を塗り分ける場合を求めさせる誘導問です。
最終的にn角地図(n≧3)を塗り分ける場合の数を求めよとのことです。

919 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 21:22:04 ID:qD5a9sQfO
数学Ⅲ･Ｃを今年から初めてやるんですが、どう勉強すればいいですか？

920 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 21:32:30 ID:yTqAmPxU0
>>916
(1)aの２次不等式と見て解の存在する条件を判別式で表すと
D=-3b^2+6b+1≧0
これを解くとb=0,1,2
それぞれについて
b=0: a=0,1
b=1: a=0,1,2
b=2: a=1,2
正の整数なので(a,b)=(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)
ちなみに(a,b)は45°傾いた楕円内の点

(2)pが素数でa,bが正の整数？
(a+b)(a^2-ab+b^2)=p^3よりa+b>1はpの倍数kpと表せ
k(a^2-ab+b^2)=p^2よりk=1もしくはkはpの倍数lpと表せる
k=1のときp^2=a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=p^2-3abで不適
l(a^2-ab+b^2)=pよりl=1もしくはlはpの倍数mpと表せる
l=mpのときm(a^2-ab+b^2)=1よりa=b=1で不適
l=1のときa+b=p^2, a^2-ab+b^2=p^3より3a^2-3p^2a+p^4-p=0
判別式D=3p(4-p^3)<0より解なし

921 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 21:39:55 ID:yTqAmPxU0
>>918
各頂点からいくつの半直線が伸びる？
半直線は正n角形の辺と重なるもしくは正n角形の内側を向くこともある？
方向が固定されるとはどういう意味？


922 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 21:47:00 ID:5N+WAIkd0
>>921
細かい指定はありませんが、外側に放射状に1本ずつ伸びています。辺とは
重なりません。
方向が固定というのは、多角形に対して「上」が決められているということです。
1パターンの配色について、それを回転してできる配色も場合の数に含めるという
ことだと思います。



923 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/26(土) 21:52:10 ID:Y4MQP+Jp0
>>919
教科書を理解するところから

924 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 21:58:28 ID:yTqAmPxU0
>>922
半直線同士が交わることはない？

925 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 22:03:24 ID:5N+WAIkd0
>>924
ありません。半直線について図形的な思考の余地はないですね。
単純な区間わけです。

926 名前：848[] 投稿日：2008/04/26(土) 22:06:17 ID:j/nW/CuPO
>>853

nは自然数とする。座標平面上の三点(0,0)(3n,0)(0,n)を頂点とする三角形の周および内部にある格子点の個数を求めよ

という問題でして、

Σ(n k=0)(3n-3k+1)
=-3kΣ(n k=0)k+(3n+1)Σ(n k=0)1
=-3･1/2･n(n+1)+(3n+1)(n+1)

となっていて最後の(3n+1)(n+1)がわからないんです。

927 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 22:16:14 ID:FZAjf3R/O
>>926
K=1～nだったらn回たすんだからnかける

K=0～nだったら(n+1)たすんだから(n+1)かける


928 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 23:22:50 ID:yTqAmPxU0
>>925
思考の過程をできるだけ詳細に書いてみたい
原点中心半径1の円に内接する正n角形を最初の頂点が(1,0)であるように固定して図を書いたとする
外へ伸びる半直線は原点を通る直線の一部であるとし最初の頂点から順にl_1, l_2, … l_nと名前を付ける
領域それぞれに
(0)正n角形の内部
(1)正n角形の外部でl_1からl_2まで
…
(k)正n角形の外部でl_kからl_(k+1)まで
…
(n)正n角形の外部でl_nからl_1まで
と名前を付ける
塗り分けた状態で色名を入れ替えても塗り分けた状態になるので色名ではなくどこを塗る色であるかを区別して考える

