zen06tokyo_joshi

次の漸化式で数列 ${a_n}$ を定めます。 $a_1=1,\ \ \ a_{n+1}=2a_n +n \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)$ 　　一般項 $a_n$ を求めてください。

$f(n) = pn+q$ 　として、 $a_{n+1}=2a_n +n$ 　が

$a_{n+1}-f(n+1) = 2(a_{n+1}-f(n))$

すなわち

$a_{n+1}-\{p(n+1)+q\} = 2\{a_n-(pn+q)\}$

と変形できるとすると、

$a_{n+1} = 2a_n-pn+p-q$

これと　 $a_{n+1}=2a_n +n$ 　を比較すると、

$-p = 1, \ \ \ p-q = 0$

解くと　 $p=-1,\ q=1$ 　より、

$a_{n+1}-\{-(n+1)+1\} = 2\{a_n-(-n+1)\}$

となり、数列　 $\{a_n-(-n+1)\}$ 　は初項　 $a_1-(-1+1) = 1,$ 　公比 2 の等比数列といえます。

よって
$a_n-(-n+1) = 2^{n-1}$

$a_n = 2^{n-1}-n+1$

by oasam_mg

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最終更新：2010年12月03日 15:54

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