zukei77koube

三角形ABCにおいて3辺AB,BC,CAの長さがそれぞれ1,2,xであるとします。このとき、三角形ABCの面積が最大になるxの値と三角形ABCの内角Cを最大にするxの値をそれぞれ求めてください。そのときの最大値も求めてください。(77,神戸)
前半
三角形ABCの面積Sは
$S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\cdot\sin B$
で与えられる。
∴Sの最大値はsin Bが最大のとき。
∴∠B＝90°のとき。
三平方の定理より　 $x=\sqrt{5}$

後半
$0^\circ\leq C \leq180^\circ$ であるからCが最大のとき $\cos C$ は最小値を取る。
余弦定理により
$\cos C=\frac{2^2+x^2-1^2}{2\cdot2\cdot x}=\frac{x^2-2\sqrt{3}x+3}{4x}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{(x-\sqrt{3})^2}{4x}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x&gt;0$ より $\frac{(x-\sqrt{3})^2}{4x}\geq 0$
∴ $x=\sqrt{3}$ のとき最小値 $\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を取るため、Cの最大は $C=30^\circ$

by meganelover

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最終更新：2010年12月26日 22:51

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