実関数・実数・数と式 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

• x≧0、y≧0のとき、(4x^3+4y^3+5)/(x+y+1)の最小値を求めてください。（06,一橋）
• a,bは正の整数とします。√3はa/bと(a+3b)/(a+b)の間にあることを証明してください（04,慶応）
• f(x)=cos(4x)-4sin^2(x)とします。0°≦x≦90°におけるf(x)の最大値と最小値を求めてください。(04,京大)
• a,bは実数の定数です。f(x)=x^3-(a+2b)x^2+(2ab+1)x-aとします。f(x)=0の実数解がx=aのみであり、整式f(x)をx-3で割った余りは10-6aです。関数y=f(x)は極値を持ちません。a,bの値を求めてください。(10,広島)
• 3^x=x^3を満たす正の有理数は、3以外に存在しないことを示してください。(91,東大)
• x,y,zが正の数で、x+y+z=1を満たすとき、1/x+4/y+9/zの最小値を求めてください。
• a,b,cは相異なる正の実数です。次の4つの数の大小を比較して小さい順から並べてください。(a+b+c)(a^2+b^2+c^2),(a+b+c)(ab+bc+ca),3(a^3+b^3+c^3), 9abc (10,東京医科歯科)
• a^2+b^2≦c^2を満たす任意の正数a,b,cに対してa+b≦kcが成り立つとき、kの最小値を求めてください。(公立はこだて未来大)
• 実数x,yは5^x=81,135^y=243を満たしています。自然数k,m,nはk=m/y-n/xを満たしています。kの最小値を求めてください。なお、log_{3}(5)が有理数でないことは証明せずに使ってもよいとします。(09,岐阜大)
• aを実数とします。xについての方程式|x^2+ax+2a|=a+1があります。この方程式が異なる実数解をちょうど2個もつようなaの値の範囲を求めてください。(07,千葉)

• kは正の整数です。不等式5x^2-2kx+1<0は整数解を1つだけ持ちます。条件を満たすkの値をすべて求めて下さい。(08,一橋)
• x,yは3(log_{2}(x)-1)≦log_{2}(y)-1≦2(log_{2}(x)-1)を満たしながら動きます。x-yの最大値を求めてください。(09,慶応)
• 正の実数a,b,pに対してA=(a+b)^pとB=(a^p+b^p)*2^(p-1)の大小関係を調べてください。(98,東工大)
• a,b,cはa+b+c=0を満たす数です。x=a^2+b^2+c^2とします。a^4+b^4+c^4をxで表してください。(09,北大)
• 角Cが直角である三角形ABCを考えます。辺BCの長さは3以上の素数,辺CA,ABの長さは自然数とします。tanAもtanBも整数にならないことを示してください。(10,千葉)
• n個の任意の実数x_1,x_2,…,x_nに対して次の不等式(1)(2)のいずれかが成立することを示してください。(1) |sinx_1・sinx_2…sinx_n|≦(1/√2)^n, (2)|cosx_1・cosx_2…cosx_n|≦(1/√2)^n(03，名古屋)
• 10^(1/3)と(3/2)^(1/3)+1の大小を比較してください。(03,名古屋)
• (x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1がx^2+x+1で割り切れるかどうか調べてください。(03,京大)
• aを正の定数としてf(x)=log_{2}(a+x)+log_{4}(a-x)とします。f(x)の最大値が4以上のとき、aの値の範囲を求めてください。(99広島大・文系)
• (a+b)c^3-(a^2+ab+b^2)c^2+a^2b^2を因数分解してください。(白鴎大)

• a,bは実数とします。すべての負の実数xに対してlog{(2ax)/(1+x^2)}≦2bx/(1+x^2)成り立つような(a,b)の範囲をab平面上に図示してください（なお対数は自然対数とします）。(札幌医大)
• nを自然数としてn次多項式P_n(x)はn+1個の整数k=0,1,2,...,nに対してP_n(k)=2^k-1を満たします。P_2(x)-P_1(x)およびP_3(x)-P_2(x)を因数分解してください。またP_n(x)を求めてください。(04,千葉)
• 不等式 log_{10}(-y^2-2xy+y+x^4-2x^3-3x-2+4x+1)≧log_{10}(-2x^2+2x+1)で表される領域を図示してください。またこのときのx+yの最大値、最小値を求めてください。(05,千葉)
• x^2-x+1=0の解をα、βとします。α^2+β^2、α^3+β^3、α^45+β^45の値をそれぞれ求めて下さい。(東北学院大)
• a,bは実数で2次方程式(1)x^2+ax+b=0 と (2)ax^2+bx+1=0 とが実数解λを共通に持てばλ＝（　）a+b=（　）である。また(1)と(2)とが実数でない解を共通に持てばa=（　）かつb=（　）である。(71,東大1次)
• y=3/4x^2-3x+4の区間a≦x≦b(0<a<b)における値域がa≦y≦bとなっているとき、a,bの値を求めてください。(74,東工大)
• 2次方程式x^2+ax+b=0がひきつづいた2つの整数を解にもち、2次方程式x^2+bx+a=0が正の整数を解にもつとき、a,bの値を求めてください。(76,東北大)
• (1)kを実定数とします。実数x,yがx+2y=kを満たすとき、x^2+2y^2の最小値を求めてください。 (2)f(x,y)=(x+2y+3)/(x^2+2y^2+3)の最大値を求めてください。(上智)
• tを実数とします。x=4^t-1/4^t、y=2^t-1/2^tとするとき、xとyの満たす関係式を求めてください。(98,学習院大)
• x,y,z≧0、nを自然数とするとき次の2つの不等式を示してください。 (1)(x^n+y^n)/2≧{(x+y)/2}^n (2)(x^n+y^n+z^n)/3≧{(x+y+z)/3}^n (埼玉大)

• ||4x^2-16|-8|-x-a=0の実数解の個数をaの値によって分類してください。(中京大)
• 関数f(x,y)=x^4-4x^2y+5y^2+4y+8が最小値をとるときの(x,y)とその最小値を求めてください。(摂南大)