フェルマーの最終定理を知らないものとする。x,... - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

フェルマーの最終定理を知らないものとする。x,y,zを0でない整数として、もしもx^3+y^3=z^3が成立しているならば、x,y,zのうち少なくとも一つは3の倍数であることを示してください。(98,信州)

対偶命題「x,y,zの全てが3の倍数でないならば、x^3+y^3=z^3が成立しない」を示せばよい。
合同式は(mod 3)で考える。
x,yは対称的なので
「x,y,zの全てが3の倍数でない」
⇔「(x,y,z)≡(1,2,1),(1,2,2)」

(x,y,z)≡(1,2,1)→x^3+y^3≡0でz^3≡1で両辺は合同でない
(x,y,z)≡(1,2,2)→x^3+y^3≡0でz^3≡2で両辺は合同でない
整数a,bが合同でないならば等式が成り立たないのは明らか

よって「x,y,zを0でない整数として、もしもx^3+y^3=z^3が成立しているならば、x,y,zのうち少なくとも一つは3の倍数である」ことが示される。