x^2+kx+k^2=4が整数解のみをもつときのkの値を求めてください。(愛知大)

解答
$x^2+kx+k^2=4$ が整数解を持つとき、２解を $\alpha,\beta$ と置くと解と係数の関係により
$-k=\alpha+\beta$ であり、 $\alpha,\beta$ は整数であるので、 $k$ は整数。
ここで $x^2+kx+k^2=4$
$x^2+kx+k^2-4=0$ であり、解の公式から
$x=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-4(k^2-4)}}{2}$
$=\frac{-k\pm\sqrt{16-3k^2}}{2}$
$16-3k^2$ は明らかに非負であるから
$k=0,\pm1,\pm2$
また $16-3k^2$ は平方数で無ければならないので
$k=0,\pm2$
このとき方程式 $x^2+kx+k^2=4$ は整数解を持つので
$k=0,\pm2$

by meganelover

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最終更新：2010年12月26日 03:34

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