(1) y=tanxについてdx/dyをyで表してください。(2) ∫{1/(1+4x^2)}dxを求めてください。 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

(1) y=tanxについてdx/dyをyで表してください。(2) ∫{1/(1+4x^2)}dxを求めてください。

(1)
$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cos^2x}$ で、 $1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}$ なので
$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{1+y^2}$
(2)
$tan$ の逆関数を $tan^{-1}$ とあらわせば
(1)より
$\int{\frac{1}{1+x^2}}dx=tan^{-1}x$
この結果を用いて、求める不定積分についてt=2xで置換積分を行えば
$\int{\frac{1}{1+4x^2}}dx=\frac{1}{2}tan^{-1}2x$

要するにarctanx(tanの逆関数)の微分です。(2)は(1)で求めた結果から分かる不定積分ですが、arctanxの微分を知っていればすぐに分かります。

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最終更新：2010年11月29日 23:11

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(1) y=tanxについてdx > dyをyで表してください。(2) ∫{1 > (1+4x^2)}dxを求めてください。

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