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ガウス・グリーンの定理

部分積分の拡張です。
おさらいとして部分積分を求めるには合成関数の微分法則
\frac{d}{dx}(fg)=f'g+fg'
の両辺を定積分して
\int_a^b \frac{d}{dx}(fg) \ dx = \int_a^b f'g \ dx + \int_a^b fg' \ dx
左辺の処理をして
[fg]_a^b = \int_a^b f'g \ dx + \int_a^b fg' \ dx
とすればよいのでした。さらにこの右辺第２項を左辺へまわして
\int_a^b fg' \ dx = [fg]_a^b - \int_a^b f'g \ d
の形で書かれることが多いと思います。

さてこれを拡張するわけですが
同じアイディアで微分法則から出発します。これです。例のごとく成分こと計算すると成り立つことが分かります。
\nabla \cdot (f\vec{g}) = \nabla f \cdot \vec{g} + f\nabla \cdot \vec{g}
先ほどの例と同じように定積分してあげます
\int_{\Omega} \nabla \cdot (f\vec{g}) \ d\vec{x} = \int_{\Omega} \nabla f \cdot \vec{g} \ d\vec{x} + \int_{\Omega} f\nabla \cdot \vec{g} \ d\vec{x}
左辺にガウスの発散定理を適用させます
\oint_{\Gamma} f\vec{g} \cdot \vec{n} \ ds = \int_{\Omega} \nabla f \cdot \vec{g} \ d\vec{x} + \int_{\Omega} f\nabla \cdot \vec{g} \ d\vec{x}
これで完成です。

次に具体例を挙げてみます.
①ポアソン方程式などに登場する拡散項の弱形式を導くときは
f \leftarrow v , \ \vec{g} \leftarrow \nabla u
を代入してあげます。さらに
\nabla \cdot (\nabla u) = \Delta u
であることも注意して、右辺の第３項を移項すると
\int_{\Omega} v\Delta u \ d\vec{x} = \oint_{\Gamma} v\nabla u \cdot \vec{n} \ ds - \int_{\Omega} \nabla v \cdot \nabla u \ d\vec{x}
というおなじみの式がでてきました。
②ストークス方程式などに登場する圧力勾配項の弱形式を導くときは
f \leftarrow p , \ \vec{g} \leftarrow \vec{v}
を代入して、右辺の第２項を移項すると
\int_{\Omega} \nabla p \cdot \vec{v} \ d\vec{x} = \oint_{\Gamma} p\vec{v} \cdot \vec{n} \ ds - \int_{\Omega} p\nabla \cdot \vec{v} \ d\vec{x}
としてあげればよいです。

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最終更新：2010年11月30日 23:34
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