整数a_n=19^n+{(-1)^(n-1)}{2^(4n-3)} (n=1,2,3,...)のすべてを割り切る素数を求めてください。(86,東工大)

整数 $a_{n}=19^{n}+(-1)^{n-1}2^{4n-3} \quad (n=1,2,3,...)$ のすべてを割り切る素数を求める.

$a_{1}=21,\/a_{2}=329$ より,これらの最大公約数は,7.
したがって解答は,"7"もしくは"そんな素数はない"となる.

そこで, $\forall n \in \mathbb{N}$ に対し, $a_{n}$ が7で割り切れることを数学的帰納法を用いて示す.

$n=1$ のとき,主張が正しいことは確認済み.

$n=k$ のとき, $a_{k}=19^{k}+(-1)^{k-1}2^{4k-3}$ が7で割り切れると仮定.
つまり, $\mod \/ 7$ で,

$19^{k}+(-1)^{k-1}2^{4k-3}\equiv 0$
$(-2)^{k}+(-1)^{k-1}2^{4k-3}\equiv 0$
$(-1)^{k-1}(-2^{k})+(-1)^{k-1}2^{4k-3}\equiv 0$
$(-1)^{k-1}(2^{4k-3}-2^{k})\equiv 0$
$(-1)^{k-1}2^{k}(2^{3k-3}-1)\equiv 0\qquad (\ast)$

$n=k+1$ のとき,
$\mod\/ 7$ で考える.

$19^{k+1}+(-1)^{k}2^{4k+1}$
$\equiv (-2)^{k+1}+(-1)^{k}2^{4k+1}$
$\equiv (-1)^{k}(-2^{k+1})+(-1)^{k}2^{4k+1}$
$\equiv (-1)^{k}(2^{4k+1}-2^{k+1})$
$\equiv (-1)^{k}2^{k+1}(2^{3k}-1)$
$\equiv (-1)^{k}2^{k+1}(2^{3k}-1)-7(-1)^{k}2^{k+1}$
$\equiv (-1)^{k}2^{k+1}(2^{3k}-8)$
$\equiv (-1)2(-1)^{k-1}2^{k}8(2^{3k-3}-1)$
$\equiv -16(-1)^{k-1}2^{k}(2^{3k-3}-1)$
$(\ast)$ より,
$\equiv 0$

よって数学的帰納法により,証明終了.
したがって,求める素数は　7

by NoB432

整数 $a_{n}=19^{n}+(-1)^{n-1}2^{4n-3} \quad (n=1,2,3,...)$ のすべてを割り切る素数を求める.
$a_{1}=21,\/a_{2}=329$ より,これらの最大公約数は,7.
したがって解答は,"7"もしくは"そんな素数はない"となる.
(ここまで,NoB432様の記述したものをお借りしました。もし問題があれば,消して頂いて構いません。)
$a_{n}=19^{n}+(-1)^{n-1}2^{4n-3}$
法を7とすると,
$19^{n}+(-1)^{n-1}2^{4n-3}$
$\equiv 5^{n}+(-1)^{n-1}16^{n-1}2$
$\equiv 5^{n}+(-1)^{n-1}2^{n-1}2$
$\equiv 5^{n}+(-2)^{n-1}2$
$\equiv 5^{n-1}*7$
$\equiv 0$
よって, $a_{n}$ は7で割り切れる。ゆえに,求める素数は7

by yaz

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最終更新：2010年12月08日 03:35

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