まず正3角形の場合
領域(0)を塗る色をAとする
次に領域(1)を塗る色はAと異ならなくてはならないのでこれをBとする
次に領域(2)を塗る色はA,Bと異ならなくてはならないのでこれをCとする
次に領域(3)を塗る色はA,B,Cと異ならなくてはならないのでこれをDとする
これで塗り分けは完了であるのでA,B,C,Dに塗る色を決めていくとすると4x3x2x1=24通り

次に正方形の場合
(0): A
(1): B
(2): C
(3): B → (4): C, D
(3): D → (4): C
塗り分け方が3通りあり、3色使う場合と4色使う場合とがあるが4色中3色を選ぶ選び方も4色を選ぶ選び方も同じ24通りなので
3x24=72通り


929 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 23:23:28 ID:yTqAmPxU0
次に一般の場合
同様の方法を一般化することを考えると正方形の場合で見たような場合分けがどんどん複雑になることが予想される
そこでこのような場合に漸化式によって問題を解くことが常道の一つであるため(n-1)角形の場合とn角形の場合で比較してみる
また(0)に塗る色はここだけにしか使われないため(1)～(n)を残りの3色で塗り分ける問題であると考える
(n-1)角形の図が塗り分けられた状態でn角形の図の同じ番号の領域に色を移し新たにできる領域(n)をどのように塗るかを考えてみると
もとの領域(n-1)を塗っていた色と領域(1)を塗っていた色が異なっているため
(1): A
(n-1): B
とすると
(n): C
とするしかない
ところがn角形の場合の実際の塗り分けでは
(1): A
(n-1): A
(n): B, C
という場合があり得るため(n-1)角形の図と対応しないことがあると分かる
そこでこの場合は無理矢理(n-1)角形の図と対応させると領域(1)と(n-1)が同じ色となるわけなのでさらにこの2領域を1つにまとめて考えると(n-2)角形の場合の図と対応させられることが分かる

そこで次のように思考をまとめる
n角形の塗り分けの総数をa[n]とする
領域(n)の前後が別々の色である場合は領域(n)の塗り方は1通りとなり
(1)～(n-1)までの塗り分け方が(n-1)角形の場合の図の塗り分け方と同じになるので
この場合はa[n-1]通り
領域(n)の前後が同じ色である場合は領域(n)の塗り方は2通りとなり
(1)～(n-2)までの塗り分け方が(n-2)角形の場合の図の塗り分け方と同じになるので
この場合は2a[n-2]通り
よって漸化式は
a[n]=a[n-1]+2a[n-2], a[3]=24, a[4]=72
3項漸化式の解法の1つである補助方程式を使うと
t^2-t-2=0, t=-1,2
よってa[n]=2^(n+2)+(-1)^n・8
これはn=3,4の場合も含む

930 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 23:25:57 ID:CLvWkcLLO
x^4+6x^3+11x^2+6x-24って因数分解できますか？

931 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/26(土) 23:58:20 ID:yTqAmPxU0
なお3項漸化式を補助方程式で解くとは
a[n]+pa[n-1]+qa[n-2]=0に対して
t^2+pt+q=0の異なる2解（重解でなければ複素解でも良い）t=x, yによって
解と係数の関係よりp=-(x+y), q=xyと置けるので
元の漸化式を
a[n]-(x+y)a[n-1]+xya[n-2]=0
a[n]-xa[n-1]=y(a[n-1]-xa[n-2])
と変形できることより
b[n]=a[n]-xa[n-1]と置けば
b[n]=yb[n-1]と等比数列となることからb[n]=y^(n-2)b[2]
また
a[n]-ya[n-1]=x(a[n-1]-ya[n-2])
と変形できることより
c[n]=a[n]-ya[n-1]と置けば
c[n]=xc[n-1]と等比数列となることからc[n]=x^(n-2)c[2]
そして
a[n]-xa[n-1]=y^(n-2)b[2]
a[n]-ya[n-1]=x^(n-2)c[2]
よりa[n-1]を消去して
(y-x)a[n]=y^(n-1)b[2]-x^(n-1)c[2]
a[n]=(y^(n-1)b[2]-x^(n-1)c[2])/(y-x)=a[2](y^(n-1)-x^(n-1))/(y-x)-a[1](xy^(n-1)-yx^(n-1))/(y-x)
を得るという方法である
重解の場合は漸化式で定まるa[n]がx, yの連続関数であることよりy→xの極限であると考えて
a[n]=a[2]・(n-1)x^(n-2)-a[1]・(n-2)x^(n-1)となる


