complex1

相異なる複素数a,b,cに対し、集合{a,b,c}={a^2,b^2,c^2}が成り立つとする。a,b,cはどれも自分自身の平方と等しくないとき、a+b+cの実部を求めよ(02,上智)

$a\neq a^2$ より $a \neq 0,1$ .　　 $a=b^2$ としても一般性を失わない.

このとき $b=c^2 , c=a^2$ より $a=a^8$ .　　 $a \neq 0,1$ より $a^7=1　(a\neq 1)$ .

$b=a^4,c=a^2$ だから $a=\cos\frac{2\pi}{7}k+i\sin\frac{2\pi}{7}k=z_k$ 　(kは1以上7未満の自然数のいずれか) とおくと $\Re(z_k)=\Re(z_{7-k})$ より

$\Re(a+b+c)=\Re(z_k+z_{4k}+z_{2k})=\frac12\Re(z_k+z_{2k}+z_{3k}+z_{4k}+z_{5k}+z_{6k})=-\frac12$ 　…(答)

ここで $z_k^7=1,z_k\neq 1$ より $1-z_k^7=(1-z_k)(1+z_k+z_{2k}+z_{3k}+z_{4k}+z_{5k}+z_{6k})=0$ 　から

$z_k+z_{2k}+z_{3k}+z_{4k}+z_{5k}+z_{6k}=-1$ 　である.

by iota

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最終更新：2010年12月16日 03:34

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