nを0以上の整数とします。a^2+b^2=2^nを満たす0以上の整数の組(a,b)を求めてください。(04,京大) - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

Tex表記が苦手なので，普通に書きます。すいません。

a^2+b^2=2^n…☆

(1)a=0のとき
b^2=2^n⇔b=2^(n/2) ∴nが偶数の時bが存在する。
(2)b=0のとき
(1)と同様である。
∴(a,b)=(0,2^(n/2)),(2^(n/2),0) (ただしnは偶数)

(2)ab≠0のとき
x^2≡0または1(mod.4)
2^nはn=1のとき2^n≡2(mod.4) n≧2のとき2^n≡0(mod.4)･･･★
(a)n=1のとき
a^2+b^2=2をみたすa,bはa=b=1である。
(b)n≧2のとき
★より
a=(2^y)*s
b=(2^z)*t
とおける。(y,zは自然数，s,tは正の奇数)
∴(2^2y)*s^2+(2^2z)*t^2=2^n･･･①
ここで，y≠zとし，y＞zとすると，
2^2z(2^(2y-2z)*s^2+t^2)=2^n
となり左辺は2のべき乗とはならないので，y=zである。

∴2^2y(s^2+t^2)=2^nとでき，
s^2+t^2=2^uとなれば左辺は2のべき乗となる。
ここで，s,tが奇数なので★よりu=1しか有り得ない。よってs=t=1であり，a=b=2^yとなる。
よって，☆⇔2^(2y+1)=2^n
∴y=(n-1)/2とすれば☆が成立する。
これはn=1のときも成立するので，
(a),(b)より，(a,b)=(2^{(n-1)/2},2^{(n-1)/2})　(ただしnは奇数)

(1),(2)より求める答えは

(a,b)=(0,2^(n/2)),(2^(n/2),0) (ただしnは偶数)
(a,b)=(2^{(n-1)/2},2^{(n-1)/2})　(ただしnは奇数)

となる。

見づらくてすいません。 解答者:mskyaz (間違い等あればtwitterでご連絡下さい。)