complex4

nを2以上の整数とします。α=cos(360°/n)+isin(360°/n)として等式(1-α)(1-α^2)(1-α^3)…(1-α^(n-1))=nを示してください。(02,北大)

$x^n-1=(x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)\cdots(x-\alpha^{n-1})$ より

$(x-\alpha)(x-\alpha^2)\cdots(x-\alpha^{n-1})=\frac{x^n-1}{x-1}.$

一方 $\frac{x^n-1}{x-1}=1+x+\cdots+x^{n-1}$ より

$(1-\alpha)(1-\alpha^2)\cdots(1-\alpha^{n-1})=\lim_{x\rightarrow 1}(x-\alpha)(x-\alpha^2)\cdots(x-\alpha^{n-1})$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^n-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}(1+x+\cdots+x^{n-1})=n.$ (証明終)

by iota

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最終更新：2010年12月16日 20:34

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