932 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:00:16 ID:0El/6wRY0
質問

赤い球と白い球，青い球がたくさん入った箱があります．
この中から合計で５個取り出す組み合わせは何通りか？
また，少なくとも青い球がひとつ入る組み合わせは何通りか？

とき方をご教授お願いします

933 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:01:32 ID:Wwa+DCN20
>>930
(x-1)(x+4)(x^2+3x+6)

934 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 00:02:56 ID:aE3E+0y/0
>>931
ありがとうございます。参考になります。


935 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:04:01 ID:zSWK2nBX0
>>932
多分その問題を解ける奴はいないと思うぞｗ
n個入った一般的な事象のことならnC5だと思うけどもいちど問題文性格に写してｸﾚ



936 名前：926[] 投稿日：2008/04/27(日) 00:05:50 ID:cB8ZUHv4O
-3kΣ(n k=0)は
-3･1/2･n(n+1)
となり、
-3･1/2･(n+1)(n+2)とならないのはなぜですか？

937 名前：932[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:14:42 ID:Zmt8307z0
>>935
友人の参考書を書き写した問題の一つです。
問題は合ってると思います

最初の問題の解説は
●|●●●|●
５個の間に敷居を入れることを考えると６本入ります
ですから，6C2+6=21となります
とあるのですが，ですから以降が分からないんです。

自分で一つ一つ地道にすべての組み合わせを
並べたら，確かに２１通りとなったのですが，
もっと簡単に数学的に解きたいんです。


938 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:30:33 ID:8hmH0LB90
>>936
Σの中身の式は何？

939 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 00:43:46 ID:k137eZNKO
>>937
重複組合わせだな
相違なるn個から重複を許してr個選ぶ組合わせは
nＨr＝(n+r-1)Ｃr
ってやつ
今はn=3、r=5で求まる
詳しくは重複組合わせググればいいよ(重複順列もあるから気をつけて)

940 名前：937[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:51:38 ID:Zmt8307z0
>>939
おお

一つ勉強になりました．ありがとうございます！


941 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:53:00 ID:DU/aUJN10
>>937
ｽﾏﾝ。俺が勘違いしてた。
939の言うとおりＨで解けるかもしれない。
個人的にＨは全然使わなかったんで忘れてましたorz


942 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 00:54:38 ID:x8R09xdm0
6箇所の隙間から仕切りを入れる2本を選ぶんだよ。

943 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 01:03:46 ID:k137eZNKO
あと補足
>>937は解説が不親切
Ｃで考えるなら、三種類から五個とるときは、
〇〇|〇|〇〇(赤２白１青２)
とか
〇〇〇|〇〇|(赤３白２青０)
とか
〇||〇〇〇〇(赤１白０青４)
とか
〇〇〇〇〇||(赤５白０青０)
みたいに五つの玉を二つの仕切りで色別に区切るって考えたほうがいい
だから並べ方は、〇が５個、|が２個で
7!/2!5!=7Ｃ5=21(通り)

944 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 01:07:17 ID:MVIu+PKAO
>>936
Σ1のときはnのあたいによらずずっと1だから1が(n+1)個あると解釈していいけど

ΣKはまぁ機械的にやれば
初項(初項っていうのはおかしいけどn=0のとき)は0､
末項はn
項数は(n+1)こあるから
1/2(n+1)(0+n)
=1/2n(n+1)

