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Stokes方程式

Stokes方程式
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}-\Delta \vec{u} +\nabla p = \vec{f}
を成分ごと見ると
\left( \frac{\partial u_1}{\partial t},\frac{\partial u_2}{\partial t} \right) - (\Delta u_1,\Delta u_2) + \left( \frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y} \right) = (f_1,f_2)
任意関数vとの内積を取ると
\left( \frac{\partial u_1}{\partial t},\frac{\partial u_2}{\partial t} \right) \cdot (v_1,v_2)- (\Delta u_1,\Delta u_2) \cdot (v_1,v_2) + \left( \frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y} \right) \cdot (v_1,v_2) = (f_1,f_2) \cdot (v_1,v_2)
さらにΩ上積分
\int_{\Omega} \left( \frac{\partial u_1}{\partial t},\frac{\partial u_2}{\partial t} \right) \cdot (v_1,v_2) \ d\vec{x} - \int_{\Omega} (\Delta u_1,\Delta u_2) \cdot (v_1,v_2) \ d\vec{x} + \int_{\Omega} \left( \frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y} \right) \cdot (v_1,v_2) \ d\vec{x} = \int_{\Omega} (f_1,f_2) \cdot (v_1,v_2) \ d\vec{x}
これを内積記号( , )を用いて短く書けば
(\frac{\partial \vec{u}}{\partial t},\vec{v})-(\Delta \vec{u},\vec{v})+(\nabla p,\vec{v})=(\vec{f},\vec{v})
となる

次に左辺第２項（拡散項）と第３項（圧力勾配項）にガウスグリーンの定理を適用する。
v = 0 on Γを考慮して拡散項は
-\int_{\Omega} (\Delta u_i) v_i \ d\vec{x} = \int_{\Omega} \nabla u_i \cdot \nabla v_i d\vec{x} \quad i=1,2

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最終更新：2010年11月30日 23:56
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