xに関する方程式px^2+(5-p^2)x-3p=0が整数解を持ちます。素数pの値を求めてください。(03,千葉)

xに関する方程式px^2+(5-p^2)x-3p=0が整数解を持ちます。素数pの値を求めてください。(03,千葉)

$x$ に関する方程式, $px^{2}+(5-p^{2})x-3p=0$ が整数解をもつような素数 $p$ を求める.

整数解をaとすると、 $pa^{2}+(5-p^{2})a-3p=0$ が成り立つ。
pについてくくり出せるような形に整理すると
$p(-a^2+pa+3)=5a$
よって、p=5またはaの素因数。
(i)p=5のとき、
$-a^2+5a+3=a$
$(a-1)(a-3)=0$
a=1,3であるからxは整数解を持つことより適する。
(ii)pがaの素因数であるとき、
$a=pk$ とおける。(kは整数）
これを代入して、
$p(-(pk)^2+p(pk)+3)=5pk$
$3=p^2k^2-p^2k+5k$
$3=k(p^2(k-1)+5)$
∴k=1,3,-1,-3
これらについて考えていくと、k=-1のときp=2。これが適する。
以上より、p=2,5

by meganelover

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最終更新：2011年01月08日 16:55

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