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要素-節点対応表の正体

ポアソン方程式のように未知変数がuだけなら問題ないけど
ストークスや非ニュートン流体を扱うようになると未知変数が増える
さらにデカップリングやリナンバリングなんか始めると、要素-節点対応表をどう定義するのが自然かよく分からなくなる。
結論からいえば"Ax=bのAベース"で考えるとよいみたい。

1)要素-節点対応表がないと仕事がはじまらないのが、要素行列を全体行列に足しこむとき。
2)数式で書くとB_i \in \mathbb{R}^{m \times n},\ A \in \mathbb{R}^{n \times n},\ A_i \in \mathbb{R}^{m \times m},\ b \in \mathbb{R}^n,\ b_i \in \mathbb{R}^m
A =\sum_{i}B_i^TA_iB_i,\ b=\sum_{i}B_i^Tb_i
3)このB_iはどうなってるかというと、簡単な例を挙げて説明すれば
n=3,\ m=2,\ B_i=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\ A_i=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}とすれば
B_i^TA_iB_i=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&0\\a_{10}&a_{11}&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&0\\a_{10}&a_{11}&0\\0&0&0\end{pmatrix}となり,うまくいく
4)B_iはスカスカで,成分は各行に1がひとつあるだけなので,
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}
と表記することも可能
5)この短縮表記したB_iを要素-節点対応表と考えれば,スッキリする

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最終更新：2011年01月12日 03:50
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