球を平面で2つに切って、2つの部分の体積の比が20:7になるようにするには、どのように切ればいいか。

半径1の球は,円 $x^2+y^2=1$ のx軸の周りの回転体と考えられる。球を平面 $x=t (0&lt;t&lt;1)$ で切ったとき,小さいほうの部分の体積Vは

$V=\int_t^1{(1-x^2)}dx$

条件から $V:\frac{4}{3}\pi\cdot1^3=7:(7+20)$

すなわち $V=\frac{7}{27}\times\frac{4}{3}\pi$

$V=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_t^1=\frac{2}{3}-t+\frac{t^3}{3}$ であるから

$\frac{2}{3}-t+\frac{t^3}{3}=\frac{28}{81}$

よって $(3t-1)(9t^2+3t-26)=0$

$t=\frac{1}{3},\frac{-1\pm\sqrt{105}}{6}$

$0&lt;t&lt;1$ であるから $t=\frac{1}{3}$
よって　直径を2:1に内分する点を通り、その直径に垂直な平面で切ればよい。

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最終更新：2010年11月30日 02:12

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