(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1がx^2+x+1で割り切れるかどうか調べてください。(03,京大)

解答
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$ であるから、 $x^2+x+1=0$ の解は1の三乗根のうち1でないものである。それらのうちの１つを $\omega$ とおく。
ここで $\omega^2+\omega+1=0$ より $\omega^2+1=-\omega$ 、 $\omega+1=-\omega^2$ である。
$(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1=P(x)$ とおく。
$P(\omega)=(\omega^{100}+1)^{100}+(\omega^2+1)^{100}+1=(\omega+1)^{100}+(\omega^2+1)^{100}+1=(-\omega^2)^{100}+(-\omega)^{100}+1=\omega^2+\omega+1=0$
であるので、
$P(x)$ は $x^2+x+1=0$ で割り切れる。

by meganelover

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最終更新：2010年12月28日 15:56

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