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「おこじょ数」(2014/02/17 (月) 12:46:50) の最新版変更点
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おこじょ数は、2013年にAetonによって定義された微小数、およびその逆数の巨大数のペアである。以下、2013/12/31時点での定義（Ver. 1.1）を示す。<br>
http://www.geocities.jp/aetonal/files/LNtest2.txt（元々の定義文）
関数<math>f(n)</math>を以下で定める。
*<math>f(n)=x</math>、ただし<math>(10\uparrow\uparrow n)^{10\uparrow\uparrow n}=(10\uparrow)^{n+2}x</math>とする。
多変数関数<math>f(z,y,\dots,b,a)</math>を以下で定める。
*<math>f(1,1,\square)=f(54,\square)</math>
*<math>f(1,\square,n)=f(\frac{1}{f(1,\square,n-1)},\square)</math>
※<math>\frac{1}{f(1,\square,n-1)}</math>が整数でない場合、代入時に四捨五入する（以下同様）。
*<math>f(\blacksquare,m,1,\square)=f(\blacksquare,m-1,54,\square)</math>
*<math>f(\blacksquare,m,\square,n)=f(\blacksquare,m-1,\frac{1}{f(\blacksquare,m,\square,n-1)},\square)</math>
ただし、
*<math>\square</math>：0個以上の1
*<math>\blacksquare</math>：0個以上の1以上の数
*<math>m,n</math>：1より大きい数
とする。
<math>Oe(n)=f(\underbrace{1,1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1},1)</math>と定めた時の、
<math>Oe(54)</math>を冬おこじょ数（Okojo-ermine Number,<math>Oe</math>）とする。
また<math>\frac{1}{Oe}</math>を夏おこじょ数（Okojo-stoat Number,<math>Os</math>）、<math>\frac{1}{Oe(n)}=Os(n)</math>とする（この場合四捨五入の必要は無い）。
<math>Oe(n)</math>、<math>Os(n)</math>をおこじょ関数とする。
----
=計算=
==f(1)==
(10↑↑1)^(10↑↑1) = 10^10 = 10^10^1 = 10^10^10^0<br>
∴f(1)=0
==f(2)==
(10↑↑2)^(10↑↑2) = (10^10)^(10^10) = 10^(10×10^10) = 10^10^(1+10) = 10^10^11 = 10^10^10^10^x
<math>\therefore f(2)=\text{log}_{10}(\text{log}_{10}11)
\fallingdotseq0.0176</math>
==f(3)==
(10↑↑3)^(10↑↑3) = (10^10^10)^(10^10^10) = 10^10^(10+10^10) = 10^10^10000000010 = 10^10^10^10^10^x
<math>\therefore f(3)
=\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}10000000010))
\fallingdotseq8.2\times10^{-12}</math>
==f(4)==
(10↑↑4)^(10↑↑4) = (10^10^10^10)^(10^10^10^10) = 10^10^(10^10+10^10^10) = 10^10^10^10^10^10^x
<math>\therefore f(4)=
\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(10^{10}+10^{10^{10}}))))</math>
ここから先の計算が難しい。一つ準備が必要になる。
==1.000...の対数==
1に限りなく近く、しかし1より僅かながら大きい数に対数を掛ける事を考える。その“誤差”が計算機の計算精度より遥かに微量である場合に、それをどう計算するか。
筆者が高精度計算サイトを利用して試しに1+10^{-n}の対数を計算してみると、<br>
log_10(1+10^-1) = 4.1392685…×10^-2<br>
log_10(1+10^-2) = 4.3213737…×10^-3<br>
log_10(1+10^-3) = 4.3407747…×10^-4<br>
log_10(1+10^-4) = 4.3427276…×10^-5<br>
log_10(1+10^-5) = 4.3429231…×10^-6<br>
log_10(1+10^-6) = 4.3429426…×10^-7<br>
log_10(1+10^-7) = 4.3429446…×10^-8<br>
log_10(1+10^-8) = 4.3429447…×10^-9<br>
log_10(1+10^-9) = 4.3429448…×10^-10<br>
log_10(1+10^-10) = 4.3429448…×10^-11<br>
となり、4.3429448…×10^{-n-1}に収束しているように見える。<br>
これは、n=100の時でもn=10^100の時でもn=10^10^10^10の時でも有効だろうか？
筆者がこの関数を提示した際に、ふぃっしゅっしゅ氏も計算を試みている。<br>
氏はテイラー展開を利用して、次の式が得られるとしている。<br>
（注：筆者はテイラー展開に関する知識がありません）
<math>|x|\ll 1</math>のとき、<math>\text{log}_e(1+x)\fallingdotseq x</math>
この式を底の変換公式を使って変形すると、
<math>\frac{\text{log}_{10}(1+x)}{\text{log}_{10}(e)}\fallingdotseq x</math>
<math>\text{log}_{10}(1+x)}\fallingdotseq \text{log}_{10}e}\times x
\fallingdotseq0.43429448\dots\times x</math>
となり、先ほどの計算結果と一致する。<br>
ここでN>>0であれば、
<math>\text{log}_{10}(10^{-N})\fallingdotseq10^{-N}</math>とできることになる。
以上がf(4)以降の計算に必要になる。
==f(4)==
=log_10(log_10(log_10(log_10( 10^10+10^10^10 ))))<br>
