nが2以上の自然数のとき1,2,3,...,nの中から異なる2個の自然数を取り出してつくった積のすべての和Sを求めてください。（宮城教大）

$T_2 = 1*2$

$T_3 = 1*3 + 2*3$

$T_4 = 1*4 + 2*4 +3*4$

とおいていくと、

$T_n = 1*n + 2*n + \cdots + (n-1)*n$

と書けます。すなわち

$T_n = (1+2+\cdots+(n-1))n$

$= \frac{(n-1)n}{2}n$

$= \frac{1}{2}(n^3 - n^2)$

です。

このとき

$S = \displaystyle \sum^n_{i=2}T_i$

$= \displaystyle \sum^n_{i=2}\frac{1}{2}(i^3 - i^2)$

$= \displaystyle \sum^n_{i=1}\frac{1}{2}(i^3 - i^2)$

$= \frac{1}{2}\{\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\}$

$= \frac{1}{24}n(n+1)\{3n(n+1)-2(2n+1)\}$

$= \frac{1}{24}n(n+1)(n-1)(3n+2)$

by oasam_mg

$S=(1+2+3+\cdots +n)(1+2+3+\cdots +n)-\displaystyle \sum^n_{k=1}k^2$
$\displaystyle \sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$
また
$(1+2+3+\cdots+n)=\frac{n(n+1)}2$ より
$(1+2+3+\cdots+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}4$
よって $S=\frac{1}{24}n(n+1)(n-1)(3n+2)$

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最終更新：2011年01月08日 17:16

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