complex2

nを自然数、zを絶対値が1の複素数とします。z^n+1の絶対値が1となるzを全て掛け合わせた複素数を求めてください。(04,東北)

$1=|z^n+1|^2=(z^n+1)(\overline{z^n+1})=2+z^n+\overline{z}^n$ より $z^n+\overline{z}^n=-1$ .

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくと $z^n+\overline{z}^n=2\cos n\theta=-1$ .

よって $\theta=\frac{1}{n}(\frac23\pi+2\pi k),\frac{1}{n}(\frac43\pi+2\pi k)$ (k=0,1,…,n-1).

求める積は
$\prod_{k=0}^{n-1}\left(\cos\frac{\pi}{n}(\frac23+2k)+i\sin\frac{\pi}{n}(\frac23+2k)\right)\left(\cos\frac{\pi}{n}(\frac43+2k)+i\sin\frac{\pi}{n}(\frac43+2k)\right)$
$=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\cos\frac{\pi}{n}(2+4k)+i\sin\frac{\pi}{n}(2+4k)\right)$
$=\cos\frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(2+4k)+i\sin\frac{\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(2+4k)$
$=\cos(2n\pi)+i\sin(2n\pi)$
$=1$ . …(答)

by iota

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最終更新：2010年12月16日 04:50

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