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$a_1=\frac{3}{4}$ なので $0<\frac{3}{4}<1$ を満たす。

自然数kで $0&lt;a_k&lt;1$ であると仮定すると $0<\sqrt{1-a_k}<1$ なので $0<\frac{1-\sqrt{1-a_n}}{2}<1$ であるから

$0<a_{k+1}<1$ である。よって数列 ${a_n}$ はすべての自然数nについて $0&lt;a_n&lt;1$ である（数学的帰納法）。

$0<\theta _n<\frac{\pi}{2}$ とし、 $a_n=\sin^2 \theta _n$ と置き漸化式に代入する。

$\sin^2 \theta _{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2 \theta _n}}{2}=\frac{1-\cos \theta _n}{2}=\sin^2{\frac{\theta _n}{2}}$

よって $\theta _{n+1}=\frac{\theta _n}{2}$

$a_1=\frac{3}{4}=\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2=\sin^2 \frac{\pi}{3}$

数列 $\theta _n$ は初項 $\frac{\pi}{3}$ ,公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので

$\theta _{n}=\frac{\pi}{3 \cdot 2^{n-1}}$

よって $a_n=\sin^2 \frac{\pi}{3 \cdot 2^{n-1}}$

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最終更新：2010年11月30日 15:17

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