l≦m≦n、1/l+1/m+1/n=3/2をみたす自然数の組(l,m,n)を全て求めてください。(04,明治薬科大) - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki - atwiki（アットウィキ）

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$l\leq m\leq n$ 　より、 $\frac{1}{l}\geq \frac{1}{m}\geq \frac{1}{n}$

よって　 $\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{1}{l}+\frac{1}{l}+\frac{1}{l}=\frac{3}{l}$

すなわち　 $\frac{3}{2}\leq \frac{3}{l}$ 　　　∴　 $l\leq 2$ となり、 $l=1,2$

① $l=1$ のとき

$\frac{1}{1}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}$ 　　　∴　 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$

ここで　 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\leq \frac{1}{m}+\frac{1}{m}=\frac{2}{m}$

すなわち　 $\frac{1}{2}\leq \frac{2}{m}$ 　　　∴　 $m\leq 4$

この中で、 $m=3$ のとき $n=6$ 、 $m=4$ のとき $n=4$ となり、題意を満たす。

② $l=2$ のとき

$\frac{1}{2}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2}$ 　　　∴　 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$

ここで　 $1\leq \frac{2}{m}$ 　　　∴　 $m\leq 2$

この中で、 $m=2$ のとき $n=2$ となり、題意を満たす。

以上より、求める自然数の組は

$(l,m,n)=(1,3,6),(1,4,4),(2,2,2)$

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最終更新：2011年07月24日 14:57