微積分と極限 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

• 球を平面で2つに切って、2つの部分の体積の比が20:7になるようにするには、どのように切ればいいか。
• f(x)はx=1で微分係数f'(1)を持つとします。lim{x→1}{x^6f(1)-f(x^3)}/(x^2-1)をf(1),f'(1)を用いて表してください。(東洋大)
• 任意の実数p,qに対して次の等式が成り立つ。 ∫[-π/2,π/2](pcosx+qsinx)(x^2+ax+b)dx=0　定数a,bを求めてください。（06,慶応理）
• lim[n→∞]∫[1/n^2,π](√x)cos(nx)dxの値を求めてください。(06慶応)
• 0<t<3のとき連立不等式 0≦y≦sinx, 0≦x≦t-y の表す領域をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積をV(t)とします。dV(t)/dt=π/4となるtと,そのときのV(t)の値を求めてください。(10,東北)
• 実数aに対してf(a)=∫[0,π/4]|sinx-acosx|dxを考えます。f(a)の最小値を求めてください。(東工大)
• (1) y=tanxについてdx/dyをyで表してください。(2) ∫{1/(1+4x^2)}dxを求めてください。
• 定積分∫[0,1]√(1+x^2)dxの値を求めてください。(04,横国)
• 関数f(x)は全ての実数s,tに対してf(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^sを満たし、x=0では微分可能でf'(0)=1とします。関数f(x)を求めてください。(00,東京理科大)
• e^πとπ^eの大小を比較せよ。

• 関数f(x)は次の条件を満たします。f(0)=0,開区間(0,1)でf'(x)>0,開区間(0,1)でf''(x)<0　このとき極限lim[n→∞]√n∫[0,1]e^(-nf(x))dxを求めてください。(01,広島)
• 半径aの球に内接する直円錐の体積の最大値を求めてください。（昭和女子）
• lim[x→π/2](ax+b)/cosx=2/3のとき定数a,bの値を求めてください。(東洋大)
• f(x)は微分可能な関数でf(-x)=f(x)+2x,f'(1)=1,f(1)=0を満たします。f'(-1)、lim[x→1]{f(x)+f(-x)-2}/(x-1)の値をそれぞれ求めてください。(高知大)
• 底面を正n角形A_1A_2A_3・・・A_n,頂点をOと表しOA_1=OA_2=...OA_n=1となる斜辺の長さが1である正n角錐を考える。そのような正n角錐の内,最大の面積を持つものをC_nとする時、C_nの体積V_n及びlim[n→∞]V_nを求めよ(東工)
• lim[n→∞](C[3n,n]/C[2n,n])^(1/n)を求めてください。
• lim[n→∞]∫[0,nπ]e^(-x)|sinnx|dxを求めてください。(01,京大)
• rを正の実数とします。xyz空間において x^2+y^2≦r^2 , y^2+z^2≧r^2 , z^2+x^2≦r^2 を満たす点全体からなる立体の体積を求めてください。(05,東大)
• 実数全体で定義された微分可能な関数f(x)を考えます。すべての実数x,yについてf(x)＞0,f(x+y)=f(x)f(y)e^(-xy)が成り立ちます。f'(0)=2となるf(x)を求めてください。(03,筑波)
• 関数f(x)は区間[0,1]において連続で0≦f(x)≦1,|f'(x)|≦1/2を満たします。数列{x_n}を初項x_1(0≦x_1≦1),漸化式x_(n+1)=f(x_n)によって定義します。x_nはn→∞のときに収束することを示してください。(03,九大)

• 単位円上の点P(cosθ,sinθ)(0≦θ≦π/2)における接線をlとして、Pとの距離がθであるl上の2点のうち、原点とPを通る直線に関して点A(1,0)と同じ側にある点をQ(x,y)とする。Qが描く曲線とx軸,y軸,直線y=1で囲まれる図形の面積を求めよ。(03,早稲田)
• 実数a,cを係数とする関数f(x)=ax^2+cを考えます。0≦x≦1の範囲でf(x)≧(x+1)^2を満たします。∫[0,1]f(x)dxを最小にするa,cの値を求めてください。(03,九大文)
• nを自然数f(x)=(1-tan^4(x))tan^n(x)(0≦x≦π/４),f(x)のグラフとx軸で囲まれた図形の面積が2/35であるとき、f(x)の最大値を求めてください。(03,千葉)
• 関数f_n(x)(nは正整数)をf_1(x)=x^2,f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^3{(f_n)~2(x)}で定めます。(f_n)~4(0)を求めてください。ただし、(f_m)~k(x)はf_m(x)の第k次導関数を意味します。(03,東工)
• 放物線y=x^2上の点(t,t^2)において放物線y=x^2と共通接線を持ち、半径が√(1+4t^2)の円を考えます。変数tが正の実数全体を動くとき、この円の中心の軌跡を求め、これを図示してください。(88,岐阜)
• 関数f(x)=x^3-2x^2-3x+4の、区間-7/4≦x≦3での最大値、最小値を求めてください。(91,東大文)
• 不等式cos2x+cx^2≧1がすべての実数xについて成り立つような定数cの値の範囲を求めてください。(北大)
• ∫[0,π](e^x)sin^2(x)dx>8を示してください。ただしπ=3.14…は円周率、e=2.71…は自然対数の底です。(東大)
• 自然数nに対してI_n=∫[0,1]x^2|sinnπx|dx とおきます。極限値lim[n→∞]I_nを求めてください。(08東工)
• 関数f(x)=|x^2-4x|+∫[0,4]f(t)dtを求めてください。(99東北工業大)

