漸化式a_1=1,a_(n+1)=(a_n+2)/a_nで定まる数列a_nの一般項を求めてください。(05,東京慈恵医) - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki - atwiki（アットウィキ）

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漸化式　 $a_1 = 1,\ \ \ a_{n+1} = \frac{a_n+2}{a_n}$ 　で定まる数列 $a_n$ の一般項を求めてください。

条件より、 $a_{n+1} + 1 = \frac{a_n +2}{a_n}+1 = \frac{2(a_n +1)}{a_n} \ \ \ \cdots(1)$

ここで、ある自然数 $n$ について　 $a_{n+1}=-1$ 　と仮定すると、(1) より　 $a_n=-1$
ゆえに　 $a_{n+1} = a_n = a_{n-1} = \cdots = a_1 = -1$ 　となりますが、これは条件　 $a_1=1$ 　に反します。

よって、すべての自然数 $n$ について　 $a_{n+1} \ne -1$ 　かつ、(1) より　 $a_n \ne -1$ 　です。
これを踏まえて (1) の両辺で逆数をとると、

$\frac{1}{a_{n+1}+1} = \frac{a_n}{2(a_n +1)} = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{a_n+1})$

ここで、 $b_n = \frac{1}{a_n+1}$ 　とおくと、 $b_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n + \frac{1}{2} \ \ \ \cdots(2)$

さらに (2) は、 $b_{n+1} -\frac{1}{3}= -\frac{1}{2}(b_n -\frac{1}{3})$ 　と変形できるので、

数列　 $\{ b_n-\frac{1}{3} \}$ 　は初項　 $b_1-\frac{1}{3} = \frac{1}{a_1+1}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ ，公比　 $-\frac{1}{2}$ 　の等比数列といえます。

よって
$b_{n} -\frac{1}{3}= \frac{1}{6}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}$

$b_{n} = \frac{1}{a_n+1} = \frac{1}{3}(1-(-\frac{1}{2})^{n})$

$a_n = \frac{3}{1-(-\frac{1}{2})^{n}}-1 = \frac{2^{n+1}+(-1)^n}{2^n+(-1)^{n+1}}$

by oasam_mg

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最終更新：2010年12月22日 22:53