行列・2次曲線 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

• 3次正方行列 A=[ [1,0,0],[a,1,0],[b,-a,1] ]についてA^n(nは自然数)を求めよ。なお、行列は行ごとに表示している。（たとえば単位行列E=[ [1,0,0],[0,1,0],[0,0,1] ])　(お茶の水女子大)
• 楕円(x^2)/17+(y^2)/8=1の外部の点Pからひいた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めてください。（東工）
• 0でない定数aについて媒介変数tによってx=e^(at)cost,y=e^(at)sint (0≦t≦2π)で表される曲線の長さをL(a)とします。このときL(a),lim[a→0]L(a),lim[a→-∞]L(a)をそれぞれ求めてください。（琉球大）
• 楕円(x^2)/4+y^2=1上の点Pから直線x-2√3y+8=0に下ろした垂線の長さの最大値と最小値を求めてください。またそれぞれの場合に、点Pの座標を求めてください。(北大)
• a,bを正数とし(x-1+a)^2/(a^2)+(y^2)/(b^2)≦1が表す領域Dと　x^2+y^2≦1が表す領域Eを考えます。DがEに含まれるためのa,bの条件を求めてください。(02,名古屋)
• 正の定数a,bに対してx=acos^3t,y=bsin^3t(0≦t≦π/2)で曲線Cを定義します。曲線Cの長さを求めてください。(03,東京医科歯科)
• 点Pより放物線y=x^2に相異なる2本の接線が引け、その接点をQ,Rとします。∠QPR=45°であるような点Pの軌跡を図示してください.(90,名工大)
• 行列A,Bはともに負でない整数を成分とします。2×2行列でA=[[a,b],[c,d]]の形です。AB=[[2,4],[8,13]],BA=[[1,4],[5,14]]のときの行列A,Bを求めてください。(00,慈恵医)
• 2次の正方行列XとYはXY=YXのときに可換であるという。2次の正方行列AとBは可換ではないが、AとABは可換で、AとBAも可換であるとする。(1)A=[[a,b],[c,d]]ならばad-bc=0を示せ。(2)零行列をOとしてA^2=Oを示せ。(京大)
• Oを零行列とします。行列A=[[a,b],[c,d]]はある正整数nについてA^n=Oを満たします。A^2=Oを示してください。(03,北大)

• 平面上に2定点A,Bをとります。cは正の定数として平面上の点Pが |↑PA||↑PB|+↑PA・↑PB=c を満たすとき、点Pの軌跡を求めてください。(99,京大)
• 2次正方行列X=[[s,t],[u,v]]に対し,s+vをXのトレースという。A=[[a,b],[c,d]]とA^2のトレースがともに-1であるとする。(1)A^3＝E(単位行列)を示せ(2)連立1次方程式(A+E)^4[x,y]=[b,-a]を解け。(98東北)
• 実数aで曲線C_aを方程式(x-a)^2+ay^2=a^2+3a+1によって定める。(1)C_aはaの値と無関係に4つの定点を通ることを示し、その4定点の座標を求めよ。(2)aが正の実数全体を動くときC_aが通過する範囲を図示せよ(05筑波)
• xy平面上で、曲線y=x^2-4とx軸で囲まれた図形（境界を含む）に含まれる最長の線分の長さを求めてください。(85,名古屋)
• p>0,q>0であるような点P(p,q)から双曲線y=-1/xへ引いた2本の接線の接点をA,Bとします。pqをtとおいて三角形PABの面積をtの式で表し、この面積の最小値を求めてください。(09東工)
• 実数tに対してuの3次方程式u^3-3u+2t=0の実数解のうちで絶対値が最小のものをf(t)とします。(1)x=f(t),y=-2tと表される曲線を図示してください。(2)関数f(t)が連続でないtの値を求めf(t)のグラフをかいてください。(03,千葉)
• 媒介変数tを用いて座標平面上の点P(x,y)が x=2+kcos^2t、y=1+sin2tと与えられています。tが0からπまで変化するとき、点Pが動いてできる図形が円になるような実数kの値は何通りありますか。(97,防衛医)
• y={e^x+e^(-x)}/2についてy≦5の部分の長さを求めてください。(06,東京理科大)
• Xは各成分が正の整数である2×2行列とします。X^2-5X+3E=O（Eは単位行列、Oは零行列）を満たす行列Xを全て求めてください。（信州大）
• 楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)の接線が両座標軸によって切り取られる線分の長さの最小値を求めてください。