でもこうやるよりは
n=0のときを先に計算して
ΣK(n=0～n)=ΣK(n=1～n)+0
と解釈してしまった方がいいかもしれない

945 名前：932[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 01:11:02 ID:Zmt8307z0
>>943
すごく分かりやすいです

Cでも解き方が分かって自信がつきました

946 名前：早大理工[] 投稿日：2008/04/27(日) 01:27:10 ID:piriCP6x0
>>932

例えばａａｂｂｃの５つのアルファベットを１列に並べる順列を考える時
５！÷（２！２！）＝３０通り　って計算するでしょ？これと同じ原理で考えることができる。

●と|の記号併せて７個の記号を
１列に並べる順列を考える→７！　　(この時点では区別あり)
●という同一の記号を５個並べているので５！で割る
｜という同一の記号を２個並べているので２！で割る　(この作業で区別をなくす)
以上より
７！÷（５！２！）＝２１
この仕切りにより分けられた●を左から赤白青とみればＯＫ


（補足：６Ｃ２＋６＝２１の説明）
●を先に５個並べて固定すると、　　　　　①●②●③●④●⑤●⑥
｜は右図の①～⑥の６箇所のうちから
２箇所を選んでそこに入れればよい。
すると選び方は６Ｃ２＝１５通り
また、赤白青が０個になってもよいので、
この場合は①～⑥のうちの一つの場所に
｜を２つ入れればよい。例えば④のところに
入れるとしたら左図のようになる。　　　　　　　●●●●||●●
今、左から赤白青としているのでこの場合は
赤４個、白０個、青２個になる。
このようになる場合は①～⑥まで６箇所あるので
６通りある。
以上より６Ｃ２＋６＝２１通り。

長文疲れた(^^;)

947 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 01:30:46 ID:x8R09xdm0
名前欄がムカつくから書き込むな(^^ ;)

948 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 01:34:10 ID:Vj/6vu+EO
早大理工志望か…

949 名前：早大理工[] 投稿日：2008/04/27(日) 01:45:58 ID:piriCP6x0
嫉妬のあらしは怖いな・・・

名前を書いたことを少々後悔

950 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 01:54:49 ID:x8R09xdm0
調子に乗るな

951 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 02:03:10 ID:oApIzrm/0
このスレでコテつける必要もないわけだし、そう思うならコテ外したら？

952 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 02:10:11 ID:x8R09xdm0
よっぽど自慢したいんだろう

953 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 10:03:29 ID:I2mNaC4c0
早大理工でどこが自慢になるんだよｗｗｗｗ

954 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 10:13:16 ID:6ZE3lwX80
2008年の東北大（理系）の問題の解答で分からないところがあったので質問させてください。
数学の問題以前に、言葉の定義の問題なのです、整式に1/xのような形が入ると多項式といわなくなるのでしょうか？
調べてみたりしたのですが、分からなかったので、教えてください。

955 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 10:26:55 ID:uO4GTpft0
954
詳しくお願いします

956 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 10:27:28 ID:6ZE3lwX80
すみません、自己解決しました。
こういう調べものは、専門の辞書で調べなければ駄目ですね…

957 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 10:30:35 ID:6ZE3lwX80
>>955
多項式の変数の次数が、負で無い整数だということが分からなかったのです…

958 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 10:33:47 ID:cz0Fxffd0
すみません

lim_[x→∞]x*sin(1/x)

はハサミウチで解くようなのですが、どうやったら解けるのでしょうか？


959 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 10:53:22 ID:3or1AEFk0
>>958
1/x=tとおく。　

960 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 10:56:23 ID:ZuOmIrRQP
>>958
ハサミウチではないよ

959のいうように置換してみ

もしlim_[x→0]x*sin(1/x) ならハサミウチすべきだがな


961 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 11:02:04 ID:cz0Fxffd0
>>959
>>960
わかりました！ありがとうございました

