複素数 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

• 相異なる複素数a,b,cに対し、集合{a,b,c}={a^2,b^2,c^2}が成り立つとする。a,b,cはどれも自分自身の平方と等しくないとき、a+b+cの実部を求めよ(02,上智)
• nを自然数、zを絶対値が1の複素数とします。z^n+1の絶対値が1となるzを全て掛け合わせた複素数を求めてください。(04,東北)
• z/2+1/zが0以上2以下の実数であるような複素数z(z≠0)を表す複素数平面上の点の集合を式で表し、図示してください。(98,北大)
• nを2以上の整数とします。α=cos(360°/n)+isin(360°/n)として等式(1-α)(1-α^2)(1-α^3)…(1-α^(n-1))=nを示してください。(02,北大)
• aを実数、zを複素数とし複素数平面上でa,z,z^2,z^3が表す点をそれぞれA,B,C,Dとします。この4点がひし形の4頂点になり、ACが対角線になるとき、a,zの値を求めてください。(03,千葉)
• xに関する2次方程式x^2+2tx-2t+3=0の複素数の範囲で考えた解をα,βとします。tがt≧0の範囲を動くとき(|α|+|β|)/2の最小値を求めてください。(03,早稲田)
• a,bを正の整数とし、f(x)=x^4+ax^3+(a+b)x^2+(2-a)x+1と置きます。4次方程式f(x)=0の解が全て絶対値1の複素数であるとき、a,bの値を求めてください。(03,早大)
• |z|>1を満たす任意の複素数zに対してz^2-pz+q≠0が成立します。この条件を満たす整数p,qをすべて求めてください。(03,東京医科歯科)
• aを実数としzを複素数とします。複素数平面上でa,z,z^2,z^3が表す4点があるひし形の4頂点になるとします。ただしaとz^2が表す頂点は対角線上にあるとします。このようなaとzの値をすべて求めてください。(03千葉)
• iは虚数単位でα=1+2i,β=(-1+i)/2,γ=α/βとし、複素数平面において3点A(α),B(β),C(γ)を通る円をDとします。点P(z)が円Dの周上を動くとき|z|の最大値を求めてください。（04,産業医科大）

• nを自然数とし複素数z=cosθ+isinθはz^n=1を満たすとして、次の級数和の値をそれぞれ求めてください。S_1=1+z+z^2+...+z^(n-1), S_2=1+cosθ+cos2θ+...+cos(n-1)θ (98名古屋大 文)
• z=cos60°+isin60°とします。9つの複素数(z+1)^m(z-1)^n (m,nはともに自然数)の虚部の最小値を求めてください。(04,九州)
• 複素数の数列{z_n}をz_1=2,z_(n+1)=(z_n-i)/(z_n+i) (n=1,2,3,...)で定めます。z_100の値を求めてください。(04,横浜市大)
• 0<t<1としx^2-2tx+1=0の解の1つをαとする。複素数平面上に4点O(0),A(-1),B(1),P(α)をとりABを直径とする円をCとする。点Aを通りOPに平行な直線が円Cと交わるA以外の点をQとする。四角形ABPQの面積の最大値とそのときのtを求めよ(04千葉)
• 3次方程式x^3+px^2+qx+r=0は絶対値が1である虚数解を持ちます。実数p,q,rの絶対値が等しいときの(p,q,r)の組を求めてください。(04,岡山)
• pを0でない実数とし2次方程式x^2-px+5p=0…(*)を考えます。(1)方程式(*)の解α、βがα^5+β^5=p^5を満たすときpの値を求めてください。(2)方程式(*)が虚数解をもち、その5乗が実数になるときのpの値を求めてください。(99東北)
• zを絶対値が1の複素数とします。√3+i+zの絶対値を最大値にする複素数zを求めてください。(お茶の水女子大)