※10^10+10^10^10=1000…00010000000000、つまり1の後に0がおよそ10^10個続いた後に1が来る10^10桁の数なので、次の様に近似変形できる。
≒log_10(log_10(log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^10^10 ))))<br>
※(1+微小数)が現れたので、これに先ほどの対数近似を適用できる。
≒log_10(log_10(log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^10^10 ))))<br>
=log_10(log_10(log_10(log_10( 10^(10^-10^10+10^10) ))))<br>
=log_10(log_10(log_10( 10^-10^10+10^10 )))<br>
≒log_10(log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^10 )))<br>
≒log_10(log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^10 )))<br>
=log_10(log_10(log_10( 10^(10^-10^10+10) )))<br>
=log_10(log_10( 10^-10^10+10 ))<br>
≒log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^1 ))<br>
≒log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^1 ))<br>
=log_10(log_10( 10^(10^-10^10+1) ))<br>
=log_10( 1+10^-10^10 )
つまり<math>f(4)\fallingdotseq10^{-10^{10}}</math>となる。
==f(n)==
これまでの経緯を追っていくと、<br>
<math>f(n)=\underbrace{
\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\dots(\text{log}_{10}
}_{n}(10\uparrow\uparrow(n-2)+10\uparrow\uparrow(n-1)))\dots))</math>とできる。
また、f(4)で行ったような計算をf(5)、f(6)にも同様に当てはめて行くと（計算過程は省略）、最終的に
<math>f(n)\fallingdotseq10^{-10\uparrow\uparrow(n-2)}
=\frac{1}{10\uparrow\uparrow(n-1)}</math>に近似する。これは<math>(10\uparrow\uparrow(n-1))^{-1}</math>とも書けるので、以降はこの表記を利用する。
=以降の計算=
*<math>f(1,1)=f(54)\fallingdotseq(10\uparrow\uparrow53)^{-1}\dots Oe(1)</math>
*<math>f(1,2)=f(f(1,1)^{-1})\fallingdotseq f(10\uparrow\uparrow53)
\fallingdotseq(10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow53)^{-1}</math>
*<math>f(2,1)=f(1,54)\fallingdotseq((10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}</math> ※(52↑↑↑55)^-1 ＞ f(2,1) ＞≒ (53↑↑↑55)^-1
*<math>f(2,2)=f(1,f(2,1)^{-1})\fallingdotseq
(10\uparrow\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}</math>
*<math>f(3,1)=f(2,54)\fallingdotseq
((10\uparrow\uparrow\uparrow)^{53}(10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}</math> ※(54↑↑↑↑55)^-1 ＞ f(3,1) ＞≒ (55↑↑↑↑55)^-1
*<math>f(4,1)\fallingdotseq
((10\uparrow^4)^{53}(10\uparrow^3)^{53}(10\uparrow^2)^{54}53)^{-1}</math> ※(54↑↑↑↑↑55)^-1 ＞ f(4,1) ＞≒ (55↑↑↑↑↑55)^-1
*<math>f(1,1,1)=f(54,1)\gtrsim(55\uparrow^{55}55)^{-1}
=\{55,55,55\}^{-1}=\{55,2,1,2\}^{-1}\dots Oe(2)</math>
*<math>f(1,1,2)=f(f(1,1,1)^{-1},1)\gtrsim\{55,55,\{55,55,55\}\}^{-1}=\{55,3,1,2\}^{-1}</math>
*<math>f(1,2,1)=f(1,1,54)\gtrsim\{55,55,1,2\}^{-1}
=\{55,2,2,2\}^{-1}>G^{-1}</math>
*<math>f(1,3,1)=f(1,2,54)\gtrsim\{55,55,2,2\}^{-1}=\{55,2,3,2\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,1)=f(1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,2)=f(1,f(2,1,1)^{-1},1)
\gtrsim\{55,55,\{55,55,53,2\},2\}^{-1}\lesssim\{53,3,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(2,2,1)=f(2,1,54)\lesssim\{53,55,1,3\}^{-1}
\gtrsim\{55,2,2,3\}^{-1}</math>
*<math>f(2,3,1)=f(2,1,54)\gtrsim\{55,55,2,3\}^{-1}
\gtrsim\{55,1,3,3\}^{-1}</math>
*<math>f(3,1,1)=f(2,54,1)\gtrsim\{55,55,53,3\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,4\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,1,1)=f(54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,54\}^{-1}
\gtrsim\{54,2,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(3)</math>