962 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 11:05:06 ID:LyVM4xdY0
(1-1/n)^nの極限はeになると思うんですが、解き方がわかりません。おしえてください

963 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 11:12:26 ID:3or1AEFk0
>>962　
(1＋1/n)^nの極限はeだから、その極限はe^-1　　　　

964 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 12:17:09 ID:lWTk1usLO
１対１対応の演習ⅢのP38の筑波の問題の(3)がいまいち分かりません。
最大最小を持つために、何故分母のx^2+ax+1=0が実数解を持たないことが必要なのか誰か教えて下さい。

965 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 12:21:27 ID:piriCP6x0
>>953

あんたどこ大？これで東京一工以外だったら大爆笑だなｗ

966 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 12:25:48 ID:I2mNaC4c0
東大だが

967 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 12:26:55 ID:6ZE3lwX80
>>965
そんな事聞いても東大って答えるに決まってますよｗ

968 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 12:28:41 ID:piriCP6x0
>>967

そうだねｗ

外→高学歴気取り
内→中身無しｗ低学歴ｗ


典型的なパターンｗ

969 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 12:31:15 ID:k137eZNKO
>>965-968
ｽﾚﾁ

970 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 12:32:38 ID:I2mNaC4c0
>>969
申し訳ない

971 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 12:34:12 ID:VafExEgSO
東大の学生証をうpしてもらえばいいじゃん。ないからできないと思うけどw


972 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 12:50:41 ID:8hmH0LB90
>>964
分母が0になることがあったら発散するでしょ

973 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 12:58:12 ID:0zGmHb780
n:自然数の定数　r:正の有理数の定数とする
Σ_[k=1,n]1/Xk=r をみたす自然数Xkの組(X1,X2,X3・・・Xn)の個数は有限であることを示せ
っていう問題の解で

X1≧X2≧X3・・・≧Xnとして、n=kの時の個数が有限なことを仮定して
その個数をN(r)とする
n=k+1のとき、Xk+1≦(k+1)/rをみたす最大の自然数Xk+1(※Xk足す1の意ではない)をaとし
Xk+1の値を場合分けして解を考えると　
高々Σ_[i=1,a]N(r-1/i)個であって、これは有限である
高々というのはX1～X(k+1)の付加条件がX1≧X2≧X3・・・≧Xk≧1でなくX1≧X2≧X3・・・≧Xk≧iであるから
また、N=1のときは0か1個で有限
よって数学的帰納法より示される

これの下から5～3行目がうまく理解出来ません
わかりやすい解説お願いしたいです

974 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 13:03:36 ID:0ZPf7NTDO
Y=ax2乗+bx+cを平方完成するとどうしても切片の分子が-b2乗+4acになる どうしたらいい？

975 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 13:21:55 ID:I2mNaC4c0
>>973
まず
n=k+1のとき
X1≧X2≧X3・・・≧X[k+1]より
　r = 1/X1 + 1/X2 + … 1/X[k+1] ≦ (k+1)/X[k+1]
∴ X[k+1]≦(k+1)/r
よってこれを満たす最大の整数をaとすると
　X[k+1]の値として可能性のあるものは1～aのみ。
ここで
X[k+1]=m (1≦m≦a)のとき
　X1≧X2≧X3・・・≧Xk≧mかつ1/X1 + 1/X2 + … 1/X[k]＝r-1/m
となり、これを満たす解の組の個数は
　X1≧X2≧X3・・・≧Xk≧1かつ1/X1 + 1/X2 + … 1/X[k]＝r-1/m
を満たす解の組の個数N(r-1/m)以下である。

よって
n=k+1のときの解の組の個数はN(r-1/1)+N(r-1/2)+…+N(r-a/1)以下であり
やはり有限である。

976 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 13:26:08 ID:0zGmHb780
>975
あああああ、すげえわかりました
どうも

