数学/数Ⅰ/二次関数/二次不等式 - 俺の勉強支援@Wiki

難易度:★☆☆☆☆〜★★☆☆☆

このページは書きかけです
このページにおける解説・類題などは完全な物ではありません。 編集に協力していただけるメンバーを募集しています。
詳しくはこちらをご覧ください

STEP1:2次方程式って？(★☆☆☆☆)

基本の解説

とりあえず、2次方程式の解の範囲は以下のようになる。

二次方程式ax²+bx+cとした場合
a>0かつD>0のとき

ax²+bx+c>0の解は x<a, b<x
ax²+bx+c≧0の解は x≦a, b≦x
ax²+bx+c<0の解は a<x<b
ax²+bx+c≦0の解は a≦x≦b

非常に長く億劫に感じると思うが、実際に覚えるのは赤字の部分だけで良いだろう。なぜならばax²+bx+c>0だろうがax²+bx+c≧0だろうが変わるのはx<aかx≦aかだけであるためだ。

例題1

6x-4≧0

次の2次不等式を解け。

(x+8)(3x+3)≦0

次の2次不等式を解け。

x²+5x+4<0

解説

まずは普通に因数分解してしまおう。

(x+1)(x+4)<0 (*1)

よって、

2次不等式x²+2mx+2m+3>0の解が全ての実数であるときの定数mの値の範囲を求めよ。

まず、2次不等式の解が全ての実数になる状況というのは、

ax²+bx+c>0かつD<0(1)(*2)
ax²+bx+c≧0かつD=0(2)
ax²+bx+c≧0かつD<0(3)

の三つとなる。この式は(1)の状況となるため、Dが0より小さい状態となる。
これを踏まえた上で判別式を作ろう。

D=(2m)²-4(2m+3)<0
D=4m²-8m-12<0
D=4(m²-2m-3)<0
D=4(m-3)(m+1)<0