*<math>f(1,1,2,1)=f(1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,2\}^{-1}
\gtrsim\{55,2,2,1,2\}^{-1}>F_1^{-1}</math>
*<math>f(1,2,1,1)=f(1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,2,2\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,1,1)=f(1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,54\}^{-1}
\gtrsim\{54,2,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(4)>F_2^{-1}</math> ※旧おこじょ数がおおよそ新Oe(4)程度となる。
*<math>f(1,1,1,2,1)=f(1,1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,1,2\}^{-1}
\gtrsim\{55,2,2,1,1,2\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,2,1,1)=f(1,1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,1,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,2,1,2\}^{-1}</math>
*<math>f(1,2,1,1,1)=f(1,1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,1,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,1,2,2\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,1,1,1)=f(1,54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,1,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,54\}^{-1}
\gtrsim\{54,2,1,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(5)</math>
<math>Oe=Oe(54)=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})\gtrsim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\}^{-1}
\gtrsim\{54,55(1)2\}^{-1}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)^{-1}</math>
<math>Os=Oe^{-1}=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})^{-1}\lesssim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\}
\lesssim\{54,55(1)2\}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)</math>
おこじょ数は、2013年にAetonによって定義された微小数、およびその逆数の巨大数のペアである。以下、2013/12/31時点での定義（Ver. 1.1）を示す。<br>
http://www.geocities.jp/aetonal/files/LNtest2.txt（元々の定義文）
関数<math>f(n)</math>を以下で定める。
*<math>f(n)=x</math>、ただし<math>(10\uparrow\uparrow n)^{10\uparrow\uparrow n}=(10\uparrow)^{n+2}x</math>とする。
多変数関数<math>f(z,y,\dots,b,a)</math>を以下で定める。
*<math>f(1,1,\square)=f(54,\square)</math>
*<math>f(1,\square,n)=f(\frac{1}{f(1,\square,n-1)},\square)</math>
※<math>\frac{1}{f(1,\square,n-1)}</math>が整数でない場合、代入時に四捨五入する（以下同様）。
*<math>f(\blacksquare,m,1,\square)=f(\blacksquare,m-1,54,\square)</math>
*<math>f(\blacksquare,m,\square,n)=f(\blacksquare,m-1,\frac{1}{f(\blacksquare,m,\square,n-1)},\square)</math>
ただし、
*<math>\square</math>：0個以上の1
*<math>\blacksquare</math>：0個以上の1以上の数
*<math>m,n</math>：1より大きい数
とする。
<math>Oe(n)=f(\underbrace{1,1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1},1)</math>と定めた時の、
<math>Oe(54)</math>を冬おこじょ数（Okojo-ermine Number,<math>Oe</math>）とする。
また<math>\frac{1}{Oe}</math>を夏おこじょ数（Okojo-stoat Number,<math>Os</math>）、<math>\frac{1}{Oe(n)}=Os(n)</math>とする（この場合四捨五入の必要は無い）。
<math>Oe(n)</math>、<math>Os(n)</math>をおこじょ関数とする。
----
=計算=
==f(1)==
(10↑↑1)^(10↑↑1) = 10^10 = 10^10^1 = 10^10^10^0<br>
∴f(1)=0
==f(2)==
(10↑↑2)^(10↑↑2) = (10^10)^(10^10) = 10^(10×10^10) = 10^10^(1+10) = 10^10^11 = 10^10^10^10^x
<math>\therefore f(2)=\text{log}_{10}(\text{log}_{10}11)
\fallingdotseq0.0176</math>
==f(3)==
(10↑↑3)^(10↑↑3) = (10^10^10)^(10^10^10) = 10^10^(10+10^10) = 10^10^10000000010 = 10^10^10^10^10^x
<math>\therefore f(3)