977 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 13:34:32 ID:V7o3DPUVO
『大小２個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が６になる場合は何通りあるか』答えは５通りですが、６通りじゃ何故ダメなの？大小区別されてるなら３と３が２つあって良くない？

978 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 13:35:49 ID:V7o3DPUVO
すいません。良く考えたら分かりましたわ。アホですいません。

979 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 13:36:04 ID:I2mNaC4c0
>>974
切片の分子の意味がよく分かりません。
頂点のy座標の分子という意味でしょうか？
その場合、

y=ax^2 + bx + c
　=a(x-b/2a)^2 + (- b^2+4ac)/4a　(a≠0)

ですから、-b^2+4acであっていると思いますが。

980 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 14:06:45 ID:ufTQZTCG0
>>944
分かったような分からないような・・・
すいません、教えていただいたのにorz
また考えてみます。ありがとうございました。

981 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 14:21:39 ID:0ZPf7NTDO
>>979 あ ほんとうだ どうもありがとうございました！

982 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 14:22:01 ID:I2mNaC4c0
>>980

等差数列の和はどうやって求めるか分かってますか？
　(初項+末項)(項数)/2

Σ[0 ,n] k=0+1+2+…+nは
初項0、末項n、項数n+1の等差数列の和です。
よって、
　Σ[0 ,n] k=(0+n)(n+1)/2=n(n+1)/2
となります。

あるいは、0はあってもなくても変わらないので
Σ[0 ,n] k=Σ[1,n]kですから
初項1、末項n、項数nの等差数列の和とも捉えられます。
この場合も当然ですが、
　Σ[0 ,n] k=Σ[1,n]k=(1+n)n/2
で同じ結果となります。

貴方の答えは
　(n+1)(n+2)/2
とのことですが、
これは例えばΣ[1,n+1] k=1+2+…+(n+1)の値であり決してΣ[0 ,n] k=0+1+2+…+nと等しくはなりません。

983 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 17:55:10 ID:DgztJcmvO
(a＋b＋c＋1)(a＋1)＋bc
を因数分解しろという問題の解答で、
与式＝(a＋1)(c＋a＋b＋1)＋bc＝☆＝(a＋1＋b)c＋(a＋1)(a＋b＋1)＝‥
となっていて、☆の部分に当たる途中式を教えて下さい。

984 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 18:04:02 ID:2s38WlyT0
>>983
(a+1)c+(a+1)(a+b+1)+bc
=（a+1)c+bc+(a+1)(a+b+1)

985 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 18:26:44 ID:DgztJcmvO
>984
ありがとうm(._.)m
俺スゲー低能だから解答とかで途中式が省かれてるとホントに困るんだよね（涙）で、1時間ぐらい発猛しちゃうんだ（涙）
あーも‥ホントに低能って困る（涙）

986 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 18:32:32 ID:LYofluyn0
>>985
自分が～～だからーーって言い訳しとけば手加減してもらえると思ってるのか
その発送こそが低脳だよ

987 名前：名無しなのに合格[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 18:49:16 ID:7jnPABxiO
数３です。
aを正の実数とする。
点(0,ａ)を通り、曲線XY=1に接する直線Lの方程式を求めよ。
という問題が解りません…
答えは
ｙ=-a^2x/4＋ａ
みたいです。
間の解き方が全く解らないので
どなたかお願いしますm(_ _)m


988 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 19:11:03 ID:DgztJcmvO
>>986
だから俺は低能だと何度言えば(ry

989 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 19:54:26 ID:EmKhrR3W0
次の条件において解が28になる式を全て抽出せよ

・1,2,3,4の全ての数字を1回ずつ使う
・四則演算記号は何回でも使える
・()は使えない
・23＋1＋4という使い方も可
・23＋4＋1と23＋1＋4は別の式と考えるものとする


