正の実数aに対して、x=a+1/a, y=a-1/aとおきます。このときx^8-y^8が最小となるaの値とその最小値を求めてください。(北大文) - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

$x^8 - y^8 = (x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

ここで、　 $x+y = 2a, \ \ x-y = \frac{2}{a},\ \ xy = a^2-\frac{1}{a^2}$ 　であるので、

$(x+y)(x-y) = 2a\cdot\frac{2}{a} = 4$

$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (2a)^2-2(a^2-\frac{1}{a^2}) = 2(a^2+\frac{1}{a^2})$

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2-2(xy)^2 = \{2(a^2+\frac{1}{a^2})\}^2 -2(a^2-\frac{1}{a^2})^2 = 2\{(a^2 +\frac{1}{a^2})^2+4\}$

よって、
$x^8 - y^8$
$= 2\{(a^2+\frac{1}{a^2})^2+4\}\cdot2(a^2+\frac{1}{a^2})\cdot4$
$= 16\{(a^2+\frac{1}{a^2})^3+4(a^2+\frac{1}{a^2})\}$

ここで、相加平均と相乗平均の関係より、
$a^2+\frac{1}{a^2}\geq2$ 　（等号成立は $a^2 = \frac{1}{a^2}$ すなわち　 $a = 1$ 　のとき）

よって、 $x^8 - y^8 \geq 16(2^3+4\cdot2) = 256$

ゆえに、 $a = 1$ 　のとき $x^8 - y^8$ は最小値 256 をとる。

by Mako0_jp (代筆 oasam_mg)

タグ：

+ タグ編集

最終更新：2010年12月28日 17:08

ますぼっと＠問題・解答まとめwiki