n-dice - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

(1)
背反の事象を考える。

1の目が1回もでない、または2の目も1回もでない確率を考える。

1の目が1回も出ない確率は、(5/6)^n
2の目が1回も出ない確率は、(5/6)^n
1の目も2の目も出ない確率は、(4/6)^n
よって、1の目が1回もでない確率は、
(5/6)^n + (5/6)^n - (4/6)^n = (2*5^n-4^n)/6^n
よって求める確率は、1 - (2*5^n-4^n)/6^n = (6^n-2*5^n+4)/6^n　(n>=2)

(2)
背反の事象である、4つの場合を考える。
(ⅰ)1の目がでない、または2の目がでない場合。
(ⅱ)1の目が1回出る、または2の目がでない場合。
(ⅲ)1の目がでない、または2の目が1回でる場合。
(ⅳ)1の目が1回出る、または2の目が1回でる場合。

（ⅰ）　(1)の場合と同じ。
この場合の確率は、　(6^n-2*5^n+4)/6^n

(ⅱ)　1の目が1回出る確率は
nC_1(1/6)*(5/6)^(n-1) = (n5^(n-1))/6^n
2の目が出ない確率は、
(5/6)^n
1の目が1回でて、かつ2の目が出ない確率は、
n(1/6)*(4/6)^(n-1)
よって、この場合の確率は、
(5/6)^n + n(1/6)(4/6)^(n-1) - n(1/6)(4/6)^(n-1)
= (5^n+n5^(n-1)-n4^(n-1))/6^n

(ⅲ)　(ⅱ)の場合の確率と等しい。

(ⅳ)
1の目が1回でる確率は
n(1/6)(5/6)^(n-1)
2の目が1回出る確率は、
n(1/6)(5/6)^(n-1)
1の目が1回出て、かつ2の目が1回出る確率は、
nC_2(1/6)(1/6)(4/6)^(n-2)


(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)(ⅳ)より、背反の事象の確率は、
(4(n+5)5^(n-1) - 2(n^2 + 15n+32)4^(n-3))/6^n

よって、求める確率は、

{6^n -4(n+5)5^(n-1) + 2(n^2 + 15n+32)4^(n-3)}/6^n