数列と整数 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

• b=(9a^2+98a+80)/(a^3+3a^2+2a)となる自然数の組(a,b)を全て求めてください。(02,金沢)
• 自然数nと9以下の自然数a(0),a(1),.....,a(n)について∑[k=0,n]a(k)・10^k≡0 (mod 3)⇔∑[k=0,n]a(k)≡0 (mod 3)を示してください。なお、0は自然数とします。
• nは自然数とします。2^(n-1)は99桁の数、2^nは100桁の数であるとき、2^nの下二桁を求めてください。(05,千葉)
• 漸化式a_1=1,a_(n+1)=(a_n+2)/a_nで定まる数列a_nの一般項を求めてください。(05,東京慈恵医)
• フェルマーの最終定理を知らないものとする。x,y,zを0でない整数として、もしもx^3+y^3=z^3が成立しているならば、x,y,zのうち少なくとも一つは3の倍数であることを示してください。(98,信州)
• 4桁の整数で、その下二桁の数と上二桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。(78,群馬)
• nを自然数としてn^n+1が3で割りきれます。nを求めてください。(03,一橋)
• すべての自然数nについて数列{a_n}は次の漸化式を満たします。すなわちa_1=3/4, a_(n+1)={1-√(1-a_n)}/2　一般項a_nを求めてください。(07,関西大)
• 次の漸化式で数列{a_n}を定めます。a_1=1,a_(n+1)=2(a_n)+n (n=1,2,3,...)　一般項a_nを求めてください。(06,東京女子大)
• nは正の整数です。不等式(n!)^2≧n^nが成り立つことを示してください。(06,新潟大)

整数

• nが2以上の自然数のとき1,2,3,...,nの中から異なる2個の自然数を取り出してつくった積のすべての和Sを求めてください。（宮城教大）
• どのような整数nについてもn^2+n+1は5で割り切れないことを示してください。(学習院大)
• 2000＾2000を12で割ったときの余りを求めてください。(早稲田)
• x^2-6x+1が負でない整数nの平方n^2となるような整数値xを求めてください。(倉敷芸術科学大)
• 自然数nをそれより小さい自然数の和として表すことを考えます。ただし1+2+1と1+1+2のように和の順序が異なるものは区別します。たとえば3は2+1,1+2,1+1+1の3通りで表せます。2以上の自然数nの表し方は何通りありますか。(02,大阪教育大)
• 座標がすべて整数である点を格子点といいます。次の領域内にある格子点の個数S_nを求めてください。x≧0,y≧0,z≧0,6x+3y+2z≦6n　(n:自然数)　(80,横浜市立大)
• 整数a_n=19^n+{(-1)^(n-1)}{2^(4n-3)} (n=1,2,3,...)のすべてを割り切る素数を求めてください。(86,東工大)
• nは自然数です。次の漸化式によって数列{a_n}を定めます。すなわちa_1=1,a_2=2,a_(n+2)=√{a_n・a_(n+1)}　このとき、log_{2}(a_n)を求めてください。(10,大阪市大)
• x<y<zを満たす自然数について(1/x)+(1/y)+(1/z)=1/2を満たす組(x,y,z)の中で、xが最大となる組をすべて求めてください。(信州)
• nは自然数とします。x^(2n)をx^2-x+(n-1)/n^2で割った余りを(a_n)x+b_nと置きます。a_n,b_nの極限値を求めてください。(04,京大)

• いくつかの連続な自然数の和が1000であるとき、この連続な自然数を求めてください。(89,山形)
• n^2を120で割ると1余るような120以下の正整数nはいくつあるか。(93,日本数オリ予選)
• 2^1001を100で割った余りを求めてください。(00,名古屋)
• n,a,b,c,dは0または正整数であってa^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6, a+b+c+d≦n , a≧b≧c≧dを満たします。このような整数の組(n,a,b,c,d)をすべて求めてください。(80,東大文)
• nを正整数とします。|x|+|y|+|z|≦nとなる3つの整数の組(x,y,z)の個数を求めてください。
• (√(n^2-7n+11))^(n^2-8n+7)=1を満たす自然数nをすべて求めてください。(98,学習院)
• 5x+3y=50を満たす正の整数の組(x,y)をすべて求めよ。
• 実数xに対して、その整数部分を[x]で表す。すなわち[x]≦x<[x]+1を満たす整数である。[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+...+[x+(n-1)/n]=[nx]を示してください。(98,奈良女子)
• nを0以上の整数とします。a^2+b^2=2^nを満たす0以上の整数の組(a,b)を求めてください。(04,京大)
• w=2^i+2^j+2^k (i,j,kは自然数で1≦i≦j≦k≦n) の形で表される数wを考える。自然数nに対して、wの値は全部で何個ありますか。(01,金沢)