• 極限値lim[n→∞][{(2n+1)(2n+2)…(2n+n)}/{(n+1)(n+2)…(n+n)}]^(1/n)の値を求めてください。(04,横浜市大)
• aは定数としnは2以上の整数とします。関数f(x)=a(x^n)logx-ax (x>0)の最小値が-1のとき定積分∫[1,e]f(x)dxの値をnと自然対数の底eを用いて表してください。(03千葉)
• x>0の範囲で関数f(x)=(sinx)/xを考えます。f(x)が極値をとるxの値を小さいほうから順にx_1,x_2,…とします。lim[n→∞]cos(x_n)の値を求めてください。(04,大阪市大)
• aを実数とします。xの2次方程式x^2-ax=2∫[0,1]|t^2-at|dtは0≦x≦1の範囲にいくつの解をもちますか。(00京大文)
• f(x)=x^4+x^3-3x^2とおきます。曲線y=f(x)に点(0,a)から接線がただ一つ引けるとし、かつその接線はただ1点でこの曲線に接するとします。aの値を求めてください。(01阪大)
• xy平面上の曲線C:y=x^3上の点Pにおける接線を、Pを中心にして反時計回りに45°回転して得られる直線をLとします。CとLが相異なる3点で交わるようなPの範囲を図示してください。(01,京大)
• 2つの放物線C:y=-(x+1)^2とD:y=(x-1)^2+1の2本の共通接線を求めてください。またC,Dの2本の共通接線とCの囲む部分の面積を求めてください。(01,東北大文)
• 正の実数aに対して、x=a+1/a, y=a-1/aとおきます。このときx^8-y^8が最小となるaの値とその最小値を求めてください。(北大 文)
• xyz空間においてO(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,0),C(1,0,2)を4頂点とする四面体OABCをz軸まわりに回転させるとき、四面体が通過する部分の体積を求めてください。(津田塾)
• 円x^2+y^2=1のx≧1/2なる部分を、直線y=-1/2xを回転軸として1回転させるとき、囲まれる立体の体積を求めてください。(聖マリアンナ医大)

• 2つの放物線y=x^2-1、y=x^2-8x+23とこれらに共通する接線とで囲まれる領域をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めてください。(宇都宮大)
• 定積分∫[0,π]cosmx・cosnxdx（m,nは自然数）を求めてください。（静岡大）
• 曲線y=2x^2(0≦y≦4)をy軸のまわりに1回転してできる容器に毎秒aの割合で水を注ぎます。水がこの容器の容積の1/4になるときの水面の広がる速さを求めてください。(信州大)
• x>0で定義された微分可能な関数f(x)とその逆関数g(x)に対して次の等式が成り立ちます。∫[1,f(x)]g(t)dt=1/3{x^(3/2)-8}. f(x)を求めてください。(三重大)
• 一辺の長さがaである正三角形ABCの一辺BCをn等分し、それらの各点をBからCの方に順にP_1,P_2,…,P_(n-1)とし、線分AP_kの長さをl_kとします。lim[n→∞]1/n∑[k=1,n-1](l_k)^2を求めてください。(神戸商船大)>kobesyosen_lk
• 自然数nと正の数tに対してf_n(t)=∫[1,n]1/x|log(t/x)|dxとおく(1)1≦t≦nにおけるf_n(t)の最大値A_n、最小値B_nを求めよ(2)lim[n→∞](A_(n+1)-A_n)を求めよ。ただしlim[x→∞](logx)/x=0(名古屋)
• 曲線y=2/3√(|x|^3)をCとし、C上の2点P(0,0)、Q(1,2/3)を考えます。曲線Cがx軸上をすべることなくころがって点Qがx軸上に到達したときの点Pの座標を求めてください。(東京女子)
• 関数f(x)は微分可能で次の条件(i),(ii)を満たします。(i)f(x)≧x+1 (ii)すべての実数hに対してf(x+h)≧f(x)f(h). f(0)とf'(0)をそれぞれ求めてください。(山口大)
• 半径Rの円に内接する正2n角形の形をした囲いがある。一匹の山羊が囲いの周の半分の長さの紐で、囲いの1つのかどに繋がれている。この山羊が囲いの外で動き得る範囲の面積をS_(2n)とする。S_(2n)を求め、lim[n→∞]S_(2n)を求めよ。(津田塾大)
• 3次元空間のyz平面上にy^2+z^2=1で表される円をCとします。定点A(1,0,a)と円C上の動点Pを結ぶ直線がxy平面と交わる点をQとします。点Qの軌跡を表す方程式が、円・楕円・放物線・双曲線を表すような|a|の値の範囲を求めてください。

• f(x)は微分可能な関数でf'(0)=1を満たします。lim[x→0]{f(sin8x)-f(tanx)}/xを求めてください。(87,日本大)
• 方程式(x+4)e^(-x/2)=aの解の個数を求めてください。ただしlim[t→∞]te^(-t)=0です。(90,名古屋市大)