【解答】衝突パラメータと散乱角 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】衝突パラメータと散乱角

【問題】 $\rightarrow$ 　衝突パラメータと散乱角

ラザフォード散乱の軌道において，極座標によるクーロン散乱の軌道を次のように得た。

$\frac{1}{r} = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv^2b^2}(\cos\phi-1)$

今回の問題に合わせると，

$\frac{1}{r} = \frac{\sin\theta}{b} + \frac{k}{m{V_0}^2b^2}(\cos\theta-1)$

であり，左辺をゼロとする（無限遠の）極限で $\theta = \pi - \phi$ となることから，

$b = \frac{k(1+\cos\phi)}{m{V_0}^2 \sin\phi}$

を得る。今回の問題の題意は，もちろんやっかいな軌道方程式の導出はショートカットしようというものであろうことは推測できたが，その道筋をみつけるのには結構手間取った。

(1)

求める運動方程式（ $y$ 成分）は，

$m \dot{V_y} = \frac{k \sin\theta}{r^2}$

(2)

角運動量保存により，

$V_0 b = r^2\dot{\theta} \qquad \therefore r^2 = \frac{V_0 b}{\dot{\theta}}$

これを(1)の結果に代入して，

$m \dot{V_y} = \frac{k \sin\theta\cdot\dot{\theta}}{V_0 b}$

時間積分して，

$m V_y = -\frac{k \cos\theta}{V_0 b} + C$

$\theta = 0$ で， $V_y = 0$ より，

$C = \frac{k}{V_0 b} \qquad \therefore V_y = \frac{k(1-\cos\theta)}{mV_0b}$

$\theta=\pi-\phi$ のとき， $V_y = V_0 \sin\phi$ より，上式に代入して，

$V_0 \sin\phi = \frac{k(1+\cos\phi)}{mV_0b}$

$b$ について解くと，

$b = \frac{k(1+\cos\phi)}{m{V_0}^2 \sin\phi}$

を得る。

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最終更新：2010年07月14日 10:57

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