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Dフォーム

D(\vec{u}) = \frac{1}{2}\{\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T\}
とする。このとき
非圧縮条件
\nabla \cdot \vec{u} =0
のもとで、
2 \nabla \cdot D(\vec{u}) \equiv \Delta \vec{u}
を示す.

\nabla \vec{u} = (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)^T , \ \nabla \cdot \vec{u} = (\vec{\partial}^T \ \vec{u})^T = \vec{\partial}^T \ \vec{u} , \ \Delta \vec{u} = \{\vec{\partial}^T \ (\vec{\partial} \vec{u}^T)^T\}^T ,\ \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) = \{\vec{\partial} \ (\vec{\partial}^T \vec{u})\}^T
を使って

\begin{align} 2\nabla \cdot D(\vec{v}) &= \nabla \cdot \{ (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)^T + (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)\}\\ &= [\vec{\partial}^T \{ (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)^T + (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)\}]^T\\ &= \{\vec{\partial}^T (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)^T + \vec{\partial}^T (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)\}^T\\ &= \{\vec{\partial}^T (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)^T\}^T+\{\vec{\partial}^T (\vec{\partial} \ \vec{u}^T)\}^T\\ &= \Delta \vec{u} + \end{align}

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最終更新：2010年12月01日 04:23
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