complex5

aを実数、zを複素数とし複素数平面上でa,z,z^2,z^3が表す点をそれぞれA,B,C,Dとします。この4点がひし形の4頂点になり、ACが対角線になるとき、a,zの値を求めてください。(03,千葉)

$A(a),B(z),C(z^2),D(z^3)$ である.

$BC=CD$ より $|z^2-z|=|z^3-z^2|.$ 　　 $z\neq 0,1$ は明らかなので $|z|=1.$

また,対角線は中点で交わるので $z^3+z=z^2+a.$

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ として代入すると虚部: $\sin3\theta+\sin\theta=\sin2\theta.$

$\sin3\theta+\sin\theta=2\sin2\theta\cos\theta$ より $\theta=\frac{\pi}{2},\pi,\frac{\pi}{3},\frac{5}{3}\pi.$

実部: $\cos3\theta+\cos\theta=\cos2\theta+a$ に代入すると,

$\theta=\frac{\pi}{2}$ のとき $a=1,$ 　　 $\theta=\pi$ のとき不適,　　 $\theta=\frac{\pi}{3},\frac{5}{3}\pi$ のとき $a=0.$

以上より, $z=i,a=1$ または $z=\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i,a=0.$ …(答)

by iota

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最終更新：2010年12月17日 00:13

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