complex6

xに関する2次方程式x^2+2tx-2t+3=0の複素数の範囲で考えた解をα,βとします。tがt≧0の範囲を動くとき(|α|+|β|)/2の最小値を求めてください。(03,早稲田)

方程式の解は $-t\pm\sqrt{t^2+2t-3}.$ 実解をもつのは $t\le-3,1\le t.$

$t\le-3,1\le t$ のとき

$\left|-t+\sqrt{t^2+2t-3}\right|$ について
　 $0\le t$ のとき $-t+\sqrt{t^2+2t-3}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{t^2+2t-3}\ge t\Leftrightarrow t^2+2t-3\ge t^2\Leftrightarrow \frac32\le t.$ よって $\frac32\le t.$
　 $t&lt;0$ のとき $-t+\sqrt{t^2+2t-3}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{t^2+2t-3}\ge t$ は常に成り立つ.よって $t\le -3.$

$\left|-t-\sqrt{t^2+2t-3}\right|$ について
　 $0&lt; t$ のとき $-t-\sqrt{t^2+2t-3}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{t^2+2t-3}\le -t$ は常に成り立たない.
　 $t\le 0$ のとき $-t-\sqrt{t^2+2t-3}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{t^2+2t-3}\le -t\Leftrightarrow t^2+2t-3\le t^2\Leftrightarrow t\le\frac32.$ よって $t\le -3.$

以上より $\left|-t+\sqrt{t^2+2t-3}\right|+\left|-t-\sqrt{t^2+2t-3}\right|$ は
$t\le -3$ のとき $\left(-t+\sqrt{t^2+2t-3}}\right)+\left(-t-\sqrt{t^2+2t-3}\right)=-2t$
$-3&lt;t&lt;1$ のとき $\left|-t+\sqrt{-t^2-2t+3}i\right|+\left|-t-\sqrt{-t^2-2t+3}i\right|=2\sqrt{(-t)^2+\sqrt{-t^2-2t+3}^2}=2\sqrt{2\left(\frac32-t\right)}$
$1\le t<\frac32$ のとき $-\left(-t+\sqrt{t^2+2t-3}}\right)-\left(-t-\sqrt{t^2+2t-3}\right)=2t$
$\frac32\le t$ のとき $\left(-t+\sqrt{t^2+2t-3}}\right)-\left(-t-\sqrt{t^2+2t-3}\right)=2\sqrt{t^2+2t-3}$

すなわち $\frac{|\alpha|+|\beta|}{2}=\left\{\begin{array}{ll}-t & (t\le -3) \\ \sqrt{2\left(\frac32-t\right)} & (-3<t<1) \\ t & (1\le t<\frac32) \\ \sqrt{t^2+2t-3} & (\frac32\le t)\end{array}\right.$

以上より $t=1$ のとき最小値 $1$ をとる.…(答)

by iota

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最終更新：2010年12月22日 17:30

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