||4x^2-16|-8|-x-a=0の実数解の個数をaの値によって分類してください。(中京大)

与式より　 $||4x^2-16|-8|=x+a$ 　とすると、
求める実数解の個数は　 $y=||4x^2-16|-8|$ 　のグラフと　 $y=x+a$ 　のグラフの交点の個数に等しい。

$y=||4x^2-16|-8|=||4(x-2)(x+2)|-8|$ 　より、

$y=|4(x+2)(x-2)-8|\ \ \ (x\leq-2, \ 2\leq x)\ \ \ \cdots(1)$
$y=|-4(x+2)(x-2)-8|\ \ \ (-2 < x < 2)\ \ \ \cdots(2)$

さらに $(1)$ より、
$y=|4(x+2)(x-2)-8|=|4x^2-24|=|4(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})|$
となるので、

$y=4(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})\ \ \ (-2 < x\leq-\sqrt{6}, \ \sqrt{6}\leq x < 2)\ \ \ \cdots(3)$
$y=-4(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})\ \ \ (-\sqrt{6} < x\leq-2, \ 2\leq x < \sqrt{6})\ \ \ \cdots(4)$

また $(2)$ より、
$y=|-4(x+2)(x-2)-8|=|-4x^2-8|=|-4(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})|$
となるので、

$y=4(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\ \ \ (-2<x\leq-\sqrt{2}, \ \sqrt{2}\leq x<2)\ \ \ \cdots(5)$
$y=-4(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\ \ \ (-\sqrt{2} < x < \sqrt{2})\ \ \ \cdots(6)$

$y=||4x^2-16|-8|\ \cdots(3),(4),(5),(6)$ 　と　 $y=x+a$ 　のグラフを描くと以下のようになる。

上の図では点 $B$ で　 $y=||4x^2-16|-8|$ 　と　 $y=x+a$ 　が接している場合である。
この場合のみ、接点の座標を求める必要がある。

$y=-4(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\ \ \ (-\sqrt{2} < x < \sqrt{2})\ \ \ \cdots(6)$
より、この区間では　 $\frac{dy}{dx} = -8x$ 　であるので、点 $B$ の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の方程式は

$y=-8t(x-t)+(-4t^2+8)=-8t\cdot x +4t^2 +8$
これを　 $y=x+a$ 　と比較すると、 $-8t = 1, \ \ 4t^2 +8 = a$ 　より、 $t = -\frac{1}{8}, \ \ a = \frac{129}{16}$

また、他の点を通るときは、以下のようになる。
$A\ (-2,\ 8)$ を通るとき、 $a = 10$
$C\ (2,\ 8)$ を通るとき、 $a = 6$
$D\ (-\sqrt{6},\ 0)$ を通るとき、 $a = \sqrt{6}$
$E\ (-\sqrt{2},\ 0)$ を通るとき、 $a = \sqrt{2}$
$F\ (\sqrt{2},\ 0)$ を通るとき、 $a = -\sqrt{2}$
$G\ (\sqrt{6},\ 0)$ を通るとき、 $a = -\sqrt{6}$

よって、求める実数解の個数は、 $\sqrt{6} < a < 6$ 　のとき 8 個、
$a = \sqrt{6},\ 6$ 　のとき 7 個、 $\sqrt{2} < a < \sqrt{6},\ 6 < a < \frac{129}{16}$ 　のとき 6 個、
$a = \sqrt{2},\ \frac{129}{16}$ 　のとき 5 個、 $-\sqrt{2} < a <\sqrt{2},\ \frac{129}{16} < a < 10$ 　のとき 4 個、
$a = -\sqrt{2},\ 10$ 　のとき 3 個、 $-\sqrt{6} < a < -\sqrt{2},\ 10 < a$ 　のとき 2 個、
$a = -\sqrt{6}$ 　のとき 1 個、 $a < -\sqrt{6}$ 　のとき 0 個となる。

by oasam_mg

タグ：

+ タグ編集

「||4x^2-16|-8|-x-a=0の実数解の個数をaの値によって分類してください。(中京大)」をウィキ内検索

最終更新：2010年12月14日 22:09

添付ファイル

cyukyo.gif

ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

メニュー

更新履歴