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$n$ は自然数です。次の漸化式によって数列 ${a_n}$ を定めます。すなわち　 $a_1=1,\ \ a_2=2,\ \ a_{n+2}=\sqrt{\mathstrut a_n \cdot a_{n+1}}$ 　このとき、 $\log_{2}{a_n}$ を求めてください。

すべての自然数 $n$ について $a_n&gt;0$ は数学的帰納法で証明できる（がここでは省略）。
漸化式の両辺で底を 2 とする対数をとると、

$\log_{2}{a_{n+2}} = \log_{2}{\sqrt{\mathstrut a_n \cdot a_{n+1}}$

すなわち、 $\log_{2}{a_{n+2}} = \frac{1}{2}(\log_{2}{a_n+\log_{2}{a_{n+1}})$

$b_n= \log_{2}{a_n}$ 　とおくと、 $b_{n+2} - \frac{1}{2}b_{n+1} - \frac{1}{2}b_n = 0\ \ \ \cdots(1)$

ここで、(1) が

$b_{n+2} - q b_{n+1} = p(b_{n+1}-q b_{n})$

と変形できるとすると、

$b_{n+2} - (p+q)b_{n+1} + pq b_n = 0$

この式と (1) を比較すると

$p+q=\frac{1}{2}, \ \ pq = -\frac{1}{2}$

これら $p,q$ は、解と係数の関係より、方程式

$x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} = 0$
の解であり、解くと　 $x=-\frac{1}{2},\ 1$ 　より、

$(p,q)=(-\frac{1}{2},\ 1), \ \ (1,\ -\frac{1}{2})$

よって、以下の (2) および (3) が成り立つ。

$b_{n+2} -\ \ b_{n+1} = -\frac{1}{2}(b_{n+1}-\ \ \ b_{n}) \ \ \ \cdots(2)$
$b_{n+2} +\frac{1}{2} b_{n+1} = \ \ \ \ \ \ b_{n+1}+\frac{1}{2} b_{n}\ \ \ \ \cdots(3)$

(2) より、数列　 $\{b_{n+1}-b_{n}\}$ 　は、初項　 $b_2-b_1 = \log_{2}{a_2}-\log_{2}{a_1} = 1,$ 　公比 $-\frac{1}{2}$ 　の等比数列であるので

$b_{n+1}-b_{n} = (-\frac{1}{2})^{n-1}\ \ \ \cdots(4)$

また、(3) より、数列　 $\{b_{n+1}+\frac{1}{2}b_{n}\}$ 　は、初項　 $b_2+\frac{1}{2}b_1 = \log_{2}{a_2}+\frac{1}{2}\log_{2}{a_1} = 1,$ 　公比 1 の等比数列であるので

$b_{n+1}+\frac{1}{2}b_{n} = 1\ \ \ \cdots(5)$

$(5) - (4)$ より、 $\frac{3}{2}b_n = 1-(-\frac{1}{2})^{n-1}$

よって、 $\log_{2}{a_n} = b_n = \frac{2^{n-1}-(-1)^{n-1}}{3\cdot2^{n-2}}$

by oasam_mg

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最終更新：2011年01月17日 21:33