垂心周りの構図&角度,長さ計算 - OMC攻略wiki(非公式)

はじめに

みなさん，angle-chaseや長さ計算が素早くできる人ってかっこいいですよね！（ね！）ということで，初等幾何を解くにあたってよく使うであろう垂心が絡む構図やテクニックを書いていきたいと思います.

※注意

• ここでは，円周角の定理などの知識を前提としています．
• 三角形ABCは，鋭角三角形とします．(鈍角が存在する場合もほとんど同様の議論でできます．)
• 三角形ABCの垂心をH，AHとBC，BHとAC，CHとABの交点 をそれぞれ D,E,F とします．
• ∠BAC = a，∠ABC = b，∠ACB = c とします．

角度計算集

重要な共円

まず，角度の話に入るまえにとても重要な共円たちを紹介します.

構図1

4点の組 (A,F,H,E)，(B,D,H,F)，(C,D,H,E) は共円．

証明

∠AFH+∠AEH=90+90=180゜と内接四角形の定理の逆から従う. 他も同様．

構図2

点（B,F,E,C）,（A,F,D,C）,（A,E,D,B）は共円．

証明

∠BFC=∠BEC=90゜と円周角の定理の逆より従う．

これらの事実から，次のことが分かる．

構図3

∠ABH =∠ACH = 90-a
∠AFE = c，∠AEF = b，∠FEH = 90-b，∠EFH = 90-c

証明

構図1,2などから.

この3つは，もうめちゃくちゃ重要です．(逆にこれくらいを分かっていればほぼ問題ないと思います...)

構図4

Hを直線BCに関して対称移動させた点をH'とすれば，4点A,B,C,H'は共円．

証明

∠BAC+∠BH'C
= ∠BAC+∠BHC
= a + (180-a) [構図1より]
= 180
よって，内接四角形の定理の逆より示された.

長さ計算集

構図5

AB×AF = AD×AH = AC×AE

証明

構図1と方べきの定理より従う.

正直これさえ分かってればそんなに問題無いと思います...

構図6

DH×DA = BD×DC

証明1

　DH×DA = DA^2 - AH×DA　
構図4より，DA^2-AH×DA=DA^2-AF×AB
　　　　　　　　　　　= DA^2-(AB^2-AB×BF)
三平方の定理と構図4より， = -BD^2+BD×BC
　　　　　　　　　　　 　　= BD（BC-BD）
　　　　　　　　　　　　　 = BD×DC

証明2

簡単な角度計算により，三角形ACD ∽ 三角形BHD
よって、AD:DC = BD:DHなので，AD×DH = BD×DC

上の証明1でも使ったように，線分ABとAB上の点Pにおいて AB^2 = AB×AP+AB×BP
と式変形することはよくあります（たぶん）.

構図7

EF = AH × sin(a)

証明

構図1より AH は 円AEHF の直径である．
従って，正弦定理より EF = AH × sin(a)

Problems

1. 有名事実

　鋭角三角形ABCにおいて，垂心をHとし，A,B,C から対辺におろした垂線の足それぞれを D,E,F とする．
　Hは三角形DEFの内心であることを示せ．

解答

簡単な角度計算により，∠FEH = ∠DEH = 90-b が従う．
同様に ∠DFH=∠EFH と ∠FDH=∠EDH も分かり，以上のことから示された．

2. JJMO2016 - 本選1

　鋭角三角形ABCにおいて，Aから辺BC，Bから辺CA，Cから辺AB におろした垂線の足をそれぞれ D,E,F とし，直線ADと直線EFの交点をGとする．また，三角形DFGの外接円と辺ABの交点のうちFでない方をP，三角形DEGの外接円と辺ACの交点のうちEでない方をQとする．
　このとき，直線PQは線分DGの中点を通ることを示せ．

解答

円AFDCと円DEFについて,円周角の定理より∠PGD=∠PFD=∠ACBがわかる.同様に,∠PDG=∠AFE=∠ACBである.従って,∠PGD=∠PDG,つまりPG=PDである.同様にして,QG=QDがわかる.よってPQはDGの垂直二等分線なのでDGの中点を通る.