よかったらご教授ください。


990 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 20:03:13 ID:2s38WlyT0
>985
y=1/x
y'=-1/(x^2)
だから接点のx座標をｔとすると、接線の方程式は、
y=-(1/(t^2))(x-t)+1/t　-(*)
これが(0,a)を通るから
a=2/t
∴t=2/a
これを(*)に代入するとｙ=-a^2x/4＋ａになる。

>>989
21+3+4,21*4+3,23+1+4,23+4+1,24+1+3,24+3+1
1*32-4,32*1-4,32-1*4,32-4*1
くらいしか思いつかなかった。ほかにもあるかも

991 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/27(日) 21:03:44 ID:ANacONHQ0
1/1 | 1/2,2/2 | 1/3,2/3,3/3 | 1/4,2/4,…
のように、第ｋ群（ｋ=1,2,3,…）が1/k,2/k,3/k,…k/kのｋ個の数からなる数列がある。
(1)項の値が1/2に等しいものの中で5番目の項は第何群の何番目の項か。
　 また、その項は数列の第何項か。
(2)数列の初項から第100項までの和を求めよ。
(3)数列の第n項が第k群に含まれるとき、nの値の範囲をkを用いて表せ。

992 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 21:32:42 ID:BT9Z5sWv0
>>989

素直にしらみつぶし。
範囲を限定するために工夫をするより結局速そうだし、
やっているうちに大体の形も見えてきそうなので。

まず、１，２，３，４の並びが4!=24通り。
次に､数字をどこで区切るか。候補が3箇所あるから、8通り有るが、
区切りは演算記号が入る場所なので､個数別に分けて、
0個所1通り､1個所3通り､2個所3通り､3個所1通り。

そして､演算記号の組み合わせは、4^k通り(k:区切りの数)
トータル4!{1*1+3*4+3*(4^2)+1*(4^3)}=3000通り。

手計算かプログラム使用かはご自由に。
プログラムの演習にありそうな問題だけど。

993 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 21:42:19 ID:EmKhrR3W0
>>990
計算までしていただきどうも
ありがとうございました。

>>992
大変分かりやすい解説ありがとうございました。


994 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 21:57:20 ID:8hmH0LB90
>>991
で､何が質問なの？

995 名前：名無しなのに合格[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 22:34:40 ID:7jnPABxiO
>>990
ありがとうございました!
納得しました!
助かりましたm(_ _)m

996 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 22:36:04 ID:C7KzEMBA0 ?2BP(152)
次スレ立てました
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part78＊＊＊
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1209303335/

997 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 22:42:11 ID:IJMJY2uq0
>>991 自分でどこまでやったか書いてないのはイヤーンだが、
このスレを使い果たしそうなので。

この問題、第k群の最後の項までの項数は1+2+…+k = (1/2)k(k+1) になる。
これを使えば見通しが立つ。
(1) 約分して1/2 になるのは分母が偶数 2l の群 の ｌ 番目。
5番目だったら l=5。
(2) (1/2)k(k+1) ≦100 になる最大のkを求める。大雑把にk^2≒200 だから
　10√2 に近い整数を確認すればいい（概数で見当がつけられればいいので、
　2次方程式を真っ向から解くのはお間抜け）。このk群の終わりまでで何項
　あるか考えて、次の群で100項に不足する分を補う。
(3)第k群に含まれるってことは、
　項数が第ｋ-1群の最後の項数よりも大きく、第ｋ群の最後の項数以下。


998 名前：大学への名無しさん[] 投稿日：2008/04/28(月) 07:54:51 ID:+yA+An660
群数列は2次元に並べてみるのも良い
1/1
1/2 2/2
1/3 2/3 3/3
1/4 2/4 3/4 4/4
…

999 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/28(月) 08:02:40 ID:S+Nsnn4xO
999初ゲト

1000 名前：大学への名無しさん[sage] 投稿日：2008/04/28(月) 08:06:47 ID:PgasgUDe0
1000なら予備校潰れろ

1001 名前：１００１[] 投稿日：Over 1000 Thread
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。