e^πとπ^eの大小を比較せよ。

0<1<e<πである。
e^πとπ^eの大小関係が変わらないよう変形を行っていく。

$[e^\pi,\pi^e]$ 　対数をとって

→ $[\pi\log e,e\log \pi]$ 　πe(>0)で割る　

→ $[\frac{\log e}{e},\frac{\log\pi}{\pi}]$

ここで $\frac{log x}{x}$ の増減はx<eの区間で増加、x>eの区間で減少するので（微分することによって分かる）

$\frac{\log e}{e}>\frac{\log\pi}{\pi}$
[]内の大小関係は変わらないように変形していったので $e^\pi>\pi^e$

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最終更新：2010年11月30日 02:13

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