f(x)=cos(4x)-4sin^2(x)とします。0°≦x≦90°におけるf(x)の最大値と最小値を求めてください。(04,京大)

$\cos 4x$ を変換して、 $\sin^2 x$ に直します。
そして $\sin^2 x$ の範囲を考えながら別記号で置き換えて、 $f(x)$ の最大･最小を求めます。

$f(x)={\cos 4x} - 4{\sin^2 x}$ ･･･　(1)

${\cos 4x}={2\cos^2 2x} - 1 = 2\left(1 - {2\sin^2 x} \right)^2 - 1 = {8\sin^4 x}-{8\sin^2 x} + 1$ ･･･(2)

(2)を(1)に代入する。

$f(x) ={8\sin^4 x} - {12\sin^2 x} + 1$

ここで、 ${\sin^2 x}=A$ とおく。 $A$ の範囲は、条件より、 $0\leq A \leq 1$

またf(x)は

$f(x)= 8A^2 - 12 A +1$

と表される。

これを平方完成して、

$f(x) = 8\left(A-\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{7}{2}$

よって、f(x)は $A=0$ の時、最大値1をとり、
$A=\frac{3}{4}$ の時、最小値 $-\frac{3}{4}$ をとる。

$A=0$ の時、条件より $x=0$ であり、
$A=\frac{3}{4}$ の時、条件より $x=60$ °である。

よって、 $x=0$ の時、最大値1をとり、 $x=60$ °の時、最小値 $-\frac{3}{4}$ をとる。

by keiju

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最終更新：2010年12月30日 13:18

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