半径aの球に内接する直円錐の体積の最大値を求めてください。（昭和女子） - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki - atwiki（アットウィキ）

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半径 $a$ の球に内接する直円錐の体積の最大値を求める.

半径 $a$ の球に内接する直円錐は $xy$ 平面上に $O:\/ x^{2}+y^{2}=a^{2}, \quad (y\geq 0)$ (原点を中心とする半径 $a$ の円で $y$ 成分が非負)を考えれば,
内接する直円錐は, $O$ 上の $(x,\/ \sqrt{a^{2}-x^{2}})\quad(-a\leq x\leq a)$ と, $x$ 軸上の $(x,\/ 0),\/(a,0)$ からなる三角形を $x$ 軸を中心に回転させたものである.

この体積を $V(x)$ とすれば, $V(x)=\frac{1}{3}\pi (a^{2}-x^{2})(a-x)$ と書けて,

$\frac{dV(x)}{dx}=\frac{1}{3}\pi (3x+a)(x-a)$

$\frac{dV(x)}{dx}=0$ を解けば, $x=-\frac{a}{3},\/ a$ を得て,

$V(x)$ の増減を調べれば,

最大値は,
$x=-\frac{a}{3}$ のとき
$\frac{32}{81}\pi a$

by NoB432

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最終更新：2010年12月01日 15:32