=\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}10000000010))
\fallingdotseq8.2\times10^{-12}</math>
==f(4)==
(10↑↑4)^(10↑↑4) = (10^10^10^10)^(10^10^10^10) = 10^10^(10^10+10^10^10) = 10^10^10^10^10^10^x
<math>\therefore f(4)=
\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(10^{10}+10^{10^{10}}))))</math>
ここから先の計算が難しい。一つ準備が必要になる。
==1.000...の対数==
1に限りなく近く、しかし1より僅かながら大きい数に対数を掛ける事を考える。その“誤差”が計算機の計算精度より遥かに微量である場合に、それをどう計算するか。
筆者が高精度計算サイトを利用して試しに1+10^{-n}の対数を計算してみると、<br>
log_10(1+10^-1) = 4.1392685…×10^-2<br>
log_10(1+10^-2) = 4.3213737…×10^-3<br>
log_10(1+10^-3) = 4.3407747…×10^-4<br>
log_10(1+10^-4) = 4.3427276…×10^-5<br>
log_10(1+10^-5) = 4.3429231…×10^-6<br>
log_10(1+10^-6) = 4.3429426…×10^-7<br>
log_10(1+10^-7) = 4.3429446…×10^-8<br>
log_10(1+10^-8) = 4.3429447…×10^-9<br>
log_10(1+10^-9) = 4.3429448…×10^-10<br>
log_10(1+10^-10) = 4.3429448…×10^-11<br>
となり、4.3429448…×10^{-n-1}に収束しているように見える。<br>
これは、n=100の時でもn=10^100の時でもn=10^10^10^10の時でも有効だろうか？
筆者がこの関数を提示した際に、ふぃっしゅっしゅ氏も計算を試みている。<br>
氏はテイラー展開を利用して、次の式が得られるとしている。<br>
（注：筆者はテイラー展開に関する知識がありません）
<math>|x|\ll 1</math>のとき、<math>\text{log}_e(1+x)\fallingdotseq x</math>
この式を底の変換公式を使って変形すると、
<math>\frac{\text{log}_{10}(1+x)}{\text{log}_{10}(e)}\fallingdotseq x</math>
<math>\text{log}_{10}(1+x)}\fallingdotseq \text{log}_{10}e}\times x
\fallingdotseq0.43429448\dots\times x</math>
となり、先ほどの計算結果と一致する。<br>
ここでN>>0であれば、
<math>\text{log}_{10}(1+10^{-N})\fallingdotseq10^{-N}</math>とできることになる。
以上がf(4)以降の計算に必要になる。
==f(4)==
=log_10(log_10(log_10(log_10( 10^10+10^10^10 ))))<br>
※10^10+10^10^10=1000…00010000000000、つまり1の後に0がおよそ10^10個続いた後に1が来る10^10桁の数なので、次の様に近似変形できる。
≒log_10(log_10(log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^10^10 ))))<br>
※(1+微小数)が現れたので、これに先ほどの対数近似を適用できる。
≒log_10(log_10(log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^10^10 ))))<br>
=log_10(log_10(log_10(log_10( 10^(10^-10^10+10^10) ))))<br>
=log_10(log_10(log_10( 10^-10^10+10^10 )))<br>
≒log_10(log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^10 )))<br>
≒log_10(log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^10 )))<br>
=log_10(log_10(log_10( 10^(10^-10^10+10) )))<br>
=log_10(log_10( 10^-10^10+10 ))<br>
≒log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^1 ))<br>
≒log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^1 ))<br>
=log_10(log_10( 10^(10^-10^10+1) ))<br>
=log_10( 1+10^-10^10 )
つまり<math>f(4)\fallingdotseq10^{-10^{10}}</math>となる。
==f(n)==
これまでの経緯を追っていくと、<br>
<math>f(n)=\underbrace{
\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\dots(\text{log}_{10}
}_{n}(10\uparrow\uparrow(n-2)+10\uparrow\uparrow(n-1)))\dots))</math>とできる。
また、f(4)で行ったような計算をf(5)、f(6)にも同様に当てはめて行くと（計算過程は省略）、最終的に
<math>f(n)\fallingdotseq10^{-10\uparrow\uparrow(n-2)}
=\frac{1}{10\uparrow\uparrow(n-1)}</math>に近似する。これは<math>(10\uparrow\uparrow(n-1))^{-1}</math>とも書けるので、以降はこの表記を利用する。
=以降の計算=
*<math>f(1,1)=f(54)\fallingdotseq(10\uparrow\uparrow53)^{-1}\dots Oe(1)</math>
*<math>f(1,2)=f(f(1,1)^{-1})\fallingdotseq f(10\uparrow\uparrow53)
\fallingdotseq(10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow53)^{-1}</math>
*<math>f(2,1)=f(1,54)\fallingdotseq((10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}</math> ※(52↑↑↑55)^-1 ＞ f(2,1) ＞≒ (53↑↑↑55)^-1
