diceGCD

サイコロをn回投げ、出た目の最大公約数をGとします。Gの期待値を求めてください。
投げる回数によって当然 ${\rm G}_n$ の値は違うので場合分けをする.
出た目の中で互いに素になる数が一組でもあればその公約数は当然1.
それ以外の場合は以下の通り

出た目が全て 2, 4, 6 のどれか (Gn=2)
出た目が全て 3, 6 のどちらか (Gn=3)
出た目が全て同じ (Gn=出目)

これら全てにおいてGの値と確率との積を足し合わせると

${\rm E} \left[ {\rm G}_n \right] =2(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{6^n}) + 3(\frac{1}{3^n}-\frac{1}{6^n})+(2+3+4+5+6)\frac{1}{6^n} + 1(1-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}-\frac{1}{6^n})$

整理して
${\rm E} \left[ {\rm G}_n \right] = 1 + \frac{1}{2^n} + 2\frac{1}{3^n} + 14\frac{1}{6^n}$

もうちょっとスマートな解法がありそう.

タグ：

+ タグ編集

「diceGCD」をウィキ内検索

最終更新：2011年03月09日 15:51

ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

メニュー

更新履歴