a,bは正の整数とします。√3はa/bと(a+3b)/(a+b)の間にあることを証明してください（04,慶応） - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki - atwiki（アットウィキ）

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$f(a,b)=\frac{a+3b}{a+b}-\frac{a}{b}=\frac{3-(\frac{a}{b})^2}{\frac{a}{b} +1}$ とします。

$f(a,b)&gt;0$ 　とすると　 $a,b&gt;0$ 　より　 $\frac{a}{b}<\sqrt{\mathstrut 3}$

つぎに，関数

$g(x)=\frac{x+3}{x+1}$

について考えます。

$g'(x)=-\frac{2}{(x+1)^2}$

より、　 $x&gt;0$ 　において　 $g&#039;(x)&lt;0$ 　であるので、

$g(x)$ 　は　 $x&gt;0$ 　において単調減少関数です。

$\frac{a+3b}{a+b}-\sqrt{\mathstrut 3}$

$= \frac{\frac{a}{b}+3}{\frac{a}{b}+1}-\sqrt{\mathstrut 3}$

$= g(\frac{a}{b})-\sqrt{\mathstrut 3}$

$> g(\sqrt{\mathstrut 3})-\sqrt{\mathstrut 3}$

$= \frac{\sqrt{\mathstrut 3}+3}{\sqrt{\mathstrut 3}+1}-\sqrt{\mathstrut 3}$

$= \sqrt{\mathstrut 3}-\sqrt{\mathstrut 3} = 0$

よって、　 $\frac{a+3b}{a+b}>\sqrt{\mathstrut 3}$

ゆえに、　 $\frac{a+3b}{a+b}>\sqrt{\mathstrut 3}>\frac{a}{b}$

$f(a,b)&lt;0$ 　とした場合は同様に

$\frac{a+3b}{a+b}<\sqrt{\mathstrut 3}<\frac{a}{b}$

を示すことができます。　　　　　　■

by oasam_mg

数直線上の二点 $\frac{a}{b}$ ， $\frac{a+3b}{a+b}$ を $a+b:(\sqrt{3}-1)b$ に内分する点は

$\frac{(\sqrt{3}-1)b}{a+\sqrt{3}b}\cdot\frac{a}{b}+\frac{a+b}{a+\sqrt{3}b}\cdot\frac{a+3b}{a+b}=\frac{\sqrt{3}a+3b}{a+\sqrt{3}b}=\sqrt{3}$

であり， $\frac{a}{b}\neq\sqrt{3}$ より $\sqrt{3}$ は $\frac{a}{b}$ と $\frac{a+3b}{a+b}$ の間にある．これが証明すべきことであった．

by faogr

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最終更新：2014年05月14日 18:44