• 奇数nに対して不等式0 ≦a≦2b≦c≦n を満たす整数の組(a,b,c)の個数P(n)を求めてください。(00,名古屋)
• x,yは正整数で、x^4+y^4をx+yで割った商は97です。余りを求めてください。(92,日本数オリ予選)
• pを素数、m,nを0≦m≦nなる整数とする。1からp^(n+1)までの整数でp^mで割り切れp^(m+1)で割り切れないものの個数と1からp^(n+1)までの2つの整数x,yの積xyがp^(n+1)で割り切れるような組(x,y)の個数をそれぞれ求めよ (07東工)
• 100!は2^nで割りきれます。このときnの最大値を求めてください。(国際医療福祉大)
• a_1=√2、a_(n+1)=(a_n)^2-1/nで定められた数列a_nの極限を求めてください。(02,千葉)
• 次の漸化式で表される数列{a_n}の一般項を求めてください。a_1=4,{a_(n+1)}/(a_n)^2=2^n (n≧1)　（岩手大）
• f(x)=(x^2+2x+1)/{x([x]+[1/x]+[x][1/x]+1)}についてx>0のとき、関数f(x)のとりうる値の範囲を求めてください。なお[x]はガウス記号といい、xを超えない最大の整数を表します。(00,東京理科大)
• xに関する方程式px^2+(5-p^2)x-3p=0が整数解を持ちます。素数pの値を求めてください。(03,千葉)
• 自然数kの相異なる素因数を全て掛け合わせたものをf(k)と表します。たとえばf(72)=2×3=6で、f(1)=1とします。m,nが10以下の自然数のときf(mn)=f(m)f(n)を満たすm,nは何通りありますか。(03,阪大文)
• 正の整数nに対してS(n)=1+(1/2)^2+(1/3)^2+...+(1/n)^2と置きます。全ての正の整数nに対してもS(n)<1.7が成り立つことを示してください。(04,慶応)

• (8^n-1)/(8・2^n-1)が整数となるような自然数nを求めてください。
• aは0≦a≦7の整数、bは1≦b≦88の整数です。89a+b＋669が1024の倍数のとき、a,bの値を求めてください。(10,早稲田)
• 1からnまでの自然数の総和が偶数になるnの条件を求めてください。(85,一橋)
• 数列{a_n}は初項a,公差bが整数であるような等差数列をなし、8≦a_2≦10,14≦a_4≦16,19≦a_5≦21を満たしています。このような数列{a_n}を全て求めてください。(02,神戸)
• 1から始まる奇数を 1,|3,5,|7,9,11,|13,15,17,19,|… のように区切って群に区分するとき、1001は第何群の第何項目ですか。
• l≦m≦n、1/l+1/m+1/n=3/2をみたす自然数の組(l,m,n)を全て求めてください。(04,明治薬科大)
• nを正整数とします。実数x,y,zに対する方程式 x^n+y^n+z^n=xyzを考えます。n=3のとき、この方程式を満たす正整数の組(x,y,z)は存在しないことを示してください。(06,東大)
• x+y+z=xyz (x≦y≦z)を満たす正整数の組(x,y,z)をすべて求めてください。 (02同志社,06東大)
• 3以上9999以下の奇数aで、a^2-aが10000で割り切れるものをすべて求めてください。(05,東大)
• 3^9471を10進数で表したときの一の位の数を求めてください。(02,関西大)

• x^2+kx+k^2=4が整数解のみをもつときのkの値を求めてください。(愛知大)