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クヌースの矢印表記

最終更新：2021年12月03日 19:17

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　このページでは、巨大数を表記するために開発されたクヌースの矢印表記について解説します。指数の知識を前提にしているので、指数が分からない方は先に指数と指数表記のページをご覧ください。冪乗の話も出てきますが、ここで解説するので大丈夫かと思います。

クヌースの矢印表記
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クヌースの矢印表記

概要

　クヌースの矢印表記とは、ドナルド＝クヌースというアメリカの数学者が1976年に開発した、巨大数の表記方法です。タワー表記ともいいますが、これは和製語です。英語で"Tower(タワー) Notation(表記)" などと言っても通じません。
　クヌースの矢印表記では、上向き矢印(↑)を用います。
　クヌースの矢印表記を使えば、指数タワー(指数に指数をのせる表記)を用いても表せないような巨大数を簡単に作ることができます。しかしながら、クヌースの矢印表記というのは、実のところ素朴な掛け算や冪乗などの繰り返しです。

定義

　クヌースの矢印表記(以下、矢印表記)は、矢印の本数によって、できる数が全く異なるものになります。

予備知識の解説

　まず、矢印表記を理解するために必要な知識を簡単に解説します(詳しい解説は乗算・冪乗・超冪(テトレーション)など、各種の演算についてで述べています)。
　この節では、aは実数、nは0以上の整数です。

足し算の繰り返しは、掛け算になります。

例：3+3+3+3+3=3×5=15

掛け算の繰り返しは、冪乗(べきじょう)になります。

例：3×3×3×3＝3⁴=81

冪乗の繰り返しは、超冪(ちょうべき)/テトレーション(tetration)になります。

$\qquad =^ba$

例： $4^{4^4}}=^34=4^{256} \approx 1.341 \times 10^{154}$

超冪の繰り返しは、ペンテーション(pentation)(超超冪)になります。

ペンテーションの繰り返しはヘキセーション、ヘキセーションの繰り返しはセプテーション、セプテーションの繰り返しはオクテーション……と、どんどん続いていきます。

　予備知識の解説を終えたので、さっそく矢印表記の解説に入っていきます。以下、aは0でない実数、bは0以上の整数です。
　矢印表記は、複数の数字の間に矢印を挟むことによって表記します。↑の代わりに、サーカムフレックス( ^ )を使っても構いません。

矢印が1本であれば、冪乗を表します。

$a \uparrow b=a^b$

例：4↑4=4⁴=256

　b=0ならば、指数法則から $a \uparrow 0=1$ が成り立ちます。

例：3141592653589793238↑0=1

　数字が3つ以上になると、指数タワーと同じになります。

$a \uparrow b \uparrow c=a^{b^c}$
$a \uparrow b \uparrow c \uparrow \cdots \uparrow z=a^{b^{c^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{z}}}}}}$

例：3↑3↑2=3↑(3²)=3↑9=3⁹=19683
例2：5↑4↑3↑2=5↑4↑(3↑2)=5↑4↑9=5↑(4↑9)=5↑262144
　　5²⁶²¹⁴⁴≒6.2×10¹⁸³²³⁰

<注意!!>
　矢印表記は右結合、すなわち右から計算します。左から計算してはいけません(左から計算する場合には、下矢印表記という別の表記法を用いなければなりません)。
　左結合で計算すると、以下の誤った例のように、非常に小さな数が出てきます。

誤った例：3↑3↑2=(3↑3)↑2=27↑2=729
誤った例2：4↑4↑4=256↑4=4294967296
註：正しくは、4↑4↑4=4↑256≒1.341×10¹⁵⁴。

矢印が2本であれば、超冪(テトレーション)を表します。右結合で計算する点は変わりません。

　次のように表記することもできます。
$a \uparrow \uparrow b=a \uparrow \lbrace{ a \uparrow \uparrow (b-1) }\rbrace$

例：2↑↑4=2↑2↑2↑2=2↑2↑4=2↑16=65536
例2：2↑↑4=2↑{2↑↑3}=2↑2↑{2↑↑2}=2↑2↑2↑{2↑↑1}
　　=65536
例3：3↑↑4=3↑3↑3↑3=3↑3↑27=3↑7625597484987
　　3⁷⁶²⁵⁵⁹⁷⁴⁸⁴⁹⁸⁷≒ $10^{3.6383 \times 10^{12}}$

　矢印が1本のときと同じく、 $a \uparrow \uparrow 0=1$ が成り立ちます。
　指数表記が役に立つのは、基本的にテトレーションまでです。

　宇宙論で使われた最大の数は、10↑↑6より小さいです。この世で起こった、あるいは起こるであろうすべての事象や予想についての数は、すべてテトレーションで現実的に表せると考えて構わないでしょう。

矢印が3本であれば、ペンテーション(超超冪)を表します。右結合です。

　ペンテーション以上になると、極めて大きな数を簡単に叩き出すことができます。

例：2↑↑↑4=2↑↑2↑↑2↑↑2=2↑↑2↑↑(2↑2)
　　2↑↑2↑↑4=2↑↑(2↑2↑2↑2)=2↑↑65536
=

例2：3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑3↑3)=3↑↑7625597484987
　=

　例2で挙げた数は、トリトリと呼ばれる有名な巨大数です。

矢印表記の一般化

　矢印の本数が多くなると、本数を書き間違えたり、何本の矢印があるのか分かりにくくなってしまいます。

例： $4 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3 \quad$ (矢印が20本)

　こういった大量の矢印も簡潔に表記できるように、矢印表記を簡略化します。
　aとbの間にn本の矢印があるとき、これを

と表記します。

　例えば、3↑↑↑3=3↑³3、10↑↑↑↑10=10↑⁴10 です。

　矢印表記は、この表記方法を用いて以下のように定義されます。
$1. \qquad a \uparrow ^n 0=1$
$2. \qquad a \uparrow b=a^b$
$3. \qquad a \uparrow ^n=a\uparrow ^{n-1} \lbrace a \uparrow ^n (b-1) \rbrace \qquad \qquad(n \geq 2)$