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因数分解

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oreno_benkyou

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★☆☆☆☆〜★★☆☆☆

STEP1:基本の因数分解(復習)

基本の解説

  • 共通の因数を括り出す。

例題1

Q.a²b+9ab²
を因数分解せよ。

解説

この因数分解を考えた場合、
まずaがそれぞれa²とaとして存在している。これらは共通な因数、つまり同じ数がかかっていると言える。 
a(7ab+9b²)
加えてbもそれぞれbとb²と 
ab(7a+9b)
と因数分解できる。よって答えは、 
ab(7a+9b)
となる。

類題

1 次の式を因数分解せよ。(★☆☆☆☆)

(1)(14a^2b+7ab^2c)
答え
(2)(9a^2bcd+18ab^3d+6c^2d+15a^3b^4c^3d+3a^4bc^2d)
答え

例題2

x(x+2)+3(x+2)
を因数分解せよ。

解説

この因数分解を考えた場合、
まず、x(x+2) と 3(x+2) では、 (x+2) が共通している。
例題1ではaという文字を共通因数として置いたが、 (x+2) も同じように共通な因数として考えることができる。よって答えは、
(x+3)(x+2)
となる。
+ まだわからない！
では、x(x+2) と 3(x+2)で共通する(x+2)をaと置いてみよう。
すると式は
xa+3a
になる。これを例題1と同じ方法で因数分解すると、
a(x+3)
となる。ここでaを戻してやれば、

(x+3)(x+2)
となる。

類題

STEP:平方の差を利用した因数分解(★★★☆☆)

基本の解説

  • 近くの数字で因数分解できるものに寄せる。
  • これは例題を見てもらった方が早い。

例題1

Q.x^4-13x^2+36
を因数分解せよ。

解説

まずやるべきことは、x^2を別の数字に置き換えることである。そうすれば、x²-ax-a²の式になる。
すると式は、
x^2=X*1
X^2-13X+36
(解説5-1-1)
パッと見因数分解できそうだが、足して-13、かけて36となる整数の組み合わせはない。解の公式を使えば答え自体は出るが、ごちゃごちゃして大変面倒くさいので、この問題では使用しない。
では、どうすればこの問題を解けるか。
もし、Xにかけられている数が-13でなく-12だった場合は、
X^2-12X+36
=(X-6)^2
(解説5-1-2)
となり、因数分解できるようになる。このx²-
に式を寄せて仕舞えば、因数分解が可能になる。これを、平方の差の形と呼ぶ。
つまりは、あの式(例題)からXを1つ外へ出して、X²-12Xの形にする。
(X^2-13X+36)
=(X^2-12X+36)-X
=(X-6)^2-X
=(x^2-6)^2-x^2
するとこれはa²-b²の形となるため、(a-b)(a+b)の形となる。
(解説5-1-3)

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注釈

*1 ここでは文字をX(ラージX)としたが、どの文字に置き換えたのか明記しておけばどんな文字でも良い。もちろん、その式の中で既に使っている文字はNG。