*<math>f(2,2)=f(1,f(2,1)^{-1})\fallingdotseq
(10\uparrow\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}</math>
*<math>f(3,1)=f(2,54)\fallingdotseq
((10\uparrow\uparrow\uparrow)^{53}(10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}</math> ※(54↑↑↑↑55)^-1 ＞ f(3,1) ＞≒ (55↑↑↑↑55)^-1
*<math>f(4,1)\fallingdotseq
((10\uparrow^4)^{53}(10\uparrow^3)^{53}(10\uparrow^2)^{54}53)^{-1}</math> ※(54↑↑↑↑↑55)^-1 ＞ f(4,1) ＞≒ (55↑↑↑↑↑55)^-1
*<math>f(1,1,1)=f(54,1)\gtrsim(55\uparrow^{55}55)^{-1}
=\{55,55,55\}^{-1}=\{55,2,1,2\}^{-1}\dots Oe(2)</math>
*<math>f(1,1,2)=f(f(1,1,1)^{-1},1)\gtrsim\{55,55,\{55,55,55\}\}^{-1}=\{55,3,1,2\}^{-1}</math>
*<math>f(1,2,1)=f(1,1,54)\gtrsim\{55,55,1,2\}^{-1}
=\{55,2,2,2\}^{-1}>G^{-1}</math>
*<math>f(1,3,1)=f(1,2,54)\gtrsim\{55,55,2,2\}^{-1}=\{55,2,3,2\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,1)=f(1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,2)=f(1,f(2,1,1)^{-1},1)
\gtrsim\{55,55,\{55,55,53,2\},2\}^{-1}\lesssim\{53,3,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(2,2,1)=f(2,1,54)\lesssim\{53,55,1,3\}^{-1}
\gtrsim\{55,2,2,3\}^{-1}</math>
*<math>f(2,3,1)=f(2,1,54)\gtrsim\{55,55,2,3\}^{-1}
\gtrsim\{55,1,3,3\}^{-1}</math>
*<math>f(3,1,1)=f(2,54,1)\gtrsim\{55,55,53,3\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,4\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,1,1)=f(54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,54\}^{-1}
\gtrsim\{54,2,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(3)</math>
*<math>f(1,1,2,1)=f(1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,2\}^{-1}
\gtrsim\{55,2,2,1,2\}^{-1}>F_1^{-1}</math>
*<math>f(1,2,1,1)=f(1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,2,2\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,1,1)=f(1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,54\}^{-1}
\gtrsim\{54,2,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(4)>F_2^{-1}</math> ※旧おこじょ数がおおよそ新Oe(4)程度となる。
*<math>f(1,1,1,2,1)=f(1,1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,1,2\}^{-1}
\gtrsim\{55,2,2,1,1,2\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,2,1,1)=f(1,1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,1,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,2,1,2\}^{-1}</math>
*<math>f(1,2,1,1,1)=f(1,1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,1,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,1,2,2\}^{-1}</math>
*<math>f(2,1,1,1,1)=f(1,54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,2\}^{-1}
\lesssim\{53,2,1,1,1,3\}^{-1}</math>
*<math>f(1,1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,54\}^{-1}
\gtrsim\{54,2,1,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(5)</math>
<math>Oe=Oe(54)=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})\gtrsim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\}^{-1}
\gtrsim\{54,55(1)2\}^{-1}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)^{-1}</math>
<math>Os=Oe^{-1}=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})^{-1}\lesssim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\}
\lesssim\{54,55(1)